Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Единственный саин в л>сплавал каин>акте с нгбалыиай пютвлюй сникав. Пусть система А состоит из одного спина, раиного 1>2, с ызгнитныч моментом рв, а система А' содержит три таких спина. Обе систсчы находятся н магнитном поле В. Системы А и А' находятся и тепловом контакте и могут обмениваться энергией. Прелположим, что, когда магнитный момент сиртемы А напраплеи вверх (т. е. А находится а состоянии +), у системы А' даа магнитных момента напраалены вверх, а третий мол>ент направлен вниз. Вычисчите полное часло доступных состояний сложной систечы (А ! А'), когда момент системы А направлен вверх и когда он направлен вниз. Найдите отношение Р (Р.ч, тле Рч — вероятность того, что спин системы А направлен вверх, а Р— вниз. Систел>у (А+А') считайте изолированной. 3.3. Единственный спин в тсллаваи контакте с балли>ай сиплглай сликев.
Обобщим прсдыдлщую задачу, рассмотрев слччай, когда вторая система, А', содержит произвольно бсшьшое число Т спеша 1>2, каждый пз которых имеет чагнитный момент р„. Обе системы, А и АЧ помещены э магнитное поле В и нахолятсн а.теплоиом контакте, обеспе>инающсм спободный обмен энерп>ей. Если момент системы А иапранлеи вверх, то л моментов системы А' папраэлены эиерх, а остальные л'= Л' — л папраалепы аниз.
а) Найдите число доступных состояний с>южной системы (А+А'), когда спин А направлен апсрх. Это число равно числу сг>особое, которым Л' сшша> системы А' мог>т быть располо>лены >ак, чтобы л нз ннх счогрела вверх я л' — вниз. б) Пусть мочент системы А папранлен вниз. Полная энергия сложной системы (А+А') должна, разумеется, остаться пепзчсниой. Сколько маме>пон системы А' теперь направлены ннерх и сколько анпз) Найдитс число доступных сестояний для сложной систе>п> (А+А') и агам случае. е) Вычислите отношение Р >Р, г.ю Р— еероягпость того, что момент '! иапранлен вниз, а Р „, соотаетсгаенна, иасрх. Упростите полученный результат, госпользоиаешись тем, что п,л! и л"мй.
Если л>л', то б)дет ли отношение Р,'Р; больше или меньше 1> 3.4. Обаби!екав лргдыдуимй задачи. Пугть и аредыдлщей задаче магнитный момент сисгемы А раасн 2рч. Вычислите отношение Р ГР ь аероятностсй того, чта этот момент напраелсн ияиз или онер .. 3.3. Праизмь>акал гис>лез>а в тлел.ямал контакте с бальлюй системой слинсе.
Рассуждения предыдущей задачи легко распрос>ранить на более общий случаи. Рассчотрич любую систему А, которая может быль одиночным атомам илн макооскопической системой. Пусть эта систеча А наладится и теплоиом контанте с систечои А', с которой аиа может обчеиииаться энергиеи. Лопустил>, по система !' наход>пся а чвгнитноч иоле В и состоит из >У спннан 1>2, каждый из которых обладает магнитным моментом р„. Число Л' пусть будет очень больяпш по сраннению с числом степеней сиободы относительно гораздо меньшей системы А. Предположим, чта когда система А наход>пся а наяннзшем состоянии энергии Е„, > системы А' л моментов напранлепы неера, з остальные л'=Л' — л лючентои— вниз.
Заметил>, что л))1 и л'~)1, так как асс числа очень велики. а) Для случая, когда система А находится и состоянии с наименьшей энергией Ев, найдите полное число состояний, доступных состаннан системе (А+А'). б) Предположим теперь, что системз А находится а некотором другом состоянии г, где она имеет энергию Е„ббльшую, чем Е„. Чтобы полная энергия гостанной спстсчы (А+А') не изменялас>, и А' системе (л+Лл) моментов должн>а быть направлены ииерх, а (л — Лл) — апиз. Выразите Лл через разность энергий (Ег — Ее) Можете считать, что (Гг — Ее>нь!>вйс н) Найдите полное число доступных состояний составной системы (А+А'), если система А находится а состоянии г с энергией Е,.
г) Обозначим через Рв и Р, вероятность того, что сйстема А находится и состояниях с энергией Ев и Е соответственно. Найдите отношение Р,)рв, нспользоиаи приближение Лл((л й Лл((лС д) Воспользоиаишись полученным результатом, покажите, что иероятнасть Ре нахождения системы А и сос~оянии с энергией Е„имеет иид Р,. = Св !>и'> 139 дЕ„= — Г, й! и сила Ег, испытываемая частипей в состоянии г. связана с ее энергией Е, в этом состоянии следующим выражением: дЕ, ~г д!.„' (!1) з!ы написали здесь частную производную, так как в нашем рассуждении длины Е и !.е оставались неизменными. а) Воспользовавшись (П) н выражением (15) для энергии, вычислите силу Е, с которой частица, находящаяся в с<ктоянин с квантоаычи числами л ., л, л, действует на правую стенку.
б) Предположим, что частица не изолирована, а является одной из многих частиц, образующих газ, заключенньш в ящике. Она н с~ктоянии слаГю взаимодействовать с другими частицами и поэтому может оказаться в любом пз квантовых состояний, определяемых различнымн знзчениями л ., л . л,. Выразите сред- нюю силу Р, с которой частица действует на стенку, через л„'. Допустите лля упрощения задачи, что яшнк предстзвляег собой куб, так что !..=Е =-!.,=-!.. Из х Г е симметрии задачи следует, что л„'=лв.=л,'.
Воспользуйтесь результатом, чтобы связать Гсо средней энергией Е частицы. в) Если газ состоит из й! одинаковых частиц, средняя сила от всех этих частиц равна Д!7. Покажите, что среднее давление газа (т. е. средняя сила, с которой газ действует на единицу поверхнос~и стенки) равно — 2 Гт'— р= — — Е, 3 1' (П1) где Š— средняя энергия одной частицы газа. г) Заметьте, что результат (111) совпадает с (!.2!), полученным в приближении нлассической механики. 3.7.
Типичное число досогулных состояний двя моиакувы газа. Формула (П!) предыдущей задачи или формула (!.2!) позволяют нам оценить среднюю энергию газовой молекулы, например, молекулы азота (Ые) при комнатной температуре. Зная плотнскть и давление этого газа, мы найдем, что средняя энергия ьюлекулы Е (см.
(!.23)) близка к 6 !О-хв зрг. а) Сосчитайте, воспользовавшись (31), число состояний Ф(Е) с энергией, меньшей Ь', доступных молекуле, заключенной в ящик объемом 1 л (10з сма). 140 где С вЂ” коэффвцнеит пропорциональности. Выразите !) через В,В и отношение лул'. е) Каков знак В, если л>л'Р Допустим, что соседние уровни энергии Ег системы А отстоят друг от друга на постоянную величину Ь (например. система А может быть гарл~оническнм осцилляторолв). В этом случае ее=аз бг, где г=-б, 1, 2, 3...,, а величина а — некоторая постоянная. Сравните веронтность нахождения системы А в любом из состояний г с вероятностью ее нахождения в состоянии наименьшей энергии г=б. 3.6. Давление, создаваемое идеолышвм еазом (квонтоеомехонический расчет).
Рассмотриьв одиночную частицу с массой т, помещенную в ящик со сторонами Етй, Е . Предположим, что эта частица находятся в квантовом состоянии г, определяемоч тремя квантовыми чнсламн л„, л, л,. Энергия этого состояния Ег дается формулой (15). Частица, находящаяся в данном состоянии г, действуег на правую стенку ящика (т. е. на стенку с хс Ех) с силой Г„в нзпраоленнн х. Эта стенка действует на частицу с силой — Ег (т. е. в направлении — х). Если правая стенка ящика медленно сл~ещаегся вправо на расстояние дую то работа, совершаемая над чаэтипей в состоянии г, равна — Геди„. Эта работа должна быть равна воэрастанша снерг>ш дЕ, истины в рассматриваемом состоянии. Такны образом, б) Выберем небольшой интервал энергии ЬЕ=10-оо зрг, который во много раз меньше самой энергии Е.
Вычислите число состояний Я(Е), доступных молекуле, в интервале энергий от Едоб+ЬЕ. в) Покажите, что полученное число состолний очень велико. 3.8. Число состслнии идеального гизи. Рассмотрим идеальный газ, состоящий пз ЛГ частиц, находящихся в ящике со старинно~и Е ., !.г,Ег. Пустьд! будет порядка числа Авогадро. Определите вклад в энергию от каждого квантовага числа отдельна и, воспользовавшись приближениями, аналогичными тем, которые рассмшрены в п.
3.5, покажите, чта число состояний ()(Е) в интервале энергий от Е ла Е+ЬЕ равно П (Е) =-С)гггЕ! П! м ЬЕ, где С вЂ” коэффициент пропорциональности и )г=-йя(.оЕг — объем ящика, *3.9. Число шгтоянийг сислижг спиноз. Система, состоящая из Л! спиноз Чо с магнитным моментом кажлого спина ро, помегцеаа во внешнее магнитное поле В.
Система имеет л~акроскопические размеры н У порядка числа Авогадро. Энергия системы равна Е= — (и — л') роВ, гте и и и' — числа л~агнитных моментов, направленных по палю н против поля соответственно. а) Вычислите для этой системы спинов число состояний ()(Е), которые лежат в небольшом интервале энергий от Е до Е+ЬЕ Имеется в виду, что ЬЕ очень велико по сравнению с энергией отдельных спинов, т.
е. ЬЕ))роВ, б) Найдете точное выражение лля 1и () в зависимости от Е. Так как и л и и' очень велики, используйте приближение !ил!лип 1п л — л, полученное в (М. 4), длл вычисления л) и и'!. Покажите, что с очень хорошим приближением !... 1 !и П (Е)=- У !и (2Х) — —,(Л' — Е ! !и (% — Е ) — т-(Л)+Е ) )п (В-)-Е ), 2 2 где Е Е' =--.— РоВ ' в) Нарисуйте в общих чертах хад!п Я в зависимости от Е. Заметьте, что (г(Е) не растет ь|онотонно с увеличением Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
