Новая философская энциклопедия В 4 томах. Том 2 (1184479), страница 93

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 93)

Н. Колмогоров. Каждой формуле Асопоставляется множество ее реализаций ®. Каждая реали­зация считается решением задачи, соответствующей А. Реа­лизации элементарных формул задаются по определе­нию. ®(А&В) = ®А х ®В, где ®(А&В) это пара реализаций<®А®В>; ®(Av В) = ®АФ ®В, где ЩАv В) — реализацияА или В с указанием, какая из подзадач решена;® — I А = 0 <=> ®А = 0, где ® —1А — стандартный элемент,например О, при условии, что задача А неразрешима;® 3 хА(х) = © а£ у ®А(а), где ®3 хА(х) — это пара из значениях0 и решения А(х0).

Реализациями А => В являются эффек­тивные функционалы из ®А в ®В. Реализациями V хА(х)являются эффективные функционалы, перерабатывающиекаждое а е U в реализацию А(а).В данном определении остается не уточненным понятие эф­фективного функционала. Оно может уточняться по-разно­му, в частности, если взять в качестве эффективных функци­оналов все классические функции, то логика превращается вклассическую. С. К. Клини построил первый точный вариантреализуемости, взяв в качестве эффективных операторов ал­горитмы и кодируя программы алгоритмов натуральнымичислами, обходя таким образом сложности с операторамивысших типов (клнниевская реализуемость). Он показал, чтоиз Доказательства в интуиционистской арифметике извлека­ется клиниевская реализация доказанной теоремы, и, такимобразом, если мы доказали 3 хА(х), то имеется такое п, чтодоказано А(п).

Это точно обосновало тезис Брауэра о том, чтоинтуиционистские доказательства дают, в отличие от класси­ческих, построения.Еще одна семантика интуиционистской логики берет началоот Бета и развита Крите. Это — один из видов моделей Крипке. Множество миров — частично-упорядоченное множество(достаточно рассматривать дерево), истинность элементар­ных формул сохраняется при подъеме, универсумы не умень­шаются при подъеме, значения &, V , 3 определяются ло­кально, и> = A D f i « V v > w (v = Л=> v = В), w = -\А<» V v>м>(—iv = Д), и>= ^ хА(х)<>\/ v>w(V aE U\=A(a)), гдеv и w — это «переменные по мирам».

Данные пункты прак­тически повторяют на семантическом уровне гёделево пог­ружение интуиционистской логики в S4. Модели Крипкеизоморфны алгебраическим и топологическим моделям(порядок определяет псевдобулеву алгебру верхних отрезковмножества миров и топологию, в которой окрестностямислужат верхние отрезки).Уникальным для неклассических логик является наличие у ин­туиционистской логики двух разнородных и несводимых другк другу классов семантик: реализуемостей и моделей Крипке.Аналогия между доказательствами в интуиционистской ло­гике и построениями усилена X. Б.

Карри в его «Комбинатор­ной логике» (Combinatory Logic, 1968). Замкнутые типизи­рованные выражения в комбинаторной логике изоморфнывыводам в гилъбертовской формулировке импликативногофрагмента интуиционистской логики. Замкнутые типизи­рованные ^-термы изоморфны выводам в импликативномфрагменте естественного вывода.

Изоморфизм между вывода­ми и X.-термами пытались расширить на всю интуиционист­скую логику, обобщая ^.-исчисление. Но на этом пути стоитпрепятствие, указанное еще Брауэром и явно выделенное Н.А. Шаниным. Выводы в интуиционистской логике соединя­ют построения и их обоснования. В частности, построения,проделанные при выводе ~~I А, нельзя вычислять, посколькуони приведут к ошибке. Но подобным же действием могутобладать и другие импликации, в частности, закон транзитив­ности V xyz (A(x, у) &A(y,z)=$A(x,z).

Здесь может привести кнежелательным последствиям вычисление у. Такие объек­ты, которые нельзя или не нужно вычислять в программе, нонужно рассматривать для ее обоснования, ввел Г. С. Цейтини назвал «призраками». Н. А. Шанин рассмотрел алгоритмконструктивной расшифровки, разбивающий формулу назадачу и обоснование решения, причем вторая часть могладоказываться классически. Его решение имеет место для ре­курсивной реализуемости в теории, пополненной принципомМаркова: V х(А(х) V -\A(x))&n—i 3 хА(х) => ЭхА(х).Содержательный смысл данного принципа раскрывается из­речением «Ищите и обрящете»: если известны критерии про­верки правильности решения и доказано его существование, тоего может найти машина полным перебором.

Н. Н. Непейводадал алгоритм классификации объектов внутри произвольноговывода в интуиционистской логике, отделяющий действую­щие объекты и формулы от бездействующих, порождающихлишь обоснования и призраки.Интуиционистскую логику пытались варьировать многимиспособами. Первой вариацией была минимальная логикаИогансона, получающаяся отбрасыванием ex falso sequiturquodlibet. Как оказалось, в прикладных теориях интуицио­нистское отрицание тем не менее моделируется (напр., в лю­бой теории, содержащей натуральные числа, как А => 0= 1).

Номинимальнаялогика, как и интерпретация Колмогорова, выс­ветила аномальный статус отрицания в интуиционистской ло-139ИНТУИЦИЯгике. Это — единственная связка, не требующая никакогопостроения.В связи с этим Грис предложил симметрическую интуицио­нистскую логику, в которой истина и ложь определяются од­новременно и равноправно. В симметрической интуицио­нистской логике сохраняются обычные правила формулировки отрицаний классической логики, и в ее натуральном вари­анте они даже постулируются в качестве правил вывода. Отри­цание в ней обычно обозначается ~А и называется «сильнымотрицанием», или «конструктивным опровержением».

Оноинтерпретируется как задача на построение контрпримера к А.Симметрическая интуиционистская логика детально исследо­вана в монографии И. Д. Заславского.Ю. М. Медведев предложил рассматривать логику финитныхзадач и заметил, что, если функционалы всюду определены,то формула (-1 A=>BVC=> ((-\ А=>В) V (-[ Л=>С)) реа­лизуема (реализация ~| А стандартна, и ее можно подставитьв функционал, чтобы выявить единственного кандидата нарешение среди В, С). Вслед за этим начали рассматриватьсямногочисленные суперинтуиционистские логики, получаю­щиеся расширением интуиционистской логики некоторымисхемами аксиом. Почти все они либо влекут закон исключен­ного третьего в прикладных теориях, либо не удовлетворяюттеореме Крейга об интерполяции и теореме Бета.

Так что ин­туиционистская логика занимает уникальное место в классенеклассических логик, не только как старейшая из них, но икак концептуально целостная система.вал за интуицией лишь способность констатации факта бы­тия объекта; Оккам говорил об интуиции как о «смутном»представлении) резко меняется в 17 в. в связи с укреплениемпозиций классического рационализма и широкой экспан­сией математики и ее методов в философию и науку. Важ­нейшим условием истинности знания и познания основныхаксиом науки Декарт считал фактор непосредственной до­стоверности, характерный для интуиции как формы «ясногои внимательного ума», порожденной «одним лишь светом ра­зума» (Избр. произвел. М., 1950, с. 86).

Подчеркивая особуюроль дедукции в познании, Декарт усматривал преимуществоинтуиции в ее «простоте» и надежности. Статус интеллекту­альной (рациональной) интуиции как высшего вида знанияотстаивали с теми или иными оговорками Спиноза, Локк,Лейбниц, Мальбранш и др. В отличие от Декарта, Лейбницне считал ясность и простоту интуиции гарантией безуслов­ной истинности знания, а Локк ограничивал компетенциюинтеллектуальной интуиции констатацией связей и отноше­ний между идеями. Различного рода коррекции интеллек­туальная интуиция подверглась в дальнейшем со стороныФихте, Шеллинга (интуиция как непосредственное тождес­тво субъекта-объекта), Новалиса (интуиция как исток жиз­ни). Ценность интуиции подчеркивалась Шефтсбери, Гёте,Якоби, Гаманом. Кант называл интуицию схематическим,или символическим, способом представления, подчерки­вая, что мышление дискурсивно, а не интуитивно.Рационалистическая концепция интуитивного знания оказа­лась, как это ни парадоксально, наиболее теоретически и логи­Лит.: Brouwer L.

Е. J. Over de grondslagen der wiskunde (Об основаниях чески уязвимой и именно в этом качестве интуиция приобрелазнания). Amst.—Lpz., 1907; Brouwer L. EJ. De onbetrouwbaarheid derдействительно проблемный характер. Непосредственность,logische principes (О недостоверности логических принципов). — Tijdsehz voor Wijsbegeerte, v. 2, 1908; KolmogoroffA. Zur Deutung der intu- безотчетность и субъективность, как специфические свойстваitionistischen Logik.

— «Math. Zeitschrift», v. 35,1932 (рус. пер.: К толко­ (особенности) интуиции вступали в явное противоречие с уста­ванию интуиционистской логики. — В кн.: Колмогоров А. Н. Избр. тр., новленными тем же рационализмом критериями достовернос­ти научного и философского знаний как знаний понятийныхМатематика и механика. М., 1985); HeytingA. Die formalen Regeln derи логически корректных.

Созерцание (die Anschauung) — такIntuitionistischen Logik. — Sitz. Der Preus. Akad., Phys.-mathematischeКант именовал обычно интуицию — лишь посредствующееKlasse. В., 1930; TarskiA. Der Aussagenkalkul und die Topologie.— «Fundamenta Mathematicae», v. 31, 1938; Curry H. B. Combinatory Logic,звено между предметом мысли и самим мышлением, субъек­v. 2. N. Y., 1968; Шанин Н.

Характеристики

Список файлов книги