Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 17
Текст из файла (страница 17)
4 1 Положив в (12.23) у = у = —, М = р, получаем 2' 0) 2 м' — !!2 ) — 1!!2) 2 2 (11'2 2 ('2 ,< (1!!2 21 1 <21) У) 1 21 ! (12.24) !)!„= ф (Р) !7„(Х1. (12.25) Здесь о„, о, и, — спиновые матрицы Паули (см, 3 25). В нерелятивистской теории наличие у электрона собственного углового момента, не связанного с движением электрона в пространстве, можно описать введением дополнительной спинозой переменной Х. В состоянии с заданным значением г-компоненты спина р 86 (гл. ш УГЛОВЫЕ МОМЕНТЫ Переменная Х, в отличие от координаты электрона г, днскрезна н ! 1 принимает лишь два значения —, — —, причем 2' 2' (12. 26) Первая из функций (12.26) описытает состояние, в котором е-ком- 1 понента спина равна —, а вторая — состояние, в котором г-компо- 2' 1 пента спина равна — — .
2 ' В дальнейшем совокупность трех координат г и спинозой переменной Х будет обозначаться посредством $, причем интегрирование по г)й будет означать интегрирование по г(Г и суммирование по Х (12.27) г= — пй Так, ( ф"гр дй =~~',~ф» (г, Х)ф(г, Х)с(г. (12.28) 4. Сложение двух моментов. Задача сложения моментов 7„./, двух невзаимодействуюших систем состоит в нахождении собственных значений операторов .7' = (.7, + 7,)'. (12. 29) ~» 7Ы+ 7аг (12.30) М=М,+Мы (12.31) Возможные значения у можно найти следующим образом. Число М, может принимать одно из (2l, +1) значений М,=./о У,— 1, ./,— 2,...,— У',. Аналогичным образом М, может иметь одно из 2 У, + 1 значений м,=у~ Комбинируя всеми возможными способами различные М, и М, состояния, получим (2У, + 1) (2У', + 1) значений М, сведенные в таблицу 15.
Ряд значений М в этой таблице повторяется несколько раз в соответствии с тем, сколькими способами данное значение может и их собственных функций Чгтм, если известны собственные значения операторов,/',, 7„,,7,', I„ и функции Чг,р,м„ Ч'т,м, Из (12.30) следует, что проекция полного момента М однозначно определяется значениями М, и М, 121 ОпеРАтОР УГЛОВОГО моментА. сложение моментоВ 8Т Таблица 15 быть получено. Так, значение М= l, +у', можно получить только одним способом, а именно при сложении М, = ./, и М, =,/,. Значение М=,/, + ./, — 1 можно получить двумя способами.
"М= ./, — 1, М, = У, и М, = Уы М, = /, — 1. Значение М, = ./, + /, — 2 — тремя способзми: М, = ./ — 2, М, =,/„ М, = У, — 1, М, = У, — 1; М, = ./„ М, = У, — 2 и т. д. Максимальное значение М равно ./, +./,. С другой стороны, М=./, У вЂ” 1, ./ — 2,...,—./, поэтому можно утверждать, что среди возможных значений у имеется внзчение l, + У',. К этому значению момента необходимо отнести еще состоянкя М= /, + У, — 1, ./, + ./, — 2,..., — ~l, †./,~. Все эти состояния выделены в таблице рамкой. Среди оставшихся значений М имеется еще одно значение l, + у, — 1. Это показывает, что среди возможных значений l есть у', + у, — 1. К этому значению момента нужно отнести еще состояния М=,/, + У, — 2,,/, +./, — 3,...
°... — ~/, +./,— 1 ~. Продолжая эти рассуждения, нетрудно получить ./= У, +./„,/, -1-./, — 1,..., ~У, — l, ~ . (12.321 Представим собственные функции Ч"тм операторов /', у, в виде Разложения по функциям Ч"м,м, = Чтт,м, Чту,м,. (12.331 88 (гл. Гя УГлОВые моменты В соответствии с (12.31) в этом разложении могут присутствовать только функции Чгм,за, с М, + М, = М, поэтому Ч~зм = ~~ зСМ,Ы„.Чгм,м,. м=м,+м, (12. 34) Коэффициенты разложения См,м„для которых будет использо. вано также обозначение С',, = (У,У,М,М, ) У,У,ЛМ), (12.35) носят название коэффициентов Клебша — Горлана.
Основные свойства этих коэффициентов обсуждаются в 6 13. ПосколькУ фУнкции Чгзм и Ч"м,м„ оРтогональны и ноРмиРованы, преобразование, обратное (12.34), имеет вид Ч"м,м,= ~ См,м,.ч'зм. (12. 36) з м (12.37) может иметь два значения 1 /=1~ —. 2 ' Поэтому Ч',,= ч~з С.',Ч я=~с'з ..Ч, „.= Р~+~ а мэ н I , 1 аа,-аса, а/а ч й мз-а а'ча, а!а+'-та+а а, -а1а а(ай ма+а а ь, -а~а.
Суммирование в (12.36) проводится по всем значениям з, совместимыла с (12.32) и удовлетворяющила условию l)М=М,+М,. В общем случае в правой части (12.36) представлен целый ряд различных значений ./. Вероятность того или иного значения / в состоянии /гу,М,М, равна ) С~ „ )'. Обратно, если задан набор чисел з'„ ./„ ./, М, т, е, рассматриваются состояния системы, в которых определенные значения наряду с моментами каждой из систем имеют также полный момент и его е-компонента, то не определены М, и М,. Можно лишь утверждать, что М, + М, = М. Вероятность определенных значений М„ И, при задзнных значениях з', М определяется квадратом модуля соответствующего коэффициента в разложении волновой функции Чгт,т,зм по фУнкциЯм Ч"з,,р,м,м,.
Рассмотрим в качестве примера сложение орбитального момента н спина. В соответствии с (12.32) полный момент электрона ! 1,~ '+-+- 2 21 ае 1 ""~ м! - ~М ' Чь ~д + ! ! — гл .+— 2!+ ! "Ь, ма+ М2 Рч — ., ! ~тг ! — т -1-— 2 2!+! ф! !- М'чь 1+ т 1/ !+т +— 21+ ! ФА <П!+М2 Т ь -1ь у'= !+— 1 2 !12.38) Выражения !12.38) позволяют найти вероятность определенных зназ чений гл)А при заданных значениях уги . Например, при 1= 1, /= — , ! ! ! лг = — вероятность значений т= О, р= — и лг= 1, В= —— равна соответственно 1 1 !+ Тлг+ — ! — т.+— 2 2 У 2 1 2!+1 3 ' 2!+! 3 При 1=О полный момент целиком определяется спином (= а= 1(2.
В этом случае из 112.38) следует очевидный результат: при и, = 1(2 вероятность значений )А = 1(2 и р = — 1(2 равна соответственно 1 и О. Наоборот, при лг, = — 11'2 возможно лишь одно значение ! )г =— 2 ' В д !Льнейгпем об описании системы с помощью волновых функций Чгу,у,ум и Чгу,у,м,м, мы будем говорить как о различных представлениях состояний системы, или просто о lМ-представлении и М,М,- представлении. Аналогичным образом можно говорить о различных представлениях состояний произвольной системы.
В общем случае под у-представлением мы будем понимать описание системы волновыми функциями Ч", где у в полный набор квантовых чисел, харак!' теризующих определенное состояние системы. В соответствии с этой терминологией о матрице оператора Г, вычисленной с помощью функций Ч', мы будем говорить как о у-представлении оператора, а о функциях )г †к о базисе представления. ! 5. Сложение трех и более моментов. При сложении двух моментов г, и г, величины У' и М полностью определяют состояние системы.
Это связано с тем, что полное число квантовых чисел, характеризующих состояние системы, остается неизменным. Величины $12) ОпеРАтоР УГЛОВОГО Момента. сложение мОментОВ 89 ( ! ! ! Значения коэффициентов Сг =(! — Гл)А~! — угл ) приводятся в $ 13. ин 1, 2 ~ 2 Окончательно 90 (гл. ат ьгловые моменты ./,/,ЛИ, так же как и ./,./,М,М„составляют полный набор.
При сложении нескольких моментов это уже не имеет места. Одним и тем же значениям ЛИ может соответствовать целый ряд различных состояний системы. Необходимо поэтому специально уточнить способ сложения моментов. Покажем это на примере сложения трех моментов ./„ У„ Уг Проведем сложение моментов двумя различными способами.
В первом случае сложим сначала /, и У„ а потом добавим Уг Согласно (12.32) сложение У, и У, дает У=./,+./„./,+./,— 1,...,~./,— У,[; М'=М,+М,. Дооавляя затем к каждому из полученных значений У момент Ум полячаем У У+ /м У+ / 1 ''' [У / ! М М +М М +М +Мг Во в~ором случае сложим сначала,/, и У, У'= У, + l„./, +./, — 1,..., )./, —./, [; М" = М, + М„ а затем У, н У' У = ./, + У', ./, т У' — 1,..., ~У' †./, П М =- М' + М, = М, + М, + Мг Обозначим волновые функции состояний, полученных обоими спо- сооами посредством Ч'гм (./,,/,[У] l,) и Ч"ам (У,; У,/,[У']).
Очевидно, что в общем случае Ч', (У,У,[У]У,)-~чг, (У,; У,У,[У]). Еще одну схему сложения моментов мы получим, если одновре- менно изменим и последовательность, и порядок сложения моментов: Ч з м (Уауа [У] Уа) Ф Ч ам (Уа/а [У] Уа) Переход от одной схемы сложения моментов к другой Чга,н (У,; ./,/ [У']) = ~~'„(,У ./ [У] ./, ! У„.У ./ [У]) Ч",ам (Уг/ [У] ./ ), 1 ! ам ( /а /а [-/ ] -/а) = 2~ ('/а /а ['/ 1 '/а [ /а'/а [ / ] /г) 1,Г М ( /а'/а [ / ] /а) определяется так называемыми коэффициентами )аа Рака (/,./, [У]./, ~./„УУ, [У ]) = ]' (2У + 1)(2У + 1) (Р(У, / Х/,; УУ), (12 39) ( /а/а [У ] Уа [ /г/а [У ] /а) ] (2У ! 1 )(2У + 1) Ю (УУа /аУ /Уа) (1 2 40) Коэффициенты Рака )г', представляющие собой функции шести аргументов, играют очень важную роль в теории сложных спектров.
Как будет показано ниже, с этими коэффициентами приходится иметь дело при решении самых различных задач. Обсуждение свойств эаих коэффициентов, а также формулы, необходимые для их вычисления, содержатся в Ч 13. $ 12) ОпеРАтОР УГЛОВОГО момента. сложение моментов 91 В рассмотренном случае сложения трех моментов задание двух чисел l и ГИ недостаточно для полного описания состояний системы. Необходимо задать еще значение суммы каких-либо двух моментов, например У или У'. Полный набор в этом случае будет составлять совокупность квантовых чисел Уг/,[У] У,ЛИ или Уо Л./,[У ]ЛИ.
лАналогичным образом при сложении большего числа моментов для полного описания состоянии необходимо наряду с ЛИ задать еще значения моментов подсистем из двух частиц, трех частиц и т. д. Например, в случае четырех частиц состояние можно характеризовать набором квантовых чисел Уг/, [У] У,[У] У,ЛИ. Возможны, конечно, и другие схемы сложения моментов.
Например, ./,./, [У]; ./,./, [У'] ЛИ, У,; ./,./, [У] У'./,./М и т. д. Наибольший интерес представляют две схемы сложения орбитальных моментов и спинов электронов: схема /.Ь'-связи /,/, [/.], У,а, [О] УМ и схема /утсвязи / а, [/,]/.У. [/'.] УМ. В случае [12.41) имеем /.=-/, +/„ /, +/,— 1,...,]/,— /,~, О=О, 1, У=/.+5, /. +5 — 1, ...,]/.— 5[, М,-РМ,=М, Р,+Р,=Ма l Ч'лм= Х бм м Ч'ьм Рзм м ем =АГ л 5= и в случае [!2.42) 1 1 /=(+ —, 2 1 2 1 1 /=/+ —, 2' ' 2' У=/,+у., /, +1,— 1, ",[Л вЂ” /,1, т,+,=т~ / т,Ч-Р., =т Ч'ум = Х См/ м, 'р/,м, Ч"/,м, тл +т/ --м (12.41) [12.42) (1 2.43) (12 А4) 92 [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
