Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 38
Текст из файла (страница 38)
дб ) (1 (Е ео) в ла Теперь из (37) следует ( д;| (33) ") В особом случае системы спиноз зто утверждение нуждается в пояснении. таК КаК Т вЂ” т+ М, ЕОЧИ й-+О. (СМ, ЗадаЧу 4.ЗО.) ((.1 ) (( Š— Ев. (37) Это означает, что результирующее изменение средней энергии ЛЕ= =- Я системы Л невелико по сравнению с превышением средней энергии Е над энергией основного состояния системы. При этом абсолютная температура системы Т изменится весьма незничител: чо, Действительно, полагая Е=Е, азы получаем из (29) и (33) следующие оценки: Мы должны сказать, что тепло Я, поглощенное системой, жало, если выполняется неравенство (38), т.
е. если при поглощении тепла абсолютная температура системы существенно не изменяется. Предположим, что система А поглощает малое количество тепла. Тогда с подавляющей вероятностью начальные и конечные энергии системы равны соответственно средним значениям, Е и Е+ (',). При поглощении этого тепла изменится также число доступных состояний Р (Е) системы А.
С помощью разложения в ряд Тейлора мы находим !п г) (Е + Я) — !п () (Е) =- ад!пм), ! (д !пй~, Л ! д() — — — я' " =- И+я — — - 0э+ "- ЛЕ ) ' 2 ( дд~ 7 ' ''' ' 2 дй' Мы предполагаем, что количество поглощенного тепла () малб.. Поэтому абсолютная температура системы А остается почти неизменной и в соответствии с (38) можно пренебречь членом, содержащим 8()удЕ.
Таким образом, изменение величины !п !) (Е) будет равно Л (! ()) =- — 9 =- Я, д(!п Я! дЕ (40! и мы приходим к следующему выводу; если система, находящаяся при абсолютной темпераг) ре Т=(а()) ', поглощает количество тепла ('), ее энтропия 5.==А !и Й меняется на малую величину Л5„ равную Л5 =- —, о Т если !) мало. (4!) Следует подчеркнуть, что даже если количество тепла (~ велико по абсолютной величине, оно может оставаться относительно малым в смысле неравенства (37) или (39), так что выражение (41) будег еще справедливо. Если количество поглощенного тепла действительно бесконечно малая величина, мы можем обозначить ее 1 !~, и тогда бесконечно малое изменение энтропии будет равно (42) Заметим, что величина с(Я является просто бесконечно малов, тогда как величина д5 представляет собой дифференциал, т.
е. бесконечно малую размосгль энтропий системы А в ее конечном и начальном состояниях. 156 Так как Т=-(йб) ', илн !и Т= — !и 8 — 1п !г, то ЛТ7Т= — Л8А)„ таким образом, (38) эквивалентно неравенству )ЛТ)((Т. (39) Если осуществить тепловой контакт между системой А и любой системой В, которая существенно меньше Л, то количество тепла. поглощенное системой Л, всегда будет очень малб в смысле, определяемом неравенствами (37) или (39). )(ействительно, даже самое. большое количество тепла (З, которое система Л сможет взять у В, будет порядка полной энергии системы В (за вычетом энергии основного состояния).
Но даже эта энергия много меньше разности Š— Е, для самой системы А. Мы говорим, что система А действует как тепловой резервуар (пли тьтгловая баня) по отношению к другим системам, если она достаточно велика для того, чтобы тепловое взаимодействие с другими системами практически не изменило ее температуры. И в этом случае равенство (41), связывающее изменение энтропии ЛЯ теплового резервуара с поглощенным теплом ч), остается справедливым, 4.5. Система в контакте с тепловым резервуаром Большинство встречающихся иа практике систем не изолированы. Они могут обмениваться теплом со своим окружением. Если такая система мала по сравнению с окружающей ее средой, она. может рассматриваться как система, находящаяся в тепловом кон~акте с тепловым резервуаром, каким является все окружение этой системы.
(Например, любой предмет в комнате, скажем, стол, находится в тепловом контакте с резервуаром тепла, состоящим из комнаты с ее полом, потолком, мебелью, воздухом и т, и.) В этом разделе мы будем иметь дело с относительно малой системой А в. контактес тепловым резервуаром А'. Нас будет интересовать следу|о.
гний вопрос: какова вероятность Р„того, что в состоянии равновесия мы обнаружим систему А в состоянии г, обладающем энергией Е,?' Этот вопрос имеет весьма общий характер и ответ ни пего чрезвычайно важен, Заметны, что в нашем рассу>кденип системой А может быть любая система, число степеней свободы которой гораздо.
меньше, чем у теплового резервуара А'. Системой А может быт| любая относительно малая микроскопическая система (например, если кусок меди погружен в озеро, последнее является тепловым резервуаром). С другой стороны, системой А может быть и любая иикроскопическая система, если только она может быть идентифицирована *) (Например, если атом помещен в определенном месте решетки. твердого тела, то последнее будет являться тепловьи резервуаром.) Чтобы подсчитать число состояний теплового резервуара Л', мы опять разделим шкалу энергии на небольшие фиксированные. интервалы БЕ и обозначим через аа'(Е') число доступных состояний системы А', когда ее энергия равна Е' (т. е. лежит в интервале от Е" до Е'+БЕ). (Мы предполагаем, что интервал БЕ гораздо меньше *) Последнее замечание существенно, так как при квантовоиеханичеекои.
описании не всегда возиЪжно отоакдеетвить данную частицу среди других не отличимых ат нее частиц. 157 расстояния между уровнями энергии А', но достаточно велик, чтобы содержать много возможных состояний резервуара А'.) Чтобы получить ответ на интересующий нас вопрос о величине вероятности Р„ нахождения системы в состоянии г, достаточно применить рассуждения п. 4.!. Закон сохранения энергии требует, чтобы энергия системы А и резервуара А' оставалась постоянной велнчиной. Обозначая эту полную энергию через Е", имеем Е' .= Е' — Е„. (43] Но если система А находится в одном определенном состоянии О то число доступных состояний всей системы Л* просто равно числу состояний ()'(Е' — Е„), доступных А', Из нашего основного статистического постулата следует, однако, что изолированную систему Л* можно с равной вероятностью обнаружить в любом из ее доступных состояний.
Поэтому вероятность осуществления ситуации, когда система А находится в состоянии г, просто пропорциональна числу доступных состояний системы А*, когда А находится в состоянии г: (44) 7(о сих пор наши рассуждения имели весьма общий характер, Теперь мы используем то обстоятельство, что система А гораздо меньше резервуара А'. Это значит, что интересуюшая нас энергия Е, удовлетворяет следующему неравенству: Е„с.<< Е'. (45) Мы получим хорошее приближение для (44)„разлагая медленно менявшийся логарифм Р'(Е') около значения Е'=Е*. Аналогично (40), мы получаем для теплового резервуара !п й'(Š— Е,) =- )и()'(Е') — ~ — -,:~ Е, = )п(1'(Е*) — 8Е,„(4б~ где (47~ равно значению производной при фиксированной энергии Е'=Е*.
Эта величина'()=()г7') ' является постоянным температурным пара. метром теплового резервуара А'. Теперь нз (46) мы получаем Я' (Е~ — Е,) = Я' (Е') а-вг, (48) Величина ()'(Е"! является постоянной, не зависящей от г, поэтому вероятность (44) равна Р, =- Се-"а. (49) где С вЂ” константа, не зависяшая от г. Займемся теперь изучением физического смысла результатов (44) и (49). Если система А находится в определенном состоянии г, то резервуар А' может быть в любом из большого числа состояний 158 П р и м е р. Поясним приведенные вы- у е ше рассужденил простьш примероы. Рассмотрим систему А, некоторые уровни заергин которой показаны на верхней ча.
сти рис. 4.6, и значитслыю большую си. стему А'. Шкала энергии системы А' раз велена на равные интервалы 6Е=- 1, я число доступных состоянии в каждом внтервале Я'(Е') показано в ииънег) части рис, 4.6. Предположпы, что система А находится в тепловом равновесии с резервуаром А' и что ползал энергия Е* составной системы А* рвана Е*=2050 едняицам. Допустим, что А находится в одном из состоянии г, энергия которых Е» = 10 единвцам. Энергия резервуара в этом случае будет равна 2040 едннп.
пам и соответственно этому зна~ению энергии резервуар может находиться н любом из 2 10з доступных состолпий. В ан. самбле из большого числа изолированных систем А* (состоящем из снстелз А и А') число состояний, когда синтез~а А находится в состоянии г, будет пропорционально 2.!Оэ. Предположим геперь, что система А находится в состолнин з, энергия которого Е,= !6 единицам.
Тогда энергия резервуара будет равна Е =2034 единицам и соответственно система может находиться в любом из 1 !Оз возможных состояний. В ансамбле систем число случаев, когда А будет обнаружено в состоянии з, будет пропорционально 1Оз и будет составллть только головину от числа случаев, когда А находится в состоянии г, имеющем меньшую энергию.
б Етб гю ~' Ряс. 4.В. Схема доступпых еостоякяй закоторой сяетал~ы Л я спеппааького (очепь малеаького) теплового разорауа. ра АС На верхней часэп упсункэ показакы уровни эпэргпя эая паскольккх состояний еястэмы А, яа кямкей— чпсло лоатупкых состояний О'ГЕ') спетамы А' э эаэпспмоотя от еа эяергкп а'. Энергия озмчреаа з пропззоль. пых аляпкпах. Выражение для вероятности (49) является весьма общим результатом, имеющим огромное значение в статистической физике.
Экспоненциальный множитель е р ' называется множителем Больцмана; ьз'(Е* — Е,), доступных ему в этих условиях. Но мы знаем, чтгэ число доступных тепловому резервуару состояний Й'(Е') обычно является быстро возрастающей функцией его энергии Е' (т. е. () в (47) эбычно положительно!. Допустим, что мы хотим сравнить веооятности нахождения системы А в любых двух состояниях, энергии ко- 4 ' торых различны. Ес.ти система А находится в состоянии с большой энергией, то из закона сохранения ; Г энергии следует, что на долю резервуара приходится соответственпо меньшая энергия; поэтому число доступных состояний резервуара заметным образом уменьшается. В соответствии с этим уменьшением вероятность осуществления такой ~Х) ситуации также уменьшается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
