Новая философская энциклопедия В 4 томах. Том 2 (1184479), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Он отказался от многих объектов, создансохраняя классическую логику.ных в теоретико-множественной математике, и ограничилсятеми, которые хотя бы косвенно сводятся к двум исходнымРеализуемость выявила, что интуиционистские теории могутсущностям: к конструктивным объектам, строящимся какрасходиться с классическими. Напр., если А(х) — неразреконечные конструкции из конечного числа исходных ясношимое свойство натуральных чисел, то конструктивно вернаразличимых объектов, и к последовательностям выбора, предформула - \/х(А(х) У\А(х)).137ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКАЗафиксировав понятие вычислимой последовательности, мысохраняем свободу при определении операторов высших типов.
Первым это показал Клини, построив общерекурсивнуюреализуемость, при которой выполнена схемаVx (1 А(х) =* 3 уВ(х,у)) * Vx3 у (] А(х => В(х,у)),выражающая всюду определенность всех функций. Возможность выразить формулами первого порядка те высказывания, для которых в классической логике требуются конструкции высших порядков — еше одно преимущество интуиционизма.
Принцип Маркова несовместим с данной схемойво всех содержательных интуиционистских теориях, хотя обаони являются классическими тавтологиями.Э. Бишоп (1960), переопределив вычислимые функционалы,предложил вариант интуиционизма, который характеризуется принципом: «использовать лишь алгоритмы, но явно этогоне говорить». Этот вариант, в дальнейшем развитый многимиучеными, в том числе П. Мартин-Лёфом, соединил многиепреимущества брауэровского и марковского подходов.Сам Брауэр после появления реализуемости по Клини сосредоточился на примерах вычислимости, не подходящих подпонятие алгоритма.
В частности, он предложил следующиеновые типы последовательностей — творческую последовательность а(п) = 0, если в году п не доказана формула А, и 1,если она доказана; и беззаконную последовательность, обладающую следующим свойством:Va {A (а) => 3 n V(3(Vm (m < n => а(т) = (3(ш)) =>Аф))),т. е. все, что мы о них знаем, мы знаем из уже полученной информации. Трулстра (1974) доказал, что композиции алгоритмов и беззаконных последовательностей образуют интуиционистскую модель, в которой можно промоделироватьтворческие последовательности. Беззаконные последовательности явились первым примером позитивного использования незнания в точных науках.
Возможность сформулировать незнание в виде логической формулы — еще однодостижение интуиционизма. С конца 70-х гг. развиваютсяидеи приложений интуиционизма к программированию,поскольку интуиционистские доказательства могут рассматриваться как полностью обоснованные программы.Как всегда, попытка лобового применения глубоких идеальных концепций оказалась неудачной. В таких случаяхнужно искать обходные пути. Ими могут стать системы,основанные на более жестких принципах, не принимающие абстракции потенциальной осуществимости и дающиепостроения при ограниченных ресурсах. Таковы линейныелогики Ж.-И. Жирара, ультраинтуиционистские системыА. С.
Есенина-Вольпина и С. Ю. Сазонова, нильпотентныелогики Н. Н. Непейводы и А. П. Белътюкова.Голландская школа, наоборот, рассмотрела приложения интуиционистских понятий к теории множеств, расширяющиепонятие эффективной операции, и получила ряд глубокихрезультатов. В частности, аксиома выбора интуиционистскистановится почти безвредной, так что она концептуально противоречит исключенного третьего закону, а не эффективности построений.
Интуиционистские теории возникают такжепри категорной интерпретации логики.Интуиционизм, остро поставив вопросы оснований математики, способствовал развитию других направлений, в частности, формулировке программы Гильберта (см. Формализм). Онвыдвинул на первый план понятие построения, что способствовало повороту математики в сторону приложений. Он показал важность идеальных объектов при построениях, что обосновало ущербность плоских прагматических и утилитаристских концепций и возможность рациональной альтернативытрадиционному рационализму, что до сих пор как следует неиспользовано современной философией и системологией.Лит.: ГейтингА.
Интуиционизм. М., 1969.Н. Н. НепейводаИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА - первоначальнологика интуиционистской математики, получившая впоследствии более широкое применение. Неформально развиваласьЛ. Брауэром с 1907 г., первую интерпретацию, независимую отинтуиционистской идеологии, дал А. Н. Колмогоров, первыеформализации построили В. Гливенко и А. Гейтинг.Язык интуиционистской логики совпадает с языком классической логики. Сохраняются и правила естественного вывода для всех связок, кроме отрицания.
Для отрицания правилоснятия двойного отрицания ослабляется до правила «Из лжиследует все, что угодно». В результате ослабляются возможности косвенного вывода — косвенно можно опровергать(по правилу reductio ad absurdum), но, вообще говоря, нельзядоказывать положительные суждения от противного.В интуиционистской логике все связки независимы. Болеетого, для доказательства утверждения А достаточно пользоваться лишь формулами, не содержащими связок, отсутствующих в А. В интуиционистской логике нет стандартных(нормальных) форм, аналогичных классическим. Как правило, преобразования, связанные с законами формулировкиотрицаний и приведения к предваренной форме, действуютлишь в одну сторону. Так, напр., верно - \Av —\В=$-~л(А&В), а~~\{А&В) => —\Av~\B выполнено не всегда. Сильный исключенного третьего закон (tertium поп datur) отвергается, но егослабая форма «А и его отрицание не могут быть одновременно ложны» -1-1 (Aw~\A), сохраняется.
Поэтому неправильнотрактовать интуиционистскую логику как вводящую дополнительные истинностные значения, она скорее отвергаетсаму концепцию логических значений.Интуиционистская логика обладает радом выдающихся свойствв классе неклассических логик. Для нее выполнены теоремаКрейга об интерполяции: «Если выводимо А => С, то можнопостроить формулу В, содержащую лишь термины, входящие и вА, и в С, такую, что выводимы А => В, В => С» и теорема Бета обопределимости: «Если в сигнатуре о выделена подсигнатура а0, итермин Т не принадлежит о0, но сохраняет одно и то же значениедля всех моделей теории 77/, в которых совпадают значения терминов из о0, то Т определим через с0 в теории 77г.»Эти две теоремы сохраняются лишь для малого числа неклассических логик. Более распространенным свойством является нормализуемость выводов, позволяющая в принципеустранить леммы из доказательств.
Оно также выполнено дляинтуиционистской логики.Выполнено для нее и свойство корректности относительноv и 3 : если доказано A v В, то доказано либо А, либо В; еслидоказано 3 хА(х), то для некоторого t доказано A(t). Даннымсвойством классическая логика не обладает. Интуиционистская логика — единственная логика среди континуума логикс тем же языком, что и классическая, для которой выполненывсе эти свойства.Таким образом, она может служить основой для содержательных математических теорий, поскольку в ней интуитивная определимость совпадает с формальной.Хотя множества теорем и доказательств интуиционистскойлогики по объему уже соответствующих множеств классичес-138ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКАкой, последняя вкладывается в интуиционистскую.
Первымтакое погружение осуществил Гливенко. Таким образом, выразительные возможности интуиционистской логики сильнееклассической. В свою очередь, К. Гёдель показал, что интуиционистская логика вкладывается в модальную логику S4. Приэтом погружении связки &, V , 3 остаются без изменения,а на элементарные формулы и на результаты применения остальных связок навешивается модальность.Интуиционистская логика не может быть описана никакой конечной системой логических значений, и, более того, для неенеестественно описание с помощью таблиц истинности (хотясчетнозначные таблицы истинности для нее существуют).
Ноона имеет несколько математических интерпретаций. Исторически первой была интерпретация А. Тарского. В ней значениями истинности для предикатов являются открытые подмножества топологического пространства. Значения &, V ,3 определяются булевым образом. Значение ~~1 А есть внутренность дополнения значения А.
Это вызвано тем, что дополнение открытого множества часто не является открытым.Аналогично определяются значения А => Вп\/ хА(х). Напр.,несправедливость А V —\ А можно продемонстрировать следующим образом: объединение открытого единичного круга ивнутренности его дополнения дает не всю плоскость, а плоскость без единичной окружности.Следующей интерпретацией была алгебраическая модель —алгебры Линденбаума-Тарского для интуиционистских теорий.
Их называют псевдобулевыми алгебрами. Эти алгебрывпервые были созданы для данной цели, но оказались распространенной и широко применимой структурой. Параллельно с этим развивалась линия, ведущая начало от брауэровского содержательного смысла интуиционистскойлогики. Формулы истолковывались как задачи, логическиесвязки — как преобразования задач, аксиомы — как задачи, для которых решения считаются известными, а правилавывода — как преобразования решений задач. Данные идеисистематизировал А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
