Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Гя УГЛОВЫЕ МОМЕНТЫ 6. Векторная модель. Полученные выше правила сложения моментов (12.31) — (12.33) можно наглядно интерпретировать с помощью так называемой «векторной модели». Все возможные значения г можно получить, складывая по обычным правилам векторного сложения векторы 2, и 2, с целыми и полуцелыми длинами при условии, что длина суммарного вектора з =,г, +2, также может принимать только целые значения (з, +у, †цел число) или только полуцелые (з', + l, — полуцелое число). Векторная модель позволяет также наглядно истолковать отмеченную выше неоднозначность в сложении квантовомеханических моментов. Задание длины вектора и его г-компоненты Л4 недостаточно для однозначного определения ориентзции вектора уа в пространстве.
Данному значению е-компоненты моментз соответствует совокупность направлений, образующих, как это показано на рис. 15, коническую поверхность с осью г. Рнс. 15, Сложение мо- Сложению квантовомеханических момвнтов ментов по правилам век- в рамках векторной модели соответствует торной модели. сложение двух векторов, произвольным образом расположенных на соответствующих конических поверхностях. Легко видеть, что, складывая векторы 2„2,; .г;.г,;,г';,г'; и т. д. изображенные на рис.
15, можно получить различные результаты, хотя векторы 2„2;, а также 2„l; имеют одинаковую длину и одно и то же значение е-компоненты. Векторная модель часто используется в теории спектров для наглядной интерпретации результатов, полученных методами квантовой механики. В частности, терминология, принятая в теории атомных спектров, в целом ряде случаев базируется на наглядных представлениях векторной модели. Необходимо, однако, иметь в виду, что векторная модель есть не больше, как способ описания, основанный на наглядной аналогии.
В качестве иллюстрации покажем, каким образом формулируются на языке векторной модели ограничения, налагаемые принципом Паули. Рассмотрим для примера дза эквивалентных р-электрона. В этом случае разрешены термы 'Я, 'Р, 'с). Этим термам соответствуют следующие значения операторов: Э 13] коэФФициенты ВектОРнОГО слОжениЯ мОментОВ 93 3 8,8 4 4 ' 1 3 8 8 4 (12.45) Легко проверить, что (12.45) эквивалентно соотношению (1,1,)'+ (7,4',) + 2 (8,8,) — — = О. (12. 46) (ГИ' — 6Щ)'+13(г,г,)+90(7,7,)+ 72(8,8,) — 18 = 9.
(12,47) Общей формулировки принципа Паули на языке векторной модели, справедливой для любых 1, не существует. Совершенно очевидно, что соотношения (12.46), (12.47) нельзя получить из кзких-либо наглндных соображений, минуя квантовомеханические вычисления. 9 13. Коэффициенты векторного сложения моментов 1. Коэффициенты Клебша — Гордана и связанные с ними коэффициенты.
В этом разделе будут перечислены основные свойствз коэффициентов Клебша — Гордана Сж.. = (1,],т,т, ] /,7',Рл) / (13. 1) и связанных с ними коэффициентов †коэффициент )Г Рака )Г(/,/,7; лг,гл,гл) (13.2) и Зуесимволов Вигнера (л А !) Как будет видно из дальнейшего, эти коэффициенты встречаются при решении ряда задач и игрзют важную роль в теории атомных спектров. Условие (12.46) и является формулировкой принципа Паули для двух эквивалентных р-электронов на языке векторной модели.
При заданной взаимной ориентации векторов 7, и 7, взаимная ориентация спиноз 8, и 8, не произвольна, а однозначно определяется соотношением (12.46). Если складывать векторы то 7, и 8„ 8, по общим правилам векторной модели, подчинив их условию (!2.46), то получим термы 'О, 'Р, '7У. Для двух эквивалентных о-электронов соотношение, аналогичное (12.46], имеет значительно более сложный вид.
В этом случае 94 (ГЛ. 1Ч УГЛОВЫЕ МОМЕНТЫ Коэффициентами Клебша — Гордана называются коэффициенты разложения собственных функций операторов /'/1/'/, (/=/, †; /,) по собственным функциям операторов /,/„/,/ам Ч"гьбу = ~~ (/ьг',т,т,(/,/,/т)Ч"д н (13.4) м,м, Эти коэффициенты определены для целых и полуцелых значений аргументов и отличны от нуля, если выполнены два условия (1 3.5) (13.
6) т,+т,=т, /=/*+/. / +/.— 1 (А — /,(. т, +т,+т= О. Главное достоинство коэффициентов (л и особенно 3/-символов состоит в том, что они обладают значительно более высокой симметрией, чем коэффициенты Клебша — Гордана. Зля 3/-символов имеют место следующие соотношения симметрии: 1т, т лг,/ етт, т,/ ') Из (13.7), (13.8) следует, что -1-1 +1 -е"1 / !1 11 1 1 Р(1,1тй т,т, т)=( — 1) (,т, т, т1) Поскольку 1 — т — целое число, 21' — 2т четна н соотношения (13.7), (13,8) эквивалентны 113.9). Разности чисел /,— т„ /,— т„ / — т, а также сумма /, +/', +/— целые числа.
Условие (13.6) часто называют условием треугольника и обозначают посредством У'1 (/,/,/). Согласно этому условию любое из чисел /„ /„ / больше или равно разности двух других и меньше или равно сумме двух других. Коэффициенты 1' Рака и Зуьсимволы связаны с коэффициентами Клебша — Гордана следующим соотношением: (/,/,т,т,(/,/,/т)= ( — 1) 1+1 и')У 2/+ 1 ( /1 /' / ), (13.7) (т т — т/ 1 2 (/,/',т1т,(/,/,/т)=( — 1)1+ ) 2/+1 )л(/1/,/; т,т, — т), (13.8) )л(/1/1/; т,т,т) =( — 1) 7+5+1 ' ' ).
(13,9) Согласно (13.7) и (13.8) коэффициенты (13.2] (1З.З) отличны от нуля при выполнении условия (13.6) и несколько видоизмененного условия (13.5) 5 !3[ коэечицненты ввктогного сложения моментов Таким образом, четная перестановка столбцов Зуьсимвола не меняет его значения; нечетная †умножа исходное значение на ( — 1)г 4 д ь1.
Используя (13.7) †(13.9), нетрудно получить соотношения, анало. гичные (13.10), (13.11) и для коэффициентов (13.1), (13.2). В част- ности, из (13.7) †(13.10) следует (/,/,т,т,)7',7'1и) = ( — [У 4Ч '(у',т,т,[/,7',ут). (13.12) 37ссимволы подчиняются следующим условиям ортогональности: Аналогичные соотношения согласно (13.7) — (13.9) имеют место и для коэффициентов (13.1], (13.2). Так, ',~~(7',7',т,т,',!',7',~т) (у,/,рп~[!',у,т,'и") = Ь ° б °, (13.15) '"1 "'! Х (Лу.и,т.
!7',У',ут)(ЛГ,7'т' ~7',у,т,т,) = бы Ь.. (13.16) ы,м, При вычислении коэффициентов Клебша — Гордана возникает неоднозначность в выборе фаз, Все последующие формулы соответствуют такому определению фаз (совпадающему с принятым в [К. Ш.1), при котором коэффициенты Клебша — Гордана действительны. Г!ри 7', = 0 из определения коэффициентов Клебша — Гордана (13.4) следует (7', 0 и, 0[7', 0 рп) = бй,бмм,, И(/, О/; т, 0 т) =( — 1) гч (27'-)-1) "3„6 '7,0 73 ( )=( — 1)' -'"(27+1) ''Ьбб,м.
(13.19) Общие формулы, определяющие численные значения коэффициентов векторного сложения моментов, крайне громоздки и неудобны для вычислений. В тех случаях, когда один из аргументов /,/,/ равен 1 3 1 — 1, —, 2, можно воспользоваться формулами, приведенными ниже ), 2' ' 2' ') Формулы для коэффициентов Клебша — Гордана приводятся в работах. ук — — —, 1, —, 2 [К. Ш.); В= — — и. 5а11о, М, Мог11а, Ргояг. Тренг, 1 3 5 2' ' 2' ' '' ' 2 РЬуа.
13, 540, 1955; 1,=3 — 13, г а)к о[1, О. Со11а5 а у, К. Ье11а, (гл. гя хгловыя моменты уя, = и, = т = 0 (лл/~) ( 12я — 2(,)! (2я — 21',)! (2я — 21)! (2я+ !)! х..., (13.22) (а 11)! (а у )! (а 1)! если у,+/,+/=2д, д — целое число, (О 0 0) (13.23) если /, +/, +/= 2д+ 1. 1 3 Для значений у'=О, —, 1, —, 2 общая формула дает: 2' '2' 1=0 с Ь б у', 0 ( 1) —,',— т, и, и, 0 )У (2)ч -; )П) (13.
24) 2 1 ! 3 2/1 / у — м — —, 1 (21 + 2)(2( + 1) 1 2 2 Сапаб. 3. Рйуз. 30, 253 — 256, !952. Численные значения коэффициентов 9 Клебша — Гордана вплоть до значений у= —, 1,~1, а У можно найти в таб. 2' ! лицах А. Саймона, сборник «Деформация атомных ядер», ИЛ, 1958. Отметим, что при проведении конкретных вычислениИ удобно переходить к 3/-символам и оперировать непосредственно с ними, По этой причине ниже приводится сводка ряда формул для 3/-сим- волов. Переход к соответствующим выражениям для коэффициентов Клебша — Гордана и (У-коэффициентам с помощью формул (13.7)— (13.9) не предс валяет труда.
Поэтому формулы для коэффициентов 1 Клебша — Гордана приводятся только для /,= —. 2 ' 2. Сводка формул для 3/-символов. Общая формула для 3/-сим- волов приобретает сравнительно простой вид в следующих случаях: /=/, +/з (и, и,— и,— и,) 1) у, — Л+м+я, -1/ (21~)!(2)з)!(1,+3+и,+т )1(1',+уз — т,— т )! 1' (21,+21,+1)!(у,+т,)!(у,— т,)!(1,+ям)!(у,— т,)!' и,=/, (/, — у,— уи и) (2),) ! ( — У, + У, + 1)! (У, + У, + т) ! (/ — т)! 0 +у +1+1)1(1 — у .+1)!() +у — 1)!( — 7 +уз — т)!(1+т)! ' (13.21) 6 13) КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИИ МОИ!ГНТОВ ! Из этой фориулы слелует ллВ (/, —,т,т, !),— )т )! (13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
