slides04 (1181132)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 4. Потенциальные барьерыи потенциальные ямыВ.Н.Глазков, МФТИ 20192ℏ ∂2−Ψ +U (x)Ψ= E Ψ22m ∂xбарьерпотенциальная яма2ℏ ∂2−Ψ +U (x)Ψ= E Ψ22m ∂xбарьеризмерениепрозрачности(коэффициентапрохождения),нахождение энергиистационарныхсостояний в ямепотенциальная ямаЧасть 1. Туннельный эффектЗадача 1: подбарьерноетуннелированиеEU0E<U00ikxΨ1=e + Ae√aX−ikx2mEk=ℏ2Ψ3=C eκx−κ xΨ2 =B1 e + B2 eκ=√2 m(U 0−E )ℏ2ikxЗадача 1: подбарьерноетуннелирование{EU01+ A=B1 + B 2i k ( 1− A) =κ ( B1−B2 )C ei k a =B1 e κ a + B 2 e−κ ai E<UkCeik a0=κ [ B1 e −B 2 eκa+ усидчивость...0ikxΨ1=e + Ae√aX−ikx2mEk=ℏ2Ψ3=C eκx−κ xΨ2 =B1 e + B2 eκ=√2 m(U 0−E )ℏ2ikx−κa]Задача 1: подбарьерноетуннелирование{EU01+ A=B1 + B 2i k ( 1− A) =κ ( B1−B2 )C ei k a =B1 e κ a + B 2 e−κ ai E<UkCeik a0=κ [ B1 e −B 2 eκa−κa]+ усидчивость...ikxΨ1=e + Ae√−ikx2mEk=ℏ2k0X 4i κi kaaCe =2 Ψ =C e ikx3kk−2 1− 2 sh(κ a)+4 i κ ch(κ a)κκx−κ x прохожденияΨ2 =Bкоэффициентe+Be12j прош4 k 2 κ222D=m(U 0−E=)∣C∣ =2 222 22κ=j2пад4kκ+(k+κ)sh(κ a)ℏ(√)Задача 1: подбарьерноетуннелирование{EU01+ A=B1 + B 2i k ( 1− A) =κ ( B1−B2 )C ei k a =B1 e κ a + B 2 e−κ ai E<UkCeik a0=κ [ B1 e −B 2 eκa−κa]+ усидчивость...ikxΨ1=e + Ae√−ikx2mEk=ℏ2k0X 4i κi kaaCe =2 Ψ =C e ikx3kk−21−22m sh(κU 0 a)+4 i κ ch(κ a)22k + κ =κ 2κx−κ x прохожденияℏΨ2 =Bкоэффициентe+Be12j прош4 k 2 κ222D=m(U 0−E=)∣C∣ =2 222 22κ=j2пад4kκ+(k+κ)sh(κ a)ℏ(√)Бонус: надбарьерное отражение2 2j прош24k κD==∣C∣ =2j пад4 k 2 κ2 + ( k 2 + κ2) sh 2 (κ a)EE>U0U00ai k'xΨ 2= B 1 ek '=√+ B2eX−i k ' x2 m(E−U 0 )ℏ2=i κБонус: надбарьерное отражение2 2j прош4k κD==j пад 4 k 2 κ 2+ ( k 2 +κ2 )2 sh2 (κ a)EE>U0U00i k'xk '=√22j прош4k k 'D== 2 2j пад 4 k k ' +( k 2−k ' 2) 2 sin 2 (k ' a )XaΨ 2= B 1 e+ B2e−i k ' x2 m(E−U 0 )ℏ2κ=−i k 'sh(κ a)=−i sin(k ' a)=i κпросветление приk ' a=π nПредельные случаи2 2j прош4k κD==j пад 4 k 2 κ 2+ ( k 2 +κ2 )2 sh2 (κ a)(κ a )≫1(κ a )≪1широкий/высокий барьерузкий/невысокий барьерD≈16 k 2 κ2( k 2 +κ2 )−2 κae2−2 κa≃eD≈1(1+2k +κ2k)2 2a2Приближенная формула дляпроницаемости барьера произвольнойформыEEU(x)0aXПриближенная формула для барьерапроизвольной формыEEU(x)0aXD≈∏ D i≈∏ e−2 κi a iii( √a=exp −∑ 2 κi ai =exp −2∫(i)=02 m ( U (x )−E )ℏ2dx)Примеры эффекта подбарьерноготуннелирования1) Реакции ядерного синтеза и альфа-распад2) Туннельные контакты проводников и туннельныймикроскоп3) Оптическая аналогияПримерыэффектаподбарьерногоПример 1протон-протонныйцикл в звёздахтуннелирования2+p + p → H +e + ν e + 0.42 МэВ1) Реакции ядерного синтеза и альфа-распадядра~1 фм2) Туннельные размерконтактыпроводникови туннельный−10 22микроскопe ( 4.8×10 )−7E==эрг=23×10эрг=1.5 МэВ3) Оптическая аналогиякул−13r101 эВ≈10000 К, 1 МэВ ≈ 1010 К=10 млрд.

Кв ядре Солнца 14 млн.Кальфа-распад плутония:энергия альфа-частицы 5.6 МэВвысота барьера вблизи ядра(Zα=2, Z'=92) ~200 МэВПримерыэффектаподбарьерногоПример 2Высота барьера определяетсятуннелированияработой выхода (2..4 эВ)1) Реакции ядерного синтеза и альфа-распадТуннельныйток2) Туннельные контакты проводникови туннельныйIпропорционаленпрозрачностимикроскопбарьера D3) Оптическая аналогияОценка:( √D≈exp (−2 κ d )≃exp −22 m Aвыхℏ2d)ℏ10−27−8L==≃10см=1 Å−27−122 √ 2 m Aвых 2 √ 2×10 ×3×1.6×10ПримерыэффектаподбарьерногоПример 2туннелирования1) Реакции ядерного синтеза и альфа-распад2) Туннельные контакты проводникови туннельныйFZ Juelich, STM Group, Scanning Probe Microscopy,http://www.fz-juelich.deмикроскоп/ibn/Scanning_probe_microscopy3) Оптическая аналогияВикипедия, Сканирующий туннельный микроскоп,http://en.wikipedia.org/wiki/Scanning_tunneling_microscopeNiWake Forest University, STM Group,http://www.wfu.edu/nanotech/Microscopy%20Facility/STMInstructions.htmlIBM Corp., STM Images Gallery, http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.htmlПримерыэффектаподбарьерногоОптическая аналогиятуннелирования1) Реакции ядерного синтеза и альфа-распад2) Туннельные контакты проводников и туннельныймикроскоп3) Оптическая аналогияЧасть 2.

Потенциальные ямыПрохождение над ямой (эффектРамзауэра)E22j прош4k k 'D==j пад 4 k 2 k ' 2 +( k 2−k ' 2) 2 sin 2 (k ' a )U0<0k ' a=π nНа длине ямыукладывается целоечисло полуволн деБройляЗадача 2: Одномерная яма сбесконечными стенкамиΨ=A e i k x + B e−i k x == A' sin (k x)+ B ' cos(k x )Ψ=0Ψ=0a0{U (x)=0, 0< x< a∞ , x <0 или x >aЗадача 2: Одномерная яма сбесконечными стенкамиΨ n= An sin k n xa k n=π nℏ2 k 2n ℏ 2 π2 n 2En==2m2 m a2Ψ=A e i k x + B e−i k x == A' sin (k x)+ B ' cos(k x )Ψ=0Ψ=0a0{U (x)=0, 0< x< a∞ , x <0 или x >aОбщие свойства волновой функции впотенциальной яме10●86●4200(ka)В связанном состоянииимеются дискретныеуровни энергии,маркируемые наборомквантовых чиселв 1D число нулейволновой функциирастет с ростомэнергииОбщие свойства волновой функции вОптическая аналогия:потенциальной яместоячие волны в резонаторах (для1D — резонатор Фабри-Перо)● В связанном состоянииимеются дискретныеуровни энергии,маркируемые наборомквантовых чисел● в 1D число нулейволновой функцииI Favero and K Karrai 2008 New J.

Phys. 10 095006растет с ростомэнергии10864200(ka)Задача 3: Уровни симметричнойодномерной яма конечной глубины-a/2Ψ= A(−)ea/2локализованноеΨ= A(+) e−κ xсостояниеE<0κx-U0Ψ= B1 sin (k x) или B2 cos(k x)Симметрия потенциала требует чётности или нечётностиволновой функциитипаCOS3:ЗадачатипаУровни симметричнойSIN−κa / 2−κa / 2cos(k a /2)= A esin(ka/2)=Aeодномерной яма−κ a /2 конечной глубины−κa / 2−k sin (k a / 2)=−κ A ek cos(k a/ 2)=−κ A e{{-a/2Ψ= A(−)ea/2локализованноеΨ= A(+) e−κ xсостояниеE<0κx-U0Ψ= B1 sin (k x) или B2 cos(k x)типаCOS3:ЗадачатипаУровни симметричнойSIN−κa / 2−κa / 2cos(k a /2)= A esin(ka/2)=Aeодномерной яма−κ a /2 конечной глубины−κa / 2−k sin (k a / 2)=−κ A ek cos(k a/ 2)=−κ A e{tgΨ= A(−)eka κ=2 k-a/2{tga/2kak=− κ2локализованноеΨ= A(+) e−κ xсостояниеE<0κx-U0Ψ= B1 sin (k x) или B2 cos(k x)типаCOS3:ЗадачатипаУровни симметричнойSIN−κa / 2−κa / 2cos(k a /2)= A esin(ka/2)=Aeодномерной яма−κ a /2 конечной глубины−κa / 2−k sin (k a / 2)=−κ A ek cos(k a/ 2)=−κ A e{tg{ka κkak=tg=− κ2 k2-a/2a/22 m U02mU0 222k +κ =→κ=локализованное−k22ℏℏсостояниеE<0√√2mUaka0-U0 1 −1tg=22 ℏ2 ( ka /2)2ka−1tg=2mU 0 a 21−1222 ℏ (ka /2)√Задача 3: Уровни симметричнойодномерной яма конечной глубины√m U 0a2ka1tg=−12222 ℏ ( ka /2)(ka)/2ka−1tg=2mU 0 a 21−1222 ℏ (ka /2)√A=√mU 0 a2ℏ22Задача 3: Уровни симметричнойодномерной яма конечной глубины√m U 0a2ka1tg=−12222 ℏ ( ka /2)(ka)/2ka−1tg=2mU 0 a 21−1222 ℏ (ka /2)√A=√mU 0 a2ℏ22В прямоугольной ямеЗадача 3: Уровни симметричнойконечной глубины —конечное глубинычислоодномерной яма конечной●связанных состояний● В одномерном случаесвязанноесостояние2m U 0aka1естьвсегдаtg=−122● В22 ℏ достаточно( ka /2)мелкойяме — единственноесвязанное состояниепри2mU 0 a π<22 (ka)/22ℏ√√ka−1tg=2mU 0 a 21−1222 ℏ (ka /2)√A=√mU 0 a2ℏ22Бонус: Сферическая прямоугольнаяпотенциальная яма{U r < R(U 0< 0)U (r )= 0,0, r > R2ℏ−Δ Ψ +U ( r ) Ψ=E Ψ2m1 ∂ 2 ∂ Ψ если Ψ от угловΔ Ψ= 2rне зависит∂rr ∂r()1) для f=Ψ/r получим одномерное уравнениеШредингера2) т.к.

r>0, то яма «полубесконечная»,решения (для f!) только типа SIN3) в трёхмерной яме решения есть приусловии2 mU 0 R2 π>22ℏ√Примеры потенциальных ям1) Атом2) Гармонический осциллятор3) Реализации в полупроводниках и наночастицах4) Одноэлектронный транзисторПримеры потенциальных ямПример 1: Атом1) Атом2) Гармонический осциллятор3) Реализации в полупроводниках4) Одноэлектронный транзисторZeU =−r2Кулоновское взаимодействиесоздает потенциальную ямудля электрона вблизи ядра.Стационарные состоянияэлектрона в такой яме и есть«орбиты» электрона.Примеры потенциальных ямПример 2: Гармонический осциллятор1) Атом2) Гармонический осциллятор3) Реализации в полупроводниках4) Одноэлектронный транзисторkxU=22Задача решается точно (в полиномахЭрмита).

В 1D эквидистантные1невырожденные уровниE n =ℏ ω n+2( )Примеры потенциальных ямПример 3: Реализации в полупроводникахи наночастицах1) Атом2) Гармонический осциллятор3) Реализации в полупроводниках4) Одноэлектронный транзистор 2 2 2ℏ π nEn=22 maметаллическаягрануларазмера ~нмJournal of Physics D AppliedPhysics 41(16):162004The self-assembled InAsSbP-based strain-induced islands grownby LPE on InAs substrateПримеры потенциальных ямПример 4: Одноэлектронный транзистор (наивно)1) Атом2) Гармонический осцилляторзатвор (управляющий электрод)3) Реализации в полупроводниках4) Одноэлектронный транзисторподложкатонкий слойполупроводника, вкотором могутраспространятьсяэлектроныПримеры потенциальных ямПример 4: Одноэлектронный транзистор (наивно)1) Атом2) Гармонический осциллятор3) Реализации в полупроводникахзатвор (управляющий электрод)4) Одноэлектронный транзисторберег 1(исток)«квантоваяподложкаточка»туннельный промежутокберег 2(сток)Задача 4: Связанные ямыĤ 0 Ψ1,2 =E 0 Ψ 1,2Ψ1Ψ212Оператор туннелированияT̂ Ψ 1,2=ℏ T Ψ 2,1Задача 4: Связанные ямыĤ 0 Ψ1,2 =E 0 Ψ 1,2Ψ1Ψ212Оператор туннелированияT̂ Ψ 1,2=ℏ T Ψ 2,1( Ĥ 0 + T̂ ) Ψ=E Ψ1( Ψ 1±Ψ 2)√2(± )E =E 0 ±ℏ TΨ(±)=туннельноерасщеплениеуровня энергииi ℏ ∂ Ψ =( Ĥ 0 + T̂ ) Ψ∂tЗадача 4:Ψ (t=0)=ΨСвязанные1ямы1 (+1Ψ (−) −iE t / ℏ̂) 0 Ψ−iE t=E/ℏH1,201,2Ψ=Ψ e+ Ψe=√2√2−i E t / ℏ=e[ Ψ1 cos ( T t )−Ψ 2 sin ( T t )]Оператор туннелирования̂ Ψ 1,2=ℏ T Ψ 2,12 Tw 1=cos ( T t )w 2=sin 2 ( T t )(+ )Ψ1Ψ2120( Ĥ 0 + T̂ ) Ψ=E Ψ1( Ψ 1±Ψ 2)√2(± )E =E 0 ±ℏ TΨ(±)=туннельноерасщеплениеуровня энергии(−)i ℏ ∂ Ψ =( Ĥ 0 + T̂ ) Ψ∂tЗадача 4:Ψ (t=0)=ΨСвязанные1ямы1 (+1Ψ (−) −iE t / ℏ̂) 0 Ψ−iE t=E/ℏH1,201,2Ψ=Ψ e+ Ψe=√2√2−i E t / ℏ=e[ Ψ1 cos ( T t )−Ψ 2 sin ( T t )]Оператор туннелирования̂ Ψ 1,2=ℏ T Ψ 2,12 Tw 1=cos ( T t )w 2=sin 2 ( T t )(+ )Ψ1Ψ2120̂ 0 + T̂ ) Ψ=E ΨВремя нахождения в( Hопределенномсостоянии:ℏ 11 (±)Ψ = ( Ψ 1±Ψ 2)τ∼ ∼T Δ E √2туннельное(± )E=E 0 ±ℏ Tрасщеплениеуровня энергии(−)Главное на лекцииk n a=π n2En=U(x)E0aD≈∏ Di≈∏ e −2 κ a =iiii=exp −2 ∑ κi ai =(( √a=exp −2∫0)i2 m ( U (x )−E )ℏ2dx)X√22ℏ π n2 ma2mU 0 a 2 π>222ℏ.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций