Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если йи, достаточно малб, эта вероятность также пропорциональна величине Ии, так что ее можно записать в виде уя(и)йп, где /р(и) называется плошностью вероятности и не зависит от величины интервала ди. Рассмотрение вероятностных проблем в случае непрерывной. переменной и легко свести к более простому случаю, когда переменная принимает дискретные значения и является, таким образом, счетной. Лля этого всю область изменения переменной и следует разбить на произвольно малые и равные интервалы величиной Ьи. Каждый такой интервал обозначается соответствующим индексом г.
Значение и в этом интервале обозначим через и„ а вероятность того, что и лежит в этом интервале, через Р, или Р(и,). Такая операция дает нам возможность иметь дело со счетным числом значений переменной и; каждое такое значение отвечает одному из интервалов г= 1, 2, 3, ... Очевидно, что соотношения между вероятностями, полученные в случае дискретной переменной,' остаются в силе н для переменных, принимающих непрерыв'-' ные значения. Например, формулы (32) и (33), описывающие' маз()(ф В случае непрерывной переменной мы исходим из вероятиоспи Ггд-л м~ он ((и Рис.
2 13 Область изменены» непрерывной переменной н разлелена на счетное число малых интервала» одинакового размера йа. Ка(кдый такой интервал обозначен индек сом. принимающим значения 1, 2, 3, . На граоике показана также величина ман раскопнческн малого интервала йи. Рнс. 2.12. Распределен не «ероятиости, поназанное иа рнс. 2 11, выражена чеРез плотность вероятности й'(М(. Теперь зз (й!ым (площадь под кривой, занлюченная между координатами М и М Ч-НМ(есть вероятность того, что полный магнитный момент лежит в интер. вале значений ат М ло Мч-НМ того, что переменная лежит в интервале значений и, и + (Ь.
Эта героятность, как мы видели, равна У(и)((и *). Чтобы выполнить тпераиию, указываемую формулой (75), надо произвести суммиронаиие (интегрирование) по всем интервалам (Ь.,Таины образом, условие нормировки (75), выраженное через плотность вероятности, будет иметь вид а, ~ У(и)((и = 1. (76'р е, Аналогично, в случае дискретной переменной среднее значение некоторой фуикнии этой переменной равно ) (и) = — ~,нР (и,) ) (и,) (77'р Переходя к непрерывной переменной, мы должны сначала произвести суммирование по всем значениям переменной г внутри интервала и, и + (Ь.
Это дает вклад а сумму, равный Яи)г(и 7(и). Теперь, остается занернйить суммирование, взяв интеграл по всем а).ЗДССЬ ПРЕЛПОЛаГан(СЯ, йтп ((и ВЕЛИНО ПО СРаВНЕНИЮ С ПРОИЗВОЛЬНО МаЛЫМ интервалом би (((и)~зн), но достаточно мало для того, чтобы Р(и ) майо менялось и интервале пн.' й(войства среднего, применимы также и для непрерывной переменной и. Заметим, что суммы, которые входят в условие нормировки нлн в выражение для средних значений, следует при переходе к Непрерывной переменной заменить на интегралы. Так, условие нормировки заключается в том, что сумма вероятностей, взятая по всем возможным значениям переменной и, равна единипе." ~ Р(и„) =!.
(75) ноаможным значениям и. Таким образомк аквивалентолг формуддх (77) является след)чошая "): 'зз ') (гг) = ~ У (и) 7 (и) б(и. ' (78) а, Обобщение на случай нескольких переменных. Обобщение сделанных выше замечаний на случай двух и более переменных не вы-" зывает затруднений Поп) стим, например, что мы имеем дело с двумя независимыми Рвс. т !4. Обдаст« кзк ксззв ксврсрзркм«кзщсазз~ мк и к з ргзкезе«м вз кваме ввг рзазм взввчввва бв к бз сзлтветствзккз Нтк кктзрвзкы збззкз«ззк ввдзксзкк к ч. тек сзкмм плоскость к. з акззмзветсв рзздзззкнчз кз калме вчзпкк. збвзкзчззкмз парой вздексов «к з, переменнымн и и р. Тогда совместная вероятность того, что переменная и лежит междуии и+ пзз, а переменная р между о н р+ др, пропорциональна как г)и, так и пхч и может оыть записана з виде ~~(и, р) Йи кр, где Яи.
о) представляет собой плотность вероятнссти, не зависящую от величины ннтерваловпи н кр. При жела; нии ситуацию можно опять свести к случаю дискретных переменных. Для этого область изменения переменной з)и нужна рззделнть на очень большое число ззалыд фиксированных интервалов одинаковой величины би н пронумеровать зти внтервалы индексом г. То же следует сделать и с другой переменной о, обозначив соответствующие интервалы индексом з. Затем для статистического описания ситуации можно вместо плотности вероятности Зз(и, р) воспользоваться вероятностью Р„ того, что переменные попадагот в некоторую яченку, обозначенную парой индексов г и з. *) Заметим, что для некоторых значений и пдотиосвю вероятности уз (и) жпишт быть японо«вечной.
Зто не вызывает никаких трудностей, если толысо ни- з, теграл ) д'(и) з)и (который дает вероятность того, что величина и лежит в кз пронэвольной области значений между сх и с,) остается конечным. Сводка определений Сгпатистичгский ансамблю Собрание большого числа иевзаилюдействующих между собой систем, каждая из которых удовлетворяет тем же условиям, что и рассматриваемая нами система. 4 нсалбль, не зависящий от арелели. Лнсамблго в котором число систелз с данныип свойствами одно п то же в любое время. Сир»ай, Исход опыта или результат наблюдений.
Вероятность. Вероятность Р, осуществления данного случая в рассматрпв»смой системе определяется с помощью статистического ансамбля из оз»п та, пх систем. Если случай г осущестнплся в ч!)Пг а»схемах ансамбля, то Рг=-А г? "е (прн сй со) Статистическая нгэавигь»»ость. Два случая статистически независимы, если осйатсствление одного из ннх не зависит от осуществления или неосуществления д!»)т»»го Среднее значение (или среднее по ангажблю). Среднее значение и <Кюзиачают и. Это среднее вычисляется по формуле = — ~р,и„ г где су»ширование производится по всем возможньш значениям переменной г, а Р обгзнз ~ает вероятность осуществления данного значения и,.
Дис»»грс»»л (или вариапич). Лнсперсия переменной и ойределяется тзк: (бг») -=. з~» Рг (иг г») С»»»андарл»нге оптлонениг. Гландартное отклонение переменной представляет собсн квздратньш корень иэ дисперсии: Ли =-- [(Ли)з~ »м р»лоп»нос»п» играл»плести. Определение плотности всроятносги яи) заключается в точ, что после ) множенпя этой велнчины на величину интервала йи мы поп:чвсм,"?»(и]г!и — вероятность того, что непрерывная переменная и находится в интервале значений между и н и+йи. Основные формулы )*.~;есч Л' статпстачески пезззпспчых опытов, вероятность появления данного исхода опыта равна р (З=(! — Р) — вероятность непонвления исхода).
Вероятность появления и исходов при У испытаниях (биномиальнос распределение): Л'! Р (и) — ' рз,?Л' — л л! (Л' — и)! Среднее число осу»пествившихся исходов опыта п == Лг р. Стандартное отклонение Задачи 2.!. Прас»»гия задача об игральной хасти. Какова вероятность выпздания шестерки или меньшего числа прн трех бросаниях? 2.2. Рассмотрим случайвые числа между О и !. Какова вероятность того, что ровно пять из десяти мест после залитой заняты числами, меньшами 5? 2.2. Бросиние игральной кисти.
Предположим, что все стороны кости выпадают с одинаковой вероятностью. Рассмотрим игру, которая заключается в бросании пяти таких костей. Найдите вероятность выпадания шестерки: а) в одной кости л,в н ав б) по крайней мере в одной кости, в) в двух костях. 2.4. Вероятнасягь выжить. Иногда можно слышать о странной игре (автор ие рекомендует ее!), когда в шестизарядный барабан резал~вера вкладывают один боевой патрон.
Затем барабан крутят и стреляют в себя. Какова вероятность остаться живью после а) одного нспьпання? б) двух испытаний? в) Л( испытаний? г) Какова вероятность быть застреленным при Л! испытаниях? 2.5. Лрабхел~а сгугаиннх блуждании. Человек начинает свое дниженне от фонаря посреди )ляпы, делая шаги равной длины 1. Вероятность того, чта он сделает шаг вправо, равна р, а вероятность того, что этот шаг будет сделан влево, равна у=! — р.
Человек настолько пьян, по, делая данный шаг, он совершенно не помнит о направлении предыдущего. Таким образом. его шаги статистически независимы. Предположим, что он сделал Лг шагав, а) Какова вероятность Р (и) того, что и этих шагов сделаны вправо, а остальные М вЂ” и шагов влево? б) Какова вероятность Р'(т) того, что смещение человека от фонаря равно т1, где т — нелое число? 2.6. Вералгпигхть зазнрищенил в исходную танку. Допустим, что в предыдущей задаче р.=.д, так что вероятносги смешения влево и вправо при клждоч шаге равны. Какова веронпюсть того, что человек снова окажется у фонаря после Ф шагов: а) если Л! четно? б) если М нечетко? 2.7.
Одиодмриая диффузия атана. Представим себе тонную медную проволоку, натянутую вдояг асн х. Несколько атомов ыезн, расположенных вб:щзи х=-О, сделаны радиоактг~вными (предпозожич, например, что их бомбардировали быстрыми частицами). При увеличении температуры нити подвижность атаман возрастает. При этом каждый атом может перескочить на соседнее место а кристаллической решетие, либо направо (в направлении з-х) либо нал во (в направлении — х). Соседние ыеста, заничьечые атачоч в решетке. разделены расстоянием 1.
Г!редположим, что время нахождения атома в данноч месте решетки равно т. Время т есть быстро возраста|ащая функпнн абсототной течпературы решетки. Пропегс перемещения атома вдоль нити в резытьтате последователы<ых скачков между соседними местаын решетки начываетгя диффузигй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
