Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 19
Текст из файла (страница 19)
26) у=! у+1,у,1 с l+ 1 1' 1 1 -)-Ф вЂ”, ) () — 1и) () — т+1) )=(-1) - Р т — т — 1 1,/ 1 (2! + 3)(2/ + 2](2/ + !)) — — — Г '() +т+ !) (/ — т+ !) '— '+1 ' 1 и — т Оу' 1( —" 1 Г (2) + 3) () + ! ) (2) + 1) уЛ1 3 . 3 .у+ —, ), —., с и — т — —, 2 2/ 1 ((/ — т — —,, ~(! — т р —,,) () — т+ —,)~ (2) + 4) (2)' + 3) (2)' + 2) (2) + 1) с ! / т — и — 1 с 1 =( — 1)У ) '.
) ., ', ~ ', (13.27) 1, ( !) + )) (2! т !) 2) ) 1 1П О,) ( ((2)+1) (!+ !) !)'),' ) =( — 1)/- 3 .) = —, 2 (ГЛ. УЧ 98 УГЛОВЫЕ МОМЕНТЫ В Ц 1 ~3(! — т+ 2) (у — т+ — ) (у+т+ — )~ (2! + 4)(2/ + 3) (2! + ?)(2) + 1) У+ 2 и — и —— 2 3 У вЂ” и+в =( — 1) 1 . 3 ~+ 2 ' У' 2 с 1 У+ 2 3 и — и —— 2 2,/ ( 2)( 2)( 2) (2у + 3) (2у + 2) (2/ ). !) 2у , (3 у Ш =( — 1) 1 .!+ 2 / 1 и — и —— 2 В= 2/ 1 )а '/ — т +— 2 =( — 1) * (у+ 2 / Ц2! — '3) (2/+2) (2')-1) 2/у /=2 — — 1 '- +'2 ' 2 2 0 + И! ) (1331) (у+ + ) ((2/+4) (2!-1-3) (2/+2) (2/+1)2// у+2,/, 2 с /+ 2 У '1 !(! т 1) (! т) (! т+1) (! 2), и и 2 2/) ((2/+5) (2/+4) (2/+3) (2/+2) (2/+1)! 1~=( 1)--( < /+ 2 / 2)) . ! (у-1-т-1-2) (у — т-1-2) (/ — т-1-1) (! — т)) —, и — т — 1 1/ 1 (2/+5)(2/+4)(2/+З)(2/+2)(2/+1) ! (13.30) с ~+2 / 2 ) — 1 у !5(у+и+2)(у+т+1)(у — т+2)(! — т+1)~ и и О / ( (2/+5) (2/+4) (2/тЗ) (2/+2) (2/+1) !+1,/, 2 < ~+ ./ ) 2 '-м4-1!(У т — )НУ вЂ” т)(У вЂ” т+1)(/+и+2)1 —, и — и — 2 2 / ( (2/+4)(2/+3)(2/+2)(2/+1) 2/ / с у+1 ! 2~ и — и — 1 1) 6 13) КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ МОМЕНТОВ 99 с /+1 / 2! ( 1)! ~+а 2и) 6(/+т+!)(! — т+!) и — и О/ )(2! + 4) (2/ + 3) (2!' + 2)(2! + 1) 2/ ) /, /, 2 с 1)! Ф 'Б(/ — т — !) (/ — т) (!+т+1) (!+и+2) ' а / 2'! и — т — 2 2 (2/ + 3)(2/ + 2)(2! + !) 2! (2/ — !) с / / 2 и — и — 1 1„~ 6(!+т+!) (! — т) + )(2!' + 3)(2/ + 2)(2! + 1) 2! (2/ — 1) ~ / / ) .
13т* — /(/+1)) и! — и О/ ((2/+3)(1-)-!)(2!+1) 2/(2! — !))'!а У, (3, Гр) у (3 ) 1~! Х / (2!1 + ')(2!а + !) (2! + !) аач 4п Умножим (13.33) на УБ, (8, гр) и проинтегрируем по всем углам. Для значений !„удовлетворяющих правилу треугольника /~(!,!,!,), из (13.33) следует ~ У..Ф.(6, ар) У„„,(8, ар) Уа,,(8, гр) е!И8а!5 )ар= (21,+ !) (2!а+!) (2!а+1) а а а а а а )~...~- т! ! !т т! / ! (' /!, 1, !,'' — Рл(соз0) Рл (сое0) РБ (сов 0) и!ИБИ0=( ) (13.35) ((ООО Интегралы от трех полиномов Лежандра в (13.35) часто обозначают посредством Слло. Согласно (13.35) Сл„,=а(' ' '). 3.
Коэффициенты )4Г Рака и 61-символы. Рассмотрим схемы сложения моментов уо /„ /, А -)-А = /', /'+/, = /, А+./, =- /", /, + у = А две (13.37) (13.38) Для различных приложений важна также следующая формула, содержащая 3/ьсимволы: уГлОВые моменты [гл ш В первом случае '!',. (ЛЛ [У[у.) = Х (У/.М'т.[У/.ЛИ) г!».хп г[гу т = тт»» ' (У»У»т»т»1/»Л У '"'У ) (УУ»М тз~ У У» УМ) Чг т Чг т !зу г (13 39) т,т»т,ж' Во втором случае Чузз(/з уг/з[У)) гт ~~р (ЛУт,М"!/»УЛИ) Ч['нт, Ч[у-з» = т,т" (/„/,т,т,[/ / УМ») (/,У т,»Г!" [У,У/М)г[г, Ч',„„»Ч',,тг (13.4О) Функции Чгуж(у„ /,/, (У'!) можно представить в виде разложения по функциям '!' „(/,/, [У1у',) Чли(У» ЛЛ [~1)=~(У»У»1~]УУ1У,. Л/з[У1 /) Чузз(У»У» [У]У.) (13 41) ж С помощью написанных выше выражений для функций»[г (/,/,[У [у,) и Ч' (у„ /,/, [,у"]) можно выразить коэффициенты разложения (/,/, [У[/У/[узы /,у, [У1./) через коэффициенты Клебша — Горлана (Л/~ [У[/»У1Л У»У» [/1/) = ~ (УУ,У»14! У/»М'т,) Х т,т»»» М'М" х (у у УМ' ~ у у,т,т,)(уут,т, [у / УМ»)(/ Ут,М" [/ УЛИ).
(13.42) Сумма в правой части независима от значений т,тзт,М'М", по которым проводится суммирование, и является функцией п»ести аргументов /,у,/,УУЛ Соотношение (13.42) можно переписать поэтому в следующем виде: (/ /, [У!/ l,'/„ /Л[У[/)= ]~ (2У+ 1)(2У+1] (Р(////,; УУ). (1343) Функция )7У в правой части (13.43) носит название коэффициента )у' Рака.
Если переставить местами векторы /з и /„то будет иметь место следующая схема сложения моментов: А +/, = У', У'+ Л = Л (13.44) В этом случае (ЛЛ [У]/з/~//з [У[/з/) =]'(2У+1)(2У+1) [Р(У//,У"; .УЛ). (13.43) Формулы (13.43;, (!3.45) естественным образом обобщаюгся на тот случай, когда одновременно меняется порядок сложения орби~альных моментов и спинов трех электронов. Например, для перехода от схемы У, + У, = У.', а, + а, = 5', У.'+ У, = У., Ю'+ а, = 5 (13.43) к схеме з + з т аз + аз = о у» + /.
= у- а» +з' = 3 (13.47) % 13[ кОЗФФициенты ВектОРИОГО сложения моментоВ 101 (Л Уй /з) (1, 1, )Р(Лу'11;У1) — ( 1)-д-д-з -йг [Л!й /з ! 1'й й (13. 50) (13.51) 6у-символ остается инвариантным при любой перестановке его столоцов, а также при перестановке нижних и верхних аргументов в казкдом из любых двух столбцов. С помощью [13.51) легко получить соотношения симметрии для %'-коэффициентов )Ут(адей; е[) = [зз(дайс; ет) = [зт(сйад; еЯ = Ю(асдй; уе) = =( — 1)з+з ' " )Уз(еде/; ай[)=( — 1)з+Т з ' [зт(аеУй; Ьс). (13.52) При е=0 %'(адей; Оу)=( — 1)ляз зб зб е [(2Ь+1)(2с+ 1)) (13.53) Из (13.52) и (13.53) следует )зР(адей; еО) = ( — 1)'+а ' б„б „[(2с [- 1)(2Ь + 1)) У'(Одсй; еу) = б, б, [(2е + 1)(2у + 1)) )з [аОсй; е/) = б„б [(2е + 1)(2г"+ 1)[ '1, [з'(ОЬОй; еу) = б„,б, [(2е + 1)(2у'+ 1)) [зз(аЬЕО; еу) = б„бзь[(2е + 1)(2у'+ 1И '1*.
6/-силзволы удовлетворяют следующим правилам сумм: ~~~~(2у+1)(2У'+1) [~1 ' )з з[ ' ' „), =бййэ 1 ' 1[1 Л ~ ! [Л ~з У ! ~~~,'( — 1)г+й+й (2/+1) ! ' '(Л Л у ! (Л Л у"! О. Л У'!' (13. 54) (13.55) (13.56) иМЕЕЛ1 (11зз [зез [~ 3 ) [лез~ ~ ~ 11Э1 11 й' ~лез [~ ~ [ б =)/(2['-Г-1)(2У-"-Ф-!)(25'- 1)(25" 4-1) [Р(1,[,и;! У.'П [Уз(ялля,; Я'5"). (13.48) Из (13.42) следует, что (зт(адей; ет') отличен от нуля, если выполняется условие треугольников сл(аде), з"л(сйе),,/х(асл'),,Л,(дй[).
(13. 49) коэффицлленты [Р' удовлетворяют ряду соотношений симметрии. эти соотношения удобно записать, выразив [зт через более симметричные коэффициенты, так называемые 6/-символы: 5 13[ ковафициенты вектогного слоькении моментов [ОЗ а 0 с =[ — 1)'"" !'+"+'+""+' '— )~ /, ([З.ВЗ) 2 2 — с — 2 0 — 2 ~ [ 2Ь !20+1) 2с(2с+1) 2 )а с 1, [ ь(ь+1] (ь — 2а — 1) (ь — 2а) ['1* )[! с — 1 6 — 1[ [(20 — 1) 2Ь(2Ь+!) (2с — 1) 2с(2с+1)[ =( — 1) ~~ [ 1 ь [ 2(ь+!) (ь — 2а) (ь — 2Ь) (ь — 2с+!) [ Ч, [! с — 1 0 ~ [20 (26+!) (2Ь+2) (2с — 1) 2с (2с+1) [ ' =( — 1)", +1)(ь 2с+2) Ь [ 1 ~ [(20+!)(20+2)(20+3)(2с — 1)2с(2с+1)! аЬс[ 2Х =[ — 1)' 1 с 6) [20(20+1) (20+2)2с(2с+1)(2с+2)[" с а 0 с =( — 1)' (ь — 1) ь (с+1) (ь — 2а — 2) (ь — 2а — 1) (ь — 2а) [ % !2Ь вЂ” 2) (2Ь вЂ” 1) 2Ь (20+ 1) (2с — 2) (2с — 1) 2с (2с+ 1) [ < а Ь с Зь (ь+!) (ь — 2а — 1) (ь — 2а) (ь — 2Ь) (ь — 2с+!) (20 — 1) 2Ь (2Ь+ 1) (2Ь+ 2) (2с — 2) (2с — 1) 2* (2с+ 1)[ =[ 1)<— < 3(ь-г1)(ь — 2а)(ь — 20 — ! Нь — 2Ь)(ь — 2с+ 1)(ь — 2с+ 2)[ Чь 2Ь (2Ь+!) (2Ь+2) (2Ь+3) (2с — 2) (2с — !) 2с(2с+1) [ (ь — 2Ь вЂ” 2)(ь — 2Ь вЂ” ! )(ь — 2Ь) (ь — 2с+ 1))(ь — 2с+ 2)(ь' — 2с+ 3)~ Чь (2Ь+ 1] (20+ 2) (2Ь+3) (2Ь+ 4) (2с — 2) (2с — 1) 2с (2с+ 1) =-'Г с а 6 с [2 (ь — 2Ь) (ь — 2с) — (с+2) (ь — 2а — 1)[ [(с+1) (ь — 2а)[ Ь [(20 — 1) 20 (2Ь + 1) (20+ 2) (2с — 1) 2с (2с+ 1) (2с+2)[Ч* ' [ГЛ.
ГУ 164 УГНОВЫЕ ЫОВЕНТЫ с и Ь с — с- —,' Ь+-2'- ~= » [(и — 2Ь вЂ” 1) (ь — 2с) — 2 (с+2) (ь — 2а)] [(ь — 2Ь) (ь — гс -]-1)]Ч, [2Ь (26+1) (26+2) (2Ь+3) 2с [2с+1) [2с--, '2) [2с —,3)[Л, [а Ь с 1» — »» — 2) =[ — 1)' ь (ь — 2)(ь — 1)ь(»+1)(ь — 2а — З)(ь — 2а — 2)(ь — 2а — 1)(ь — 2а) [ г, , [26 — З)(20 — г)[26 — !)20(гь+ !)[гс — З)[2 — 2)(г — !)гс[гс- !)1 — — '[ [а Ь с [2с — 2Ь вЂ” 1[ =[ — 1]'2 (ь — 1)ь(ь+ !)[ь+2а — 2)[ь — 2а — 1)(ь — 2а)(ь — 26нь — 2с+1)1', (26 — 2ь(2Ь вЂ” 1)2Ь(2Ь+1)(2Ь+ 2)(2с — 3)(2с — 2)(2с — 1)гс[2с+1)1 [а Ь с[ [2с — 2Ь[ = [ — 1]' Бь (и+1) (и — 2а — 1) (ь — 2а) (и — 2Ь) [ь — 2с+ 1) (ь — 2с — , '2) ] Л (2Ь вЂ” 1)26[20 + 1)(2Ь + 2Ц26 + 3) (2с — З)(2с — 2)(2с — 1)2с!2с+! ) 1 [ а Ь с [ 2 с — 2 Ь -[- ! ] ' (и+1) [ь — 2а! [ь — 20 — 2) (ь — 2Ь вЂ” !) [и — 2ЬКь — 2с+1)(ь — 2с+2)(ь — 2с+3) [ Ч» 26 (26+ 1) (2Ь + 2) (2Ь+ 3) (2Ь+ 4) [2с — 3) (2с — 2) (2с — ! ) 2с (2с+! ) 1 [13.66) и Ь с = [ — 1)'[ь — 26 — 3] ' " х [2 с — 2 Ь+2! (и — 26 — 2) (ь — 26 — 1) (и — 26) [ь — 2с+1) [и — 2с+2) (ь — 2с-1-3) [и — 2с+4)] г» ',2Ь+! ) (2Ь+2) [2Ь+3) (2Ь+4) (26+5) (2с — 3) (2с — 2) (2с — ! ) гс [гс+ 1)] [а Ь с [2с — 16 — ![ 4 [(а+Ь) [и — Ь+1) — [с — 1) [с — Ь+1)] [и (ь+!) (ь — 2а — !) (» — 2п)] [» [[2Ь вЂ” 2) (20 — 1) 26 (2Ь+1) (2Ь+ 2) (2с — 2) (2с — 1) 2с (2с+ 1) [2с+ 2)]Ь [а Ь с[ «~ — ( — ] 2х Х ((и+Ь+!) (п — б) — с'+1] [В(ь+1) (и — 2а! (ь — 26) [ь — 2с+1)](.
[[2Ь вЂ” 1) 20 (2Ь+ 1) (26 -,'-2) [2Ь+ 3) (2с — 2) (2с — 1) 2с [2с+ 1) (2с т 2)]",» [а Ь с 1» Х 4 [[а+Ь+2На — Ь вЂ” ! ! — [с — 1)(0+с+2) ][(и — 2Ь вЂ” ! )[и — 20)(ь — 2с-!-! ) [ь — 2с+2[]Ч» [2Ь [2Ь+ 1) [2Ь+ 2) (2Ь+ 3) (2Ь+ 4) (2с — 2) [2с — !) 2с»гс+ 1) [2с+ 2)]г* ф 13! коэзеигпзззнты вектоеного сложения моментов 105 аЬс) 2 [ЗХ (Х+ !) — 4Ь(Ь+ 1! с (с ' !)) [(2Ь вЂ” 1)2Ь(2Ь+1)(2Ь+2)(2Ь+З)(2с — 1) 2с (2с+1)(2с-!-2)(2а —;-'(!)1' ' В формулах (13.64) — [13.66) в=а+Ь+с, Х = а [а + 1) — Ь [Ь+ 1) — с [с+! ). (13.
67) [13.68) Приведем также две формулы для %'-коэффициеззтов, которые будут особенно часто встречаться в дальнейшем: а (а+1) +Ь (Ь+ !) — с (а+ !) 2 !' а (а+ 1) (2а+ 1) Ь (Ь+ 1) (2Ь+ 1) (г' [аЬ аЬ; с2) = =( — 1)"" аз-аз-з 2 [ЗС (С вЂ” 1) — 4а (а+ 1) Ь (Ь+ 1)! )' (2а — 1)2а(2а)-Р52а+2)(2а+З)(2Ь вЂ” ! )2Ь(2Ь+1)(2Ь+2)(2Ь+3) ' (13.70) С = а [а+ 1) + Ь[Ь+! ) — с (с+ 1). [13.71) 5. 9/-символы. Расс!загряз! переход между следугощими двумя схемзмн слозкения четырех моментовз ЛЛ [/ы[! / /. У 1 / (13.72) (13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
