Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 20
Текст из файла (страница 20)
73) Этот переход можно осуществить в три приема, меняя каждый раз порядок сложения каких-либо трех моментов: ЛЛ У,.!' ЛЛУ„[/ Л' /. ЛЛУ.,[/'/ -Л' Л, Л/. [/..[/'/-/,/. [/,.К /;Л У.,[./. /з /г /зз1 =)г[2/„+ 1) [2./„+ 1) [2/„+ 1) [2/„+ 1) /, /з /зз 7 з [13.75) В результате [/,/.У.,[ЛЛ У..1 /[/ь/. У,з1, Л/.
У,.1/) = =~(ЛЛ [/„[/,./[Л! Л/,. У'! /)[Л)!„/, [/„1/'[Л! Л/,У„1/') х Х [/,' /,/ы [/1/[/',/, У„[/„/), [13 74) Каждый из коэффициентов преобразования в правой части [13.74) выражается через [зг-коэффициент по формулам [13.43), [13.45). Заменяя в окончательной формуле Ж'-коэффициенты на 6-/ символы, получаем [/зЛ [/зг[' /зЛ Узз)'/[/з/з 1'/зз[' ЛЛ Узз[ /) НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ряют также ряду прзвил сумм. Приведем наиболее простое из этих правил, которое понадобится наи в дальнейшем: )абе ~абе1 (пай(кДЦ~ л (2е + 1) (2г" + !) й 14. Неприводимые теизориые операторы 1. Сферические теизоры.
При вычислении матричных элементов различных операторов целесообразно классифицировать эти операторы по их поведению при повороте системы координат. С этой точки зрения обычное определение тензора в декартовой системе координат неудобно по той причине, что из компонент тензора ранга и ) 2 можно составить ряд линейных комбинаций, которые ведут себя различным образом при вращении системы координат. Естественно возникает необходииость такого определения тензора, при котором все его компоненты и любые линейные комбинации из этих компонент преобразовывались бы при повороте системы координат единым образом.
Такому условию удовлетворяет совокупность (2к + 1) сферических функций: г'„р; д =к, х — 1, ..., — х. Определим поэтому тензор ранга х как такую совокупность (2х + 1) величин, которые при вращении системы координат преобразуются так же, как сферические функции 1'„р. Определенные такии образом тензоры называются сферическими тензорами или неприводимыми тензорами. В соответствии с этим определением неприводимый тензорный оператор Т„ ранга х представляет собой совокупность (2м + 1) операторов Т„ (14.
1) (14. 3] функции (14.4) (у,т ) =утки Простейшим примером операторов такого типз являются У (Г) ) кр((), 'Р), где у(г) †произвольн функция г. При к = 1 правила коммутации (14.2), (14.3) совпадают лами коммутации для сферических компонент вектора А: А =А,; А„,= — = (А„+)А ); А,=~= — (Ак — )А ), 1 1 Ф к +к 2 к у -л 2 к с прави- (14.5) удовлетворяющих тем же правилам коммутации с угловым моментом системы Р', что и 1'„р.
Эти правила коммутации согласно (12.11) имеют вид О ЛКУ Г У УГУ РР КК.Р~) Г..., ~1КК 108 )гл. щ ю ловые моменты поскольку эти компоненты следующим образом выражаются через сферические функции: 4л~А~ )г 3 3гг 3 !А) )гг 4г =~А~С4г, !146) Аг = ) А ) соа 8 =— Ач.г =- — ( А ) 1' 2 А,=)А) 1' 2 )/ — !А1г,. —,=!А~С Таким образом, сферические компоненты вектора образуют ненриводниый тензорный оператор первого ранга Т„=А,; Т,,=А 1 1 — )ага — ага), 1 — (а;„-+аг; — 2аб14). агг = а,а= След тензора а инвариантен относительно вращения системы координат, поэтому а является неприводимым тензором нулевого ранга Т„= — а. 114.9) Из компонент антисимметричного тензора ага можно построить не- приводимый тензор первого ранга Т„= агю 1 г' 2 !1 4.10) симметричного тензора ага†неприводимый тензор а из компонент второго ранга Т„= амь 114.11) !14.12) / 2 — — 1а,~ ~ага), .Г! Тг, гг= Р' б (а — а„„~2!а„а).
114.18 Рассмотрим также, каким образом выражаются через Тг компоненты тензора второго ранга а; (1, л =-х, у, а). Этот тензор можно представить в виде а;„=аб; +ага+апп 114.8) где 14) ньпгизоднмые ткнзогные опеглтогы 109 Аналогичным образом тензоры более высокого ранга можно разложить на неприводимые тензоры. В дальнейшем мы будем использовать для компонент неприводимых тензоров одно из двух обозначений Т„или Т". 2. Матричные элементы. Из формулы (13.34) следует, что 7.
7.' к'1 (7.М) У )7 М)=( — 1) Ус Уь м У г(Ож( — 1) (, ). Это соотношение можно получить также непосредственно из правил коммутзции функций У„ с орбитальным моментом Е. Точно таким же образом из правил коммутации Т и 7 можно найти занима симость матричных элементов Т от квантовых чисел ММ'д. В общем случае матричные элементы оператора Т„ определяются выражением у ху~ (ууМ~ Т„)уу'М)=( — 1)'- (уу))тду у),) (14.14) (теорема Эккарта — Вигнера).
Не зависящие от ММ' и д множители (14.15) (уУ))ТДу У) носят название приведенных матричных элементов. Из свойств ортогональности 3/-символов (13.14) следует важное правило сумм )(у.~М) Т„,) у'/ М )) =, )(у.~~) Т„)).1'у')~'. (14.16) мм Правая часть (14.16) не зависит от д, поэтому )<ууМ! Тя)у'у'М'))'=)(уу',)Т„))т'у')~'. (14.17) При решении ряда задач в окончательные формулы входят не сами матричные элементы, а суммы (!4.16), (14,17). Г!оэтому достаточно знать приведенные матричные элементы. Г!оследние находятся следующим образом: выбирается простейший с точки зрения вычисления матричный элемент (уЛИ! Т„~(у'УМ') и сравнивается с общей формулой (14.14).
Например, в случае х=- 1, как правило, наиболее просто вычисляется матричный элемент М= М' = д= О. Из формулы (14.14) в этом случае имеем l 11'~ <ууМ) Т ~ у УМ у ( 1)г-:и(у/Ц Т ))уУ) ( ~ (14 18) (гл. ш УГЛОВЫЕ МОМЕНТЫ При х=О (УЦУ,ЦУ')= ~У вЂ”,бп,, l 21+ 1 ЩСь()У~) )/27+ 1 бн (14.26) (14.27) Поскольку 1 ао (14.28) (14.29) (УЦ!ЦУ)= У'2У -1-1 Ьп . При х= 1 П У У 1 У' Умах у у 0 0 0 ( ) У (2! + !) (21'-1- 1) ' (14.30) Отметим, что приведенные матричные элементы (уУЦ Т,Цу'У) следующим образом связаны с величинами (уУ( Т,,' у'У), введенными в !К. Ш.|: (у/Ц Т))у3) = У .У (У+ 1) (2У+ 1) (уУ'; Т,1у',У), (уУЦ Т,Цу'У вЂ” 1) = )Уг/(2/ — 1)(2У+ 1) (уУ! Т, .', у'.У вЂ” 1), (уУЦ)Т,Цу У+ !) = = — )У (У+1)(2У-)-1)(2У+3)(у/;: Т, ':у'.7+ 1). Для эрмнтовых операторов Т приведенные матрнчные элементы удовлетворяют соотношению (уУЦТ„Цу У) =( — 1)з У'(у'У~~(ТДуУ) *.
(14.21) 3. Ряд примеров на вычисление приведенных матричных элементов. Начнем с вычисления приведенного матричного элемента сферической функции г'„ . Согласно (14.14) имеем / У хУ''( <У ( у„(У'гл') = ( — 1)' д У„ЦУ') ~,) . (14.22) С другой стороны, формула (!3.34) дает ~ 'т) Г„~Уп ° я!!!)г(!)гор=( — 1) ~ У, У„~уп,„япйг(йгйр= ,„ /(21-1-!] (2н+!) (21'+!) ( х ) ( 4п '(0 0 0 У' (,— т д т'/ ' Сравнивая (14.22), (! 4.23), получаем для случая У+ х+ У = 2д, где д †цел число, (ХЦУ,Ц )=( — ) у + )( ), « .24) УУхУ", 4п ),ооо)' УУ х У') (У))С" ЦУ') = ( — 1)~ 1l (2У+ 1) (27'+ 1) ~ ) .
(14.25) ,0 00) 8 14) ИЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ где 1м,„— наибольшее из чисел 1, 1'. Поэтол!у (1(! ) ((Г) = ( — 1) ~/ 4 )/1, Г = 1~ 1, (14.31) (1((С ((Г) = ( — !) ) 1пзвх, 1' = 1~1 (14.32) Для Г+1~1 приведенные матричные элене)!Ты г', и С' равны нулю. Сферические компоненты единичного вектора а следующим образом выражаются через функции п ~// Уы, / 4п "-"= У 3 (14. 33) Поэтому (1((л((Г)=( — 1)'+ )/1,„, Г=1~1. (14.34) При и= 2 отличны от нуля ( ') „.г 1 2 1)) 1 (1+ ! ) ТО 0 О)) ( ) Р' (2!+3)(21+!)(2! — 1) ' 21 2'), " з!(1 — !) 0 0 0 )) У 2 (21 -(- ! ) (21 — ! ) (21 — 3) ' ( 1)к с ! 2 1-, '2)) / зп+!)(!+2) 0 0 0 1) ( )' 2(21+5) (21+3)(2!+!) ' (14.35) (14.36) (14.
37) Отсюда нетрудно получить выражения для приведенных матричных элементов ум С'. Например, / 5 / 1(! + 1) (21+ !) (1)()'*()1) = — )) 4п 1) (21+з) (2! !), (14.38) (1((С*((1) = — ~// ! (1+ !) '"+ " . (21 + 3)(2! — !) ' (14.39) (14.40) тогда как общая формула (14.14) дает сыч!),1)л)=у)л))= ь„ь . )))))) )~.))))~), )) Значения (1!(С()Г) для 1( Г~4 приводятся в таблице 16. Перейдем теперь к вычислению приведенного матричного элемента углового момента.
Собственное значение е-компоненты момента l = l, равно Л4. Таким образом, <УМ(У,(ГМ > = Л(б„бмж, й 14! непеиводимыв твнзоеныв опн лтоеы 113 В частных случаях орбитального момента и спина электрона форму- ла (14.42) принимает вид (![Лр)=)г 1(!+1) (21 —,1) бп, 1' 2 (14.43) (14.44) 4. Тензорное произведение операторов. Из тензоров Т', (г можно построить неприводимый с компонентами О', = ~~' (Ига).['кгзо) Т Бг, ох где двух неприводимых тензор 1;)' ранга з (1 4е45) а=й+г, )а+г — 1, ..., [й — г[ и (веда ! вгао) — коэффициенты Клебша — Горлана.
Выражением (14.45) определяется тензорное произведение операторов Т~, (l', которое ниже будет обозначаться как О'= [Т'г, и]', а'.= [Т" х и'1'. (14.47) Удобнее, однако, определить этот скзляр соотношением (Тли)=~( — П Т и- =У ( 1) Т и'. (1449) и Ч Выражение (14.49) носит нззвание скалярного произведения тензорных операторов Т» и (У . Простейшим примером скалярного произведения тензорных операторов является теорема сложения сферических гзрмоник (12.16) (С (11, р,) С (О, р, В =,У, С ((), ср,)"С ((), р,) = =-~( — 1)яС д (3), ср,) Сд(Г), ф,).
(14.50) В качестве второго примера можно привести обычное скалярное про. изведение двух векторов А и В, записанное в сферических компонентах (1 4 5): АВ=~~Р~( — 1) АмВ- я (14.5!) Приведем также пример тензорного произведения неприводимых тензорных операторов. В 9 23 будет показано (формула (23.21)), что С помощью (!4 45) можно построить (2к+1), если П (г, или (2г 1-1), если Гг>г оперзторов [Т х сг'~.
Если Ф = г, то среди возможных значений а есть а=О. Таким образом, из двух тензоров одинакового ранга можно построить скаляр [Т'х и"';= '(йЬ| — д~М99)т',и',= —; — — ~Х' ( — 1) Т (У- (14 43) Ю + а 114 [гл. ~ч угловые моменты взаимодействие магнитного момента ядра с собственным магнитным моментои электрона имеет вид )Г= а,(3 (ап) и — в) 1= а,К!, (14.52) где в — спин электрона, 7 — спин ядра и а,— константа. Компонента и вектора К сюжет быть записана следующим образом: К„= ~ Ог,а (14. 53) (14.54) О„, = (Зл„л — б„зл'). является тензором первого ранга, и поэтому д-компонента (14.55) [О Х У ~д — — ~~'„(21тт' [ 21)г7)ОчЯ, (14.56) с точностью до постоянного множителя должна совпадать со сферической компонентой К вектора К К =сопя! ~ (21тлг'[2!14)С,'„(б,гр,)3 ПРМ Для определения постоянной в (!4г57) сравним К, из (14.53) с К, из (14.57) (14.57) К, = О, а„-)- О, а + Ог ам (! 4.58) К, = сопя! ~ (21т — т ) 2110) С' 3 [томпонента а, = — 5, входит лншь в последний член (14.58), поэтому О„а, = сопя! (2100 [ 2110) С,'3,.
(14.59) Учитывая, что О„=Зсоза0 — 1, С, = )/ 4 (3 соз !> — 1), (2100 [ 2110) = ~/ †, получаем -/2 — У 5 К„= — )' 1О ~~а (21лгт'[2117) С' ([!ср)З = — У10 [С'ХЗ')„(14.60) ,Х( — !) К 7 а = — а,)7 !0 чр( — !) [С'Х Ь'),7 ,. (!4.6!) ч Поскольку тензор О„симметричен и имеет равный нулю след, из компонент О„можно построить сферический тензор второго ранга (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
