slides05 (1181133)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 5. Момент импульса вквантовой механике. Движение вцентральном поле. Элементарнаятеория атома водорода.Колебательные и вращательныеуровни энергии.В.Н.Глазков, МФТИ 2018Часть 1. Момент импульса вквантовой физикеhttps://www.youtube.com/watch?v=DcaJQtKHm88Момент импульса в квантовойфизикедля сферического волчка̂2⃗LĤ вращ =2Ihttps://www.youtube.com/watch?v=DcaJQtKHm88Момент импульса в квантовойфизикедля сферического волчка̂2⃗LĤ вращ =2I()y ̂p z−z ̂p ŷ⃗L=[ ⃗r × ⃗p̂ ]= −x ̂p z + z p̂ xx ̂p y − y ̂p xстоп-кадр из https://www.youtube.com/watch?v=DcaJQtKHm88Момент импульса в квантовойфизикедля сферического волчка̂2⃗LĤ вращ =2I()y ̂p z−z ̂p ŷ⃗L=[ ⃗r × ⃗p̂ ]= −x ̂p z + z p̂ xx ̂p y − y ̂p xстоп-кадр из https://www.youtube.com/watch?v=DcaJQtKHm88В стационарных состояниях L2 должениметь строго определенные значения,но все компоненты вектора Lодновременно задать невозможноНемного математики в сферическихкоординатахX =r sin Θ cos ϕr=√ X +Y + ZY =r sin Θsin ϕX +Y√Θ=arctgZ =r cos Θ22222ZYϕ=arctgXhttps://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system(L̂ z =x p̂ y− y p̂ x =−i ℏ x ∂ − y ∂∂y∂x)Немного математики в сферическихкоординатахX =r sin Θ cos ϕr=√ X +Y + ZY =r sin Θsin ϕX +Y√Θ=arctgZ =r cos Θ22222ZYϕ=arctgX(https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system(L̂ z =x p̂ y− y p̂ x =−i ℏ x ∂ − y ∂∂y∂xL̂ z =−i ℏ ∂∂ϕl̂z =−i ∂∂ϕ)())21 ∂ 2∂ f1∂f1∂f∂Δ f= 2r+ 2sin Θ+ 2 2∂Θ∂Θ∂rr ∂rr sin Θr sin Θ ∂ ϕ 2Немного математики в сферическихкоординатахX =r sin Θ cos ϕr=√ X +Y + ZY =r sin Θsin ϕX +Y√Θ=arctgZ =r cos Θ22222ZYϕ=arctgX(https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system(L̂ z =x p̂ y− y p̂ x =−i ℏ x ∂ − y ∂∂y∂xL̂ z =−i ℏ ∂∂ϕl̂z =−i ∂∂ϕ)())21 ∂ 2∂ f1∂f1∂f∂Δ f= 2r+ 2sin Θ+ 2 2∂Θ∂Θ∂rr ∂rr sin Θr sin Θ ∂ ϕ 2∝ l̂2 fСобственные значения проекциимомента̂l z=−i ∂∂ϕ−i ∂∂ Ψϕ =m ΨΨ= f (r , Θ)ei m ϕ+ требование однозначности при повороте на 2 πСобственные значения проекциимомента̂l z=−i ∂∂ϕ−i ∂∂ Ψϕ =m ΨΨ= f (r , Θ)ei m ϕ+ требование однозначности при повороте на 2 πm — целоевозможные значения от -l до lСобственные значения проекциимомента̂l z=−i ∂∂ϕ∂ Ψ =m Ψ−iz∂ ϕ «Векторная» модель:● при заданной длине2Ψ= f (r , Θ)ei m ϕвозможны только+ требованиеоднозначностипри поворотена 2 π1дискретныезначенияпроекциина ЛЮБУЮm — целоезаданнуюось значения от -l до l0возможные● соотношениянеопределенности-1запрещают-2направление «строговдоль Z»Собственные значения квадратамомента.

Математика.(l̂2=−1∂ sin Θ ∂ + 1∂2∂ Θ sin2 Θ ∂ ϕ2sin Θ ∂ Θ())l̂2 Ψ= A Ψ решается в сферических функциях, см ЛЛ.III, пар.28Y lm(Θ , ϕ)=С lm P∣lm∣(cos Θ)e i m ϕсобственные значения A=l (l +1)Собственные значения квадратамомента. Математика.(l̂2=−1∂ sin Θ ∂ + 1∂2∂ Θ sin2 Θ ∂ ϕ2sin Θ ∂ Θ())l̂2 Ψ= A Ψ решается в сферических функциях, см ЛЛ.III, пар.28Y lm(Θ , ϕ)=С lm P∣lm∣(cos Θ)e i m ϕсобственные значения A=l (l +1)Пространственная чётностьсостояния с определенныммоментом импульса⃗r ⇔−⃗r{r , Θ , ϕ }⇔{r , π−Θ , π+ϕ }Y lm (π−Θ , ϕ +π)=(−1)l Y lm (Θ , ϕ)Собственные значения квадратамомента. Физика.в отсутствие выделенного направления всезначения проекции равновероятны, все осикоординат равносильны〈 l̂2 〉 = l̂2 + l̂2 + l̂2 =3 l̂2 =〈210x[yz-2zl]12=3×m=∑2 l +1 m=−l31=× l(l +1)(2 l +1)=l (l +1)2 l +1 3̂ 〉 >l〈l√2-1〉 〈 〉Правила квантования моментаимпульса●z21●0-1●-2●одновременно могут бытьизмерены проекция момента назаданную (любую, традиционнообозначается Z) ось и квадратмомента импульсасобственные значения квадратамомента l(l+1) , «длиной»вектора момента импульсаназывают lпроекция момента импульса —целое число m=-l,-l+1...l-1, l ,всего (2l+1) возможностьчётность состояния сопределённым l : P=(-1)lЧасть 2.

Движение в центральномполе, некоторые общие свойстваО строгом решении) ((2)2ℏ̂p̂E Ψ= H Ψ=+U (r ) Ψ= −Δ+U (r ) Ψ2m2m22ℏ 1 ∂ 2∂Ψℏ ̂2−r+U (r )Ψ+l Ψ= E Ψ222m r ∂r∂r2 mr()действует толькона радиальнуючастьξ(r )Ψ=×Y lm(Θ , ϕ)rдействуеттолько наугловуючасть(2)ℏl (l+1)− строгомξ ' ' + U (r )+ решенииξ=E ξ2О2mrСведена к одномерной задаче, r>022ℏp̂̂ Ψ=E Ψ= H+U (r ) Ψ= − Ψ(Δ+U) Ψ n ,l , mr , Θ(r, ϕ)=Ψ2m2mE =E (n r , l)) ((2)r2ℏ 1 ∂ 2∂Ψℏ ̂2−r+U (r )Ψ+l Ψ= E Ψ222m r ∂r∂r2 mr()действует толькона радиальнуючастьξ(r )Ψ=×Y lm(Θ , ϕ)rдействуеттолько наугловуючасть(2)ℏl (l+1)− строгомξ ' ' + U (r )+ решенииξ=E ξ2О2mrСведена к одномерной задаче, r>022ℏp̂̂ Ψ=E Ψ= H+U (r ) Ψ= − Ψ(Δ+U) Ψ n ,l , mr , Θ(r, ϕ)=Ψ2m2mE =E (n r , l)) ((2)r2ℏ 1 ∂ 2∂Ψℏ ̂2Квантовые−r+U (r )Ψ+l Ψ=числа:EΨ222m r ∂r∂r2 mr● n — радиальное()действует толькона радиальнуючастьr(0,1,2...)действуеттолькона●l —орбитальноеугловую{s,p,d,f..}={0,1,2,3..}часть● m — магнитноеξ(r )Ψ=×Y lm(Θ , ϕ)r(2)ℏl (l+1)− строгомξ ' ' + U (r )+ решенииξ=E ξ2О2mrцентробежнаяэнергия22ℏ̂p̂E Ψ= H Ψ=+U (r ) Ψ= −Δ+U (r ) Ψ2m2m) ((U2)2ℏ 1 ∂ 2∂Ψℏ ̂2−r+U (r )Ψ+l Ψ= E Ψ222m r ∂r∂r2 mr()действует толькона радиальнуючастьдействуеттолько наугловуюrчастьξ(rпри) достаточноΨ=×Y lm(Θ , ϕ)большомl ямаrможет«пропасть»Вид некоторых волновых функций(угловая часть).2()ℏl (l +1)−ξ ' ' + U (r )+ξ=E ξ22mrΨ=ξ(r )×Y lm(Θ , ϕ)rl=1, m=0l=0, m=0http://lowrank.net/gnuplot/spherical_harmonics/index-e.htmll=2, m=0Трёхмерный осциллятор U=kr2/222ℏkr−ΔΨ+Ψ=E Ψ2m2Трёхмерный осциллятор U=kr2/222ℏkr−ΔΨ+Ψ=E Ψ2m2( )3E n =ℏ ω n+2n=n x +n y + n zТрёхмерный осциллятор U=kr2/222ℏkr−ΔΨ+Ψ=E Ψ2m2кратностьвырождения:x6x3( )3E n =ℏ ω n+2n=n x +n y + n zx1Трёхмерный осциллятор U=kr2/222ℏkr−ΔΨ+Ψ=E Ψ2m2кратностьвырождения:всферическихкоординатахx62s,1d1px3( )3E n =ℏ ω n+2n=n x +n y + n zx11sЧасть 3.

Спектры атомов и молекул:масштабы энергииЭнергия кванта ~ эВhttps://socratic.org/questions/why-are-atomic-spectra-of-an-element-discontinuousСпектры молекулКолебательные уровни вмолекуле, квант ~0.01 эВhttp://alkaad.com/pe-1600-iodine-molecular-spectroscopy.htmlВращательные уровни вмолекуле, СВЧ-спектр (1 см),квант ~10-4 эВPart of the rotational spectrum of trifluoroiodomethane, CF3Элементарная теория атомаводородаЗадача:финитное движение электрона вкулоновском поле ядраНайти:● уровни энергии (точно),● волновые функции (качественно)Уравнение Шредингера для двухразличимых телΨ( ⃗R ,⃗r)Координата электронаКоордината ядраУравнение Шредингера для двухразличимых телΨ( ⃗R ,⃗r)Координата электронаКоордината ядра22ℏℏ̂H =−Δ ⃗R−Δ⃗r +U (∣⃗R −⃗r∣)2M2mR⃗ЦМ , ( M +m )Mm⃗ρ= R −⃗⃗r ,μ=M +mСлучай кулоновского потенциалаU(r)=-e2/r. Уровни энергии.2()ℏl (l+1)−ξ ' ' + U (r )+ξ=E ξ22mrТолько ответы:1) случайное вырождение по орбитальномуквантовому числу2) энергию определяет главное квантовоечисло n=nr+l+13) возможные значения момента l=0,1...(n-1)m e4 1E n =− 2 22ℏ nПолная кратность вырождения n-ого уровня:n значений момента, (2l+1) значение проекции=n213.6 эВСлучай кулоновского потенциалаU(r)=-e2/r.

Волновые функции.(2)ℏl (l+1)−ξ ' ' + U (r )+ξ=E ξ22mr−rR10=2e1 −r / 2rR20=e1−2√21 −r /2R 21=e r2 √6( )r 0=ℏ22me≈0.53 ÅΨ=ξ(r )×Y lm(Θ , ϕ)=Rnl ×Y lmrВращательные и колебательныестепени свободы молекулКолебания двухатомной молекулы222ℏkx∂ +Ĥ =−2μ ∂ x 2 2kω= μ1E n=ℏ ω n+2√( )гармоническоеприближениеКолебания двухатомной молекулы222ℏkx∂ +Ĥ =−2μ ∂ x 2 2kω= μ1E n=ℏ ω n+2гармоническоеприближение√( )Средняя энергияпри конечной температуре(вычисление делалось для АЧТ)ℏωℏωE=∑ E n w n= ℏ ω /(kT ) +e−1 2Колебания двухатомной молекулы222ℏkx∂ +Ĥ =−2μ ∂ x 2 2kω= μ1E n=ℏ ω n+2гармоническоеприближение√( )Средняя энергияпри конечной температуре(вычисление делалось для АЧТ)ℏωℏωE=∑ E n w n= ℏ ω /(kT ) +e−1 2C=k(ℏ ω)2eℏ ω /(k T )(k T )2 ( eℏ ω/(k T )−1 )2классический пределКолебания двухатомной молекулы222гармоническоеℏkx∂̂H =−+2приближение2μ ∂ x2kω= μактивация1E n=ℏ ω n+2 колебательнойстепениСредняясвободыэнергияE=при конечной температуре(вычисление делалось для АЧТ)теоремаНернста√( )ℏω∑ E n w n= e ℏ ω /(kT )−1 + 2C=kℏω(ℏ ω)2eℏ ω /(k T )(k T )2 ( eℏ ω/(k T )−1 )2Оценка колебательного кванта2ℏ ∂kx̂H =−+22μ ∂ x2kω= μ22√●●●Энергия связи —кулоновская, ~RyМежатомное расстояние~боровского радиуса r0Энергия связи существенноменяется (на ~Ry) приизменении расстояния на r0r 0=ℏ22me≈0.53 Å4E n =−me 12 ℏ2 n242me /( ℏ )Rym3 e 8k∼ 2 ∼ 2= 62 2r 0 (ℏ /(m e ))ℏ√√me 4 mmℏ ω∼ 2 μ =Ry μℏдесятки мэВ, сотни итысячи К«Нулевые колебания» в молекулеВ основном состоянии атомы делокализованы(соотношение неопределённостей!).√2k A0 ℏ ω ℏ kОценка:==222 μ2ℏℏℏ2A0 == ωμ ∼∼Ry √ mμ√k μнесколько %отмежатомного−27 2∼( 10 )13.6×1.6×10≃2.5×10−12−19−27×102√2000×16см =( 5×102−10см )2см ≃Более формальное вычисление.Волновая функция основного состояния (ЛЛ.III)«Нулевые колебания» в молекуле( ) ()mω 1/ 4mω 2Ψ=exp −xπℏ2ℏВ основном состоянии атомы делокализованыСреднеквадратичное отклонение(соотношение неопределённостей!).∞∞ℏ11 ℏ22222 −ξA0 =〈 x 〉 =∫ x Ψ dx= √πξ e d ξ=∫−∞mω −∞2 mω2√2k A0 ℏ ω ℏ kОценка:==222 μ2ℏℏℏ2A0 == ωμ ∼∼Ry √ mμ√k μнесколько %отмежатомного−27 2∼( 10 )13.6×1.6×10≃2.5×10−12−19−27×102√2000×16см =( 5×102−10см )2см ≃Вращение двухатомной молекулыТензор инерции( )I 0 0̂I = 0 I 00 0 ε2 22 22 22 2ℏ ̂l x ℏ ̂l y ℏ ̂l z ℏ 2 l̂2 1 1 ℏ ̂l zĤ =++=+ ε−2Ix 2Iy 2Iz 2II 2m=0( )Набор невырожденных уровней,энергии уровней2ℏ l (l +1)El=,l =0,1,2 ...2IТеплоёмкость молекулы водорода2ℏ l (l +1)El=2IДискретность уровней =активационный характертеплоёмкостиТемпература активации:22ℏℏk T∼ ∼≈2I M r0−27 2≈рисунок из статьи R.E.Cornish and E.D.Eastman “The specific heat of hydrogengas at low temperatures...”, J.Am.Chem.Soc.

50, 627 (1928)(10 )2000×10−27=0.5×10−16×10T ≃50 К−14эргОценка вращательного квантаэнергии●Расстояние порядкаборовского радиуса22ℏℏm me 4 mℏ ω∼=== Ry222 22MM r 0 M (ℏ /(me )) M ℏдоли мэВ, единицы и десятки КСравнение масштабов расщепленияспектров√m mω e :ω кол : ω вращ=1 ::M MОсновное на лекции2l̂ →l (l + 1)l̂z →m=−l...lz210-1-24me 1E n =− 2 22ℏ n√m mω e :ω кол :ω вращ=1 ::M M.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций