Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(14.11) — (14.13)). Компоненты этого тензора О' пропорциональны сферическим функциям С (!!гр). Сферические компоненты а вектора э образуют тензор первого ранга У. В соответствии со сказанным выще тензорное произведение [О'х Ь')' 9 14) НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 115 Матричный элемент скалярного произведения (14.49) может быть вычислен с помощью общей формулы (14.14) <цум((т'й) ) у'у м> = ;)р ( — 1)Р <ули1 т, '~ у"у" м" > <у"у" м ~ и', ()Р у м> = 1"3 М" « = ~Л~ ( — 1)з+а" ам М! Таю'У )Ю"!!(/А~~У'У) >< — — м" — г'Р1' Выполняя суммирование по М", д с помощью (13.14) и учитывая, что 2У вЂ” 2РИ четно, получаем <цум~(т'иа))ц гм > = б.г,г' бмм' ( — 1)з л (уЛ! Т~,'~у"./") (у"У1!й!!у'У) ( ) — . (14.62) аш" если операторы ть и 0, "действуют на координаты двух различных невзаимодействующих систем с моментами /, и уы то Т„ удовлетворяют соотношениям (14.2), (14.3) относительно моментов У, и .Р =У, + l, и коммутируют с а„ а 0", наоборот, удовлетворяет соотношениям (14.2), (14.3) относительно г„ / и коимутирует с У,.
Можно показать, что в этом случае <уу,/,ли ИТ цл) 'у'.или> = = ( 1)'"" ' ~ (у ц т'Иу"у) (у"у,()ййуу) )тг(у,у,.у;;.И). (1463) Т" Например, для скалярного произведения операторов (С,"С;) =,'Р( — 1)РС';(1),р,) С',(3, р,), Р <111М, ~(САСА) ~ 1, '1,'Т,И,> = ( — 1)" + ' (1, ((С'ц1,) (1,))С~Щ %'(1,1,1, 1;1 тй). (14.64) Для скалярного произведения моментов г,а, из (14.63) следует <у у ум~(гуун у ум)> =6,, 6,, (лйлйу)(ущ(у)>< >< К(/г/,1,У,; Л) = — (l(У-1- 1) —./, (I, -1-1) — l,(У, + 1)).
(14.65) Матричные элементы тензорного произведения операторов Т», й, действующих на координаты различных систем, вычисляются по 116 (гл, ге угловыа иомьнты обшей формуле (14.14), в когорую надо подставить следующее выражение для приведенного матричного элемента: (уУ,У,71 У[Т' х (У'1' 1у У; Укр) = = ~~Р (У/, ~( Т'~ ~ УУ) (У / ~((У ))Т / ) )У (2/+ 1) (2У -Р 1) (2а — , '1) Х [./, l; А'1 му.у, у' г . (14.66) (/ Уа Таким образом, матричные элементы такого типа выражаются через 9у-символы. В рассмотренном выше примере аз 1) (ауу))[С' х 511'~~ауу) =(ЦС'~(у) (а((а~(а)(2у+ 1) )у 3 у 1 2 1, .
(14 67) 5. Матричные элементы нри сложении моментов. Теперь ны выясним, какой вид имеют матричные элементы оператора Т», коммутирующего с У„в представлении згУгУМ. Из общей формулы (14.14) имеем <уу,у,ум~ т',(у О,у м у = .у уг у~ = ( 1)™ (ТУ,У,,/11 ТФ! ~Т'О,У') Х ,). (14.68) с — мдм)' Выражение для приведенного матри ~ного элемента в (14.68) можно получить из (14.66), положив г =0 и (У, '=1. При этом [ Т Х (У'1а =,~~(йОгу'О ) йОйгу) Т", = Т, (У з~~ ~~У У~) )' 2Уя+ 1 б~ бг"тч У' ))1 б ( 1)з,-~-з'ч.ь-гз» ууо( '*" /~ ~~( 1' (за+1) (2Уь+!) [ У У У,) (см. (14.29), (13.77)). Заменив в окончательной формуле 6уссимволы на (Р'-коэффициент, получим (уУ,У,У)(Т'АУ,'У,У') = =( — 1)'*" ' '(уу,((Т'1)у у',) ~(27+1)(2у'+1)х Х Ф" ( lгУУ,У1 У,Уг).
(14.69) 117 9 14! НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРКЫЕ ОПЕРАТОРЫ /»налогичны»! образом для оператора //, коммутирующего с,/„ Из (14.69], (14.70) следует (у/,./,./Ц7 ))у'.У»ЛУ)=( — 1) ' ' (узг/»УЦт ',)у'/Р/,.Г). (14.71) Рассмотрим ряд примеров. Для приведенного матричного элемента,/, в представлении l,./,ЛИ из (14.42) и (14.69) получаем (У,У,УЦУ,~!5 l,/)=(У,Ц5',Ц/)( — 1)Р*" ! '(2/+1) К(у Х/ У; У,1) = 1» )( — /О+!) — , '/»[/,+1) — / (/ +!) 2»' (/+ !) ( /~) /ц /) / ! т" !)+/» ( /» ! '/» ! /» т !) 22 (,",— !) а также <.У ./ ЛИ(.У ).У ./ ЛИ> = -' — '- ' ' ' М.
(14.73) »»»»1» 2/ (2+1) Последнее соотношение нетрудно получить, исходя из наглядных квазиклассических представлений, согласно которым среднее значение /, по состоЯнию 5'г/,l напРавлено по / / './» ./> / ./(/+1)п У»(7,+!) —,/,(/»+!) для орбитального момента / и спина а в представлении 5//т имеем ,'5 (/ + !) + / (/ + !) — 5( + !)) (5//ЦРЦ5//) = Р»/(/+ 1П2!+ 1) 2 1) (14 76) )/ (/+ !)+ 5 (5Ф!) — / (/-1-1)) (5/7))/()5/З) =)»/(у Р 1)(2/ р 1) ...(14.76) Приведем также общие формулы для привеленных матричных злементов С в представлении 5//гл !», ! /=/:Š—., /» =/'~ — ' 2' 2' ( —,' //ц С'ц —,'//') = 0'+» -/) (!' + /' — /»)! (/ + )! — !')! (/' + /» †/)! =( — 1) х !/+ /' + /»+ 1)и (/+/ — /» — !)" (!-т "— / )'! 0 + е — /)!! (14.77) м,у.уц(/'цу'у,у,'у) = =( — 1)5 "» '* 5'(уУ,Ц// Цу'/) 3Г(2/+1) (2У вЂ”,1)М >с )Р'(/»Л/'»',,/,/г) (14 70) (гл.
уя 118 УГлОВые моменты ( —, //'цс'ц —,,'/'/') = ('+' ) ('+ ' '(' + ')'х х, (У У, !",,; (14 78) (/+/' — й) !! (/+ й — Т вЂ” 1)" (/'+ й — / — 1!!" йй! =2 4 6.../с, если й четно, и й)! = 1 3.5.../с, если й нечетно. Существенно, что выражения (14.77), (14.78) не содержат П'. Для /с =1, /=/' и для /с =2, 7'=/' из (14.77), (14.78) получаем — 'Нс'Ц вЂ” ' /'/'! = 1/ ."."', /=/ ~1, ( — ' ''') 1г ( / цс'ц / ) = — ~Г ! /.,» ! /Д 1 / (2у — !) (2у+1) 12/+3) (14. 79) (14.80) х М М М Х М , (14.81) (/г/,Ц/с~'ЦУ, У,) = (з',Ц Т~Ц./,)(У,Ц//'Ц /,).
(14.82) Для различных приложений особенно интересен случай ,/, =Е, ') Хотя каждый на операторов Т, 1/» в отдельности удовлетворяет прав «' вилам коммутации (!4.2), (14.3) с полным моментом снгтемы /= У»+/», нх произведение Т И, этим свойством не обладает. Соотношениям (!4.2), (14.31 «» удовлетворяют лишь вполне определенные линейные комбинации этих произведеннй, а именно (14А5!. 6. Прямое произведение операторов. Перемножая всеми возможными способами компоненты неприводииых тензорных операторов Тэ и (/", мы получаем совокупность (2/т+ 1) (2г+ 1) операторов 7л«(/ . Эта совокупность называется прямым произведением операторов Т», (/'.
Пусть операторы Те удовлетворяют правилаи коммутации (14.2), (14.3) с моментом /, и коммутируют с моментом /„ а операторы (/, наоборот, — коммутируют с /, и удовлетворяют (14.2), (14.3) относительно /,. Тогда оператор /с~' с компонентами /7„ = = 7л«(/,' ведет себя как непрнводнмый тензор порядка й относительно /, и как неприводимый тензор порядка относительно /,').
Назовем поэтому оператор /сю неприводимым тензорным оператором ранга йг. Матричные элементы компонент этого оператора в представлении /Г/,М,М, имеют вид <Уг/,М,М,!/7 ')./, АМ,М,> =( — 1)г +г*-ы -ы*(,/г/,Ц/Г~Ц./,,/,)Х 9 14) непРииоди»!ыв тьнзогныв опвелтоеы 119 1, =5. Формулы (14.81), (14.82) представляют собой непосредственное обобщение (14.14). Аналогичным образом обобщаются и все остальные соотношения. Так, скалярное произвеление операторов Гс~' и Я ' опрелеляется как (й" а'")= Х( — 1)"'!7',ХР;,, (14. 83) а,' Если оператор !г»' удовлетворяет (14.2), (14.3) относительно моментов Е,5, и коммутирует с А,5„а оператор ь)~' коммутирует с Е,5, и удовлетворяет (14.2), (14.3) относительно Е,5„то <ТС,5,7.,5,7.5Л4,д)4 ~ (!с»' (7"') ~ у'7.,5,7.,5,7.5Л4,д)4 > = =( — 1) '+ " '+ ' ~(у7.,5,'я!7"'йу"7.,5,)(у"7.,5,'31~ 'йу'7.,5,)х Х %'(7.,7.,7,7.,; 7.)д) ()т(5,5,5,5;, 5г).
(14.84) Примером скалярного произведения такого типа является оператор а,э, ч' ( — 1)дС»д((),ф,)С д(0,ф,)=(а,а,)(С,'С»д), (14.85) где а,а, — спины двух электронов, а б,фо 8»ф, — их угловые коорди- наты. В соответствии с (14.31) (С~~С»)(ада»)=~( 1) 1 д~ (1) 1' — д-) (2)=((~~ 1 д ) (!4.86) где Уд,'(1) = С»д (!),ф,) (5,),'; (г ) (2) = Сд ((д,ф,) (5,)',. (14.87) Матричные элементы Ьлд; в представлении 1эт(» опрелеляются формулами (14.81), (14.82), которые в ланном случае приобретают вид <7элд)» ( Кд ) рггл'(»'> = ( ! )»7')/ а! г) =( — 1)'+' Щ Р )~7'а),) 1, ), (14.88) 1 — лг рт') ~ — )» Х(г',' (1э3(г '~!Га) = ~/г 2 ЩС" 37'). (14.89) Подставляя эти выражения в (14.84), получаем (!,а,1,э,75Л4,М ~ (С," С,)а,а, ~!,а,1,э,7.5М гИэ> = ( — !) — (7 ~,С»((1,) (! 3С У.,) )Р(1,1,1,7»,77») х х И'(э,э,а,ад;51).(14.90) 120 (гл.
пг уг.човые моменты Г!ривелем также формулы, явлюощиеся обобщением (14.69)— (14,71): (уЕ,5,Е,5,Е5)Л""~)у'Е,5,Е,5,Е'5') = х у' (2Е+ 1)(2Е'+ 1)(25+1) (25'-+ 1) Яг (Е,ЕЕ,Е'; Е,/г) х х Ю(5,55,5'; 5,г), (14.91) (, Е,5,Е,5,ЕЯЯ "ЯЕ,5,Е,5,Е'5') = = ( — 1)'+'+"ч- -"*-' -'-'(уЕ,5,);а"))у'Е,'5,') х Х Уг(2Е+1)(2Е'+1)(25+1)(25'+1) (Р(Е,ЕЕ,Е2 Е,уг) Х х К(5к55г5'; 5,г), (14 92) (уЕ,5,Е,5,Е5))77"))уЕ,5,Е,5,Е'5') = (14.93) Матричные элементы оператора Тц, коммутирующего с 5 в представлении Е57)4 Ма, можно получить, положив Тц — /~~~,", Ег,'= 1, Так, вместо формул (14.81), (!4.84), (14.91) получим < Е544 ~Ил!Т~~!Е5ИсЛ4 > =( — 1)~ ~'(ЕИТ ~(Е) (, " ° ), (14 94) с,Е,5,Е,5,Е5М,Л4, ~ (Т',.
т',) ( у Е,'5,Е',5,е5м,м;, = =( — 1) "+' "~(УЕ,))т',~)1УЕ,')(У"Е,~(Т',~(У'Е,))Р(Е,Е,Е,'Е,';Е1г), (14. 95) (уЕ,5,Е,5,Е5()Т ~)у'Е,5,Е,5,Е'5) = =( — 1) ' ' . (УЕ,~~Т ()1иЕ,) ] (2Е-' 1)(2Е'+1) х Х %'(Е,ЕЕ,Е'; Е,уг). (14.96) ГЛАВА У СИСТЕМАТИКА УРОВНЕЙ МНОГОЭЛЕКТРОННЪ|Х АТОМОВ й 15. Волиоиые функции 1. Приближение центрального поля. Волновая функция системы, состоящей нз Л' невзаимодействующих электронов, можег быть построена нз одноэлектронных функций ф,(я), где я в совокупность трех координат и спиновой переменной ).. В качестве такой волновой функции, однако, нельзя взять просто произведение '1"=-ф. а,)ф..
('..) "ф. а~), (15.1) так как волновая функция системы электронов должна быть антисямметричной относительно перестановки электронов, Этому условию удовлетворяет определитель (15. 2) который яв:жется линейной комбинацией функций (15.1). Перестановка двух электронов С А соответствует перестановке соответствующих столбцов определителя, в результате чего определитель умножается на ( — 1)' ~. Если разность (( — А) есть нечетное число, функция Ч" меняет знак. В частном случае А(= 2 ~'= —,-'-,;-,'ф., а,) ф.,(ь.) — ф., а,) ф., а,) ~.
(15.5) Если среди состояний а„ а„ ..., а„ имеются одинаковые, то окажутся одинаковыми соответствующие строки определителя, и он обратится в нуль. Таким образом, функция (15.2) удовлетворяет принципу Паули. Состояние электрона в центральном поле характеризу'ется квантовыми числами, л, С лг, )т(лг — а-компонента орбитального момента; 122 СИСТЕМАТИКА УРОВНЕЙ ЫНОГОЭЛВКТРОННЫХ АТОМОВ (ГЛ, Ч )А — юкомпонента спина), поэтому волновая функция системы из Лг электронов в центральном поле имеет вид (15.2), если положить (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
