Овчинкин часть 3 (1181127), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Р~Р 7з 439 Поскольку левая часть уравнения ограничена — 4 < 4 соз р,а < 4, то равенство возможно только если одновременно соз р,а = — ! или р,а соз — = —, т'3 2 ! совр а=! соз— Р,а ! 7з откуда ! р„а = 2лш р,а 2 или — = ж-л+ 2лз тгЗ 3 ! р„а = л + 2лл — = ш — и+ 2п( Рха ! т'3 3 Подставляя данные, получаем, что р = — + — — гп 2яб 4л3 ЗЬ ЗЬ 2лй + 4кб ЗтЗЬ ЛЬ 4я3 Рх 4лЛ ! 4яЬ 2хЬ ЗЬ 2лЬ ЗтЗЬ Пересечение указанных линий дает вершины шестиугольника.
Таким образом, поверхность Ферми графена состоит из шести точек и ес площадь равна нулю. Как видно из закона дисперсии, для любого направления в обратном пространстве кроме диагоналей шестиугольника, на границе зоны Бриллюэна возникает щель (запрещенная зона) в спектре электронов. Она максимальна в середине сторон шестиугольника и уменьшается в стороны вершин, где исчезает вовсе (зона проводимости соприкасается с валентной зоной). С точки зрения своих электронных свойств, графен можно считать либо бесщелевым полупроводником, либо полумсталлом с нулевым перекрытием зон. 4.55'.
Ре шс н не. Если отсчитывать энергию от уровня энергии электрона в атоме, то раскладывая в ряд выражения для закона дисперсии вблизи какой-либо вершины шестиугольника, получаем М(ЬР ар„) = А арзх+Ьрз = =с*бр, ЗЬ У 23 х У где Ьр = (др„, Ьр ) — двумерный вектор, отсчитываемый от данной вершины шестиугольника, с* = — = А — = 10 см/с — скорость элементарных дЫ ЗЬ 3 дбр 23 возбуждений. Т.о. изоэнергетические поверхности Ь|(бр, Ьр,) = сопя! Х' представляют собой окружности — сечения конуса в пространстве Ьр„, бр, 68.
В каждом углу шестиугольника сходятся три соседние зоны Бриллюэна. Поэтому каждая иэзэнер!этическая поверхность принадлежит Отбирая только те значения квазиимпульса, которые попадаю~ в первую зону Бриллюэна, получаем уравнение прямых линий в р-пространстве данной зоне на одну греть и полное число поверхностей, приходящихся на одну зону Бриллюэна равно б — = 2.
Т.к. число состояний на интервал зна- 1 3 чсний квазиимпульса Ь( 2 с(г др 2 др адр = 2 * г 2)дб(а д4(, (2лЬ) 2лб 2л(Ьс ) ~ лс 8 — площадь кристалла, то плотность состояний гг)(ЬБ) чт аМ )ад| ес Р чг )дб(. Следовательно, на поверхности Ферми графова плотность состояний равна нулю. 4.56'. Р е ш е и и е. Для сохранения кристаллической симметрии при сворачивании полосы в трубку, примитивная ячейка должна преобразоваться.
В листе она содержит два атома углерода (1 + 4 — и является 4) ромбом со стороной угЗЬ и углом 60' (наказана штриховой линией на рис. 88) и поэтому не может обеспечить необходимую симметрию. Для трубки подходящей ячейкой является прямоугольник с размерами т(ЗЬ х ЗЬ (показанный нприх-пунктиром), одна из сторон которого параллельна оси трубки Как видно из рисунка, этот прямоугольник содержит 4 атома углерода (2+ 4 — + 2.— ). Поскольку примитивная ячейка увеличилась в два раза, 1 1 4 2 !о число разрешенных значений квазиимпульса станет вдвое меньше, а число ветвей в законе дисперсии — вдвое больше (знак ": под корнем).
При этом первый знак ш соответствует зоне проводимости и вален!ной зоне, а второй знак ге соответствует сзарым (лист) и новым (полоса) ветвям закона дисперсии, возникающим из-за уменьшения зоны Бриллюэна вдвое. Это аналогично появлению оптической ветви при переходе от одноатомной к двухатомной цепочке. При сворачивании листа в трубку, компонента квазиимпульса вдоль оси !рубки остается непрерывной, а поперечная компонента будет квантоваться; 2яйр( = г!2лЬ. Здесь ! = (х, у), й — радиус нанотрубки, п = 1, 2, ...
В связи с уменьшением чис'и степеней свободы электронов при сохранении полного числа электронных состояний, плотность состояний в нанотрубке должны измениться по сравнению с листом. Условие гладкого сворачивания вдоль оси х (точка А должна совпасть с точкой А' или кратной ей) имеет вид 2ггй = ЗшЬ, где т = 1, 2,..., и (!.н. ианотрубка типа агшслагг). В этом случае закон дисперсии приобретает вид Бм„(ру) =БожА Одномерными зонами Бриллюэна являются теперь отрезки прямых линий длиной (от — — ' до ), параллельные оси р (р, = гс — ' — ).
2лЬ лЬ лб 2лЬ в Ьт 3 Ьчэ дугам ЗЬ г~ Число этих подзон будет равно 2н Уровни с т =)г и ш = я — )г оказываются вырожденными, т.к. гх соз л — = т- сов(л — л — ~. Из-за этого вырож- 1 л л пения число уровней будет меньше, чем 4п. Как видно из закона дисперсии нанотрубки ага!еда!г, при любых допустимых значениях квазиимпульса во всех подзонах с п! ми в размерно- 441 В 5. Сверхпроводимость 5!. Я =-у-1п — 44.10 !З Ом, где 2. = 2п/) (п — ' с( у(0 !. 5.2. Я = — '1п — 1,1-10 (З Ом, с'! ,~(г) где индуктивность единицы ленты б 4яза2 5.3. !'(х) = — ; у" =— ЛЬ гУ~ х(ь +х сь = 1 дин/см (рис. 23б).
Поверхностный ток направлен в соответствии с векторным произведением ! = — (пВ), т. е. от с 4я нас (перпендикулярно плоскости ри- Рис. 23б сунка). 5.4. <5 ж с' 1Г» = б,49 10ш ед. СГСЭ 21,6 А. 1 2лг 5.5. Т = л ~~ = 0,3 с я 5.6. ш = — ' = 1.42 !0 с 5 лес/(Я 2 Ме квантованном спектре существуют щели !!ри этом уровни энергии в валентной зоне полностью заполнены, а в зоне проводимости — пусты.
Поэтому приложенное к нанотрубке напряжение пс сможет вызвать электронный ток. Только для подзон с ш = н, проходящих через точки ферми-поверхности графена (р = ж —, р = г ~), щель в этих точках 2яд 2ть зь ' т з7зь ь' обращается в нуль. Отметим, что согласно сказанному выше, в точках ферми-поверхности плотность состояний теперь отлична ог нуля. Поэтому для электронов валентной зоны возможно сколь угодно малое изменение энергии, т.е.
протекание тока под действием приложенного напряжения. Условие гладкого сворачивания листа вдоль линии оси у (точка А должна совпадать с точкой А" илн кратной ей) имеет вид 2лЯ = ты/з, где и = 1, 2, ... Из условия квантования получаем значения поперечной компоненты квазиимпульса р, = чз —, В этом случае имеем нанотрубку типа 2яб т >' Ь7З и' х/ухая. Здесь также возникают 2п одномерных подзон, а зонами Бриллюэна являются отрезки прямых линий длиной 2п/ЗЬ (от — п/ЗЬ до п/Зь), параллельныс оси р„.
Как было показано выше, металлическая проводимость возможна. если линии подзон будут проходить через точки ферми-поверхности (вершины шестиугольника). Это приводит в данном случае к условию л = Зш. Если же л ы Зи!, то в спектрах соответствующих подзон при любых разрешенных р„имеются щели, и проводимость будет носить полупроводниковый характер. П р им е ч а н ив. В задачах 5.6 и 5.7 реально носителями тока являются куперовские пары, и для них гиромагнитное отношение 7 = 2е г 2. 2тс 2тс совпадает с 7 для отдельного электрона, 5,7.
р = = 4,5 10 рад. т„сгуяЬ е72алг СВ !6 9 5.8. Иг= — 13Е=1,4 10~ьэрг/с=1,4 1О Вт при — =те, где е— тэ 16! ( основание натурального логарифма. 53. ( — ') 5.10! Л = з(~ ' = 0,53 10 3 см. 4яи е Ре шеи не. Уравнение движения электрона в сверхпроводнике дт ш — = еЕ. дг Здесь мы заменили полную производную частной, что можно сделать, если пространственные изменения переменных малы ( — = — + (уЧ), — ж» вЂ”" г( д 1 ((ь) !(Г 31 ' ! 1 или го ж —, откуда — ж 1) ов ов Л с Так как Е= — — — и )=ел ч, то 1 дА г д! зс г г л = "~ — "-' — ' 4лане ыг 2 е п„с 1=- — А = — А, где шьс 4яЛ 2 Это уравнение заменяет закон Ома в сверхпроводниках. го!1= — — го! А = — — В. с с 4яЛ 4лЛ Используя уравнение Максвелла го! В = — 1 (в сверхпроводниках В Н, а 4я.
с током смещения в металлах можно пренебречь), получаем го! го! В = бгад г(19  — т ~В = — В/Ль. Поскольку г(19 В = О, то окончазсльно 2 'т'2В = Л 443 Если однородное внешнее магнитное поле параллельно поверхности сверх- проводника, то уравнение переходит в — у — — — ~, где х — координата, на- ЫВ д г(х правленная вглубь сверхпроводника по нормали к поверхности. Решение этого уравнения Б(х) сс е ЫЛ, т. е. магнитное поле экспоненциально затухает вглубь сверхпроводника.
Поскольку частота внешнего поля не входит в Л, то результат в полной мере относится к постоянному магнитному полю. Искомая глубина Л = 5,3.10 ~ ем. сн(й(2Л)1 4хЛ сн(Н(2Л)) т 4 и лондоновская глубина. 5.12. 8 —" = 1О з см. Ьчв 2Л 5ПЗ.  — ' 1,4 1ОЬ Гс. )тв 5.14*. Р е шеи ив. В силу условий В ~В и Л(То) ъ. И можно пренебречь магнитным потоком через пленку и считать, что поле в диэлектрике равно внешнему. Тогда можно записать ф (р 81) — ф~ 2гнч — — А)г(1 — 2япй, откуда, используя теорему Стокса, получаем г,= — ' п+ — ~, где Ф= В В=го(А, Фсон=х с. Дополнительная плотность полной энергии сверхпроводника при температуре Т, обусловленная внешним полем В, равна г Ь(е = ггоа (То) + 2шч, Вз где пя — концентрация сверхпроводящих пар, равная п„,/2 (л — концентрация сверхпроводящих электронов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
