Овчинкин часть 3 (1181127), страница 90
Текст из файла (страница 90)
При этом, конечно, эти атомы нужно рассматривать как различные 1- 2- лА» + лАц = лА». Из этих уравнений получаем: "- + "Ац "БЬ ПА». 2- Вероятность заполнения электроном уровня с энергией — 45 + ез У( — л+ ~,! = """ = ЛА„ -А+Е,-я 1+ехр 4 г ц Если лаь < плц, то уровень Ац с энергией — ск+ 82 заполнить нечем. 2- так как л = 12 ея!4»Г, то обозначив х = ев(1»Г, получаем уравнение 2лл„— лзь х= — " + 20- лзь — пА» — А .!. В2 — " ехр 2лА н5ь !»БТ ЛЬЬ ЛА» откуда р. = — 2(+ 42+ (к т!и 2лА л5ь 427 откуда х + х ехр Поскольку ехр .к (ц — х+ Ац = ЛБЬ вЂ” ЛА».
г х -1-ехр Б ! — Л 1 В2 ЛБЬ вЂ” 2пАц Цзь — лА» — А 4 Вз — — ехр = О. аат) (7 ) О '( 2ат) — Ач-~ '( 1,-30 1Π— 13 « ш А» (Π— 4 л — 2л 2Б7 (»- При пав = 1,5 пдя р = — »з+ 82+)тнт!п 1 = — 6+82 —— — 0,2 эВ, т. е. уровень Ферми совпадает с уровнем ( — Л+ бз). Заметим, что наше предположение о полной занятости первого уровня ( — Л+ 41) оправдалось: р — ( — тз + ш() — бт — 81 — — 0,35 эВ ~ )тбт = О, 0066 эВ.
так как — бз — (г — л — 42 — 83 — 0,19 эВ л''хат, то Уровень доноров пуст, а первый уровень (с энергией — Л+ 61) заполнен полностью. Полупровод- ник является полупроводником и-типа, так как процесс перехода электрона со второго уровня ( — тз+ шз) в зону проводимости намного более вероятнее процесса захвата электрона из валентной зоны на второй уровень и образо. ванин там дырки: ехр — 10 13 хьехр — — 2 10 ЗЗ а ')шт -! ет )» ьт Концентрация электронов в зоне проводимости А (шз 4 — 3 п =Я ехр~ )ж83!О см 3.
~ м,т ) Заметим, что полупроводник с неравновесными концентрациями приме- сей обоих типов называется частично компенсированным, Приведем другое решение. Вероятность заполнения первого уровня (с энергией — Л + и1) равна 1, а уровня с энергией — Л + шз 2- т( 0+62) = — = И А» — А 4-83 — р 14-ехр Из закона сохранения числа электронов и «числа акцепторов» при усло- ВИИ И ЧКПА», И,1„ ! пд» + 2пт» — — из)г 1- 2- ПАи + ПА» ПА» получаем совместно с определением у'( — Ь+ 82) — А».ет р ид„2иА» — изь ! ехр ) — !в (»вт ) пя,— ид„ия,— ид„ ить — ид. б '!" »2 или ц = — 4з+ шт+ хбт1п ' '; и = Ц ехр ~ 2ид„— пзь ~ )(ь! Ср,ш А ! 6 ~,ахт) 2аьт 4.27.
и, ж — ""~- = 1,7.!Ога см-~. хб 4.28. п( и — ьтйишЛ~ — — 1,93 106 см '. хд 428 2 4.29. о, — - —" = 2,2. ! 08 ед. СГ СЭ = 2,4 10-4 см) и. о у 4.30. Я(2 — — — ~~. 10,3 кОм. е 4.31'. Л = ж 16,4 кОм, л и — = 1,6 ! 08 см 2. 2 ' ' «2~2 Ре ш е н и е. Дебройлевская длина волны электронов проводимости ). ж Лу — — 2пйу, где ку — — ~2пл«(см. задачу 4.15). «Мостик» работает как волновод. Если длина волны электрона Л э 2«(, то электроны не могут его преодолеть.
Условие прохождения Л= <2«(, откуда л«> — =1,6 10 см 2л 8 — 2 т'2хи 24 Приложение к «берегам» ГБ напряжения У вызовет появление на них разности концентраций Ьл«спи и, как следствие, возникновение диффузионного тока. Разность концентраций Ьл, вычислим, используя определение плотности состояний на единицу объема К)(е) = — = †, где 2Ле = ер, С другой сто4л дп пе Ье роны в двумерном электронном газе Ь(8) = 2 2 = — — 2 = — 2, так как 8(8) = —. 2леи ! 1 Фе 1 шщ 8! (2к) ~(е 2х ~((! ) ла 2п« Плотность тока электронов (при условии Л к!) апек ) заряд / е 4 ~ссм Коэффициент 1/4 в последней формуле связан с двумерностью электронного газа (в 3-х мерном случае он был бы равен 1/6, а в одномерном 1/2). Таким образом 1 е у Лк У - — еекВ (е) е)' = — —.
4 4 х8 е 1' аен Ток через мостик «у =/т) = — —. При «открытии» мостика Л = Л„= 2«) 4 хй 2 или )гуе( = л. Отсюда величина появившегося тока «9 = —. При этом исков У 4А мое сопротивление мостика й = — = 1,82 10 8 с/см !6,4 кОм. ат е 4.32. Т вЂ” е — 1,3 К 1 Ока«лес г 4.33'.
= 2 = 2250 заь СГСЭ = 2,5.!0 9 Ом 2м ! лзе т т ГДЕ Л2 — — Ло ЕХР ~ — — = 9,1 10' СМ, ГДЕ 22Й!2 8«)«дпофо. 3 -2 288Т) 429 Р е ш е н и е. Конечная проводимость возникает из-за термического возбуждения следующего уровня Ландау. П(ель между 1-м и 2-м уровнями характе ризу ются разными направлениями спина (8, = 2 — спиновый 8-фактор) Ле) !г(эрг) = 2е8,1гвВ = 2йпВ = 1,854 10 гоВ (Гс) . По аналогии с собственными полупроводниками (щель играет роль зап рещенной зоны) для концентрации электронов на 2-ом уровне можно записать 48!г иг = ио ехр гк Бт Магнитное поле В находится из условия, что фактор заполнения о = 1.
Эффективная площадь, приходящаяся на один электрон, в этом случае равна 1 5зфф = — „ ио Поскольку каждый электрон захватывает квант магнитного потока Фо = —, то искомое поле В = иоФо 4.10 Гс. Тогда емв!г= 7,67 10 эрг, Нс и иг= 8 875'!О оио. С учетом того, что на первом уровне Ландау образуются дырки после перехода электронов на второй уровень, запишем искомую проводимость о = 2 = 2250 эд. СГСЗ = 2,5 !О О Ом !м !. и!* Строго говоря, поскольку магнитное поле влияет на проводимость (см.
задачу 3.71), то приведенное выражение для о не совсем точно: его надо поделить на (1 + (ео т) ), где ео — циклотронная частота, а т — время свог бодного пробега (т !О !о с). Так как (со т) 0.1, то влияние магнитного поля на проводимость можно не учитывать оп !! -г )!о 4.34. и, = — = 3,63 1О см г, где» = —, йо — квант холловского соФо в!К противления, а Фо — квант магнитного потока. 4.35. Поскольку — ее е-, то и, надо уменьшить в !00 раз. (т 1 8 т'йу 4.361 Р еще н ив.
(см. задачу 4.37) Уровни энергии электрона Ви=" (и+ — ) В. Кратность вырождения (т. е. число мест на уровне) на единицу площади 8 = в = —. При больших полях в и л,, ивсеэлектроны находятся на уровне си = О Фо Ю вЂ” —  — и — В и 0)1 — — — и — — сопв1, М ед дв еЬ 5 и егщс 2!и с а химический потенциал как энергия, приходящаяся на одну частицу, сов- падает с энергией Ферми при Т = 0 К еу = — — = В = — = йское, где ше — циклотронная частота. 1 дй ед ! 5 ди~ гю'е 430 в=1и 8 = —, — + 3 —, л, — — = —, 13л, — 2 — ~, откуда ед В еб ( В) еб ( В ) гт*с Фо 2т*с ~ ' Фо~ 2т'с ~ ' Ф4' еЬ Ф,~' -л —, еЬ ' 2 т' и,ф 4 «,Фо л~Фо 3 2 а) лд л в,Фо н,Ф в,Ф гФо 4 3 2 б) Рис.
231 Таким образом, при В- н Фо магнитный момент 33 -ь — л,, т. е. мее6 2т'с в,фо няется скачком. Следующий скачок произойдет при В = —, затем при 2 в,фо В = — и т. д. В промежутках 33 линейно зависит от В (рис. 231а). Ана- 3 логичным образом ведет себя и химический потенциал (рис. 2316). = 4,45 1О 7о эре/(Гс см ).
Решение. Уровни энергии электрона в двумерном слое в магнитном поле В д .Ь В(л+1)+Вт 3 В ~ 1) Эффективная площадь, приходящаяся на 1 электрон, 5 ФФ = — — — —, где лс Фо э еВ В' Фо —— — — — — 4,14 1О Гс см — квант магнитного потока, Число электронов, — 7 „2 е 431 и, С уменьшением поля В при 1 с с 2 часть электронов перейдет на уровень с я приходящихся на 1 смз площади слоя (кратность вырождения) и имеющих энергию би и: В= — = — 5.10 см, откуда следует, что заняты !! — 2 Зэк Фо и, 4 = — '= 2,4, т. е.
два нижних уровня Ландау заполнены полностью, а трек тий — на 40;„'. (см. рис. 232). Рнс. 232 Запишем энергию единицы площади электронного газа, учитывая, что спиновый В-фактор я, = 2, + е — — "" В и,— 2 — = иВ В 2ги*с Фо  — + Фо — 2 — 3 — „— + В еЬ иВ 2В ~Ь Магнитный момент единицы площади %= — — = — Зи,— 8 — —,+ и,— 4— ЗВ ~ ' Фо) 2т*с ~ ' Фо 2тс В м( В) = цв и, — 4 — — —, Зи, — 8 — = 4,45 1О !сэре/(Гс см ). Ф, ~ ' Ф,) 432 438*.
Ы= )~ — = 1,4 мкм, где Фо — — — — — 4,!36 !О Гс смз — квант 12Ф, (!с )! коВ е магнитного потока. Решение. В данном случае движение электрона можно рассматривать квазиклассически, так как ею дебройлевская длина волны много меньше длины свободно!о пробега, определяемой дефектами решетки.
Рассмотрим движение электрона из точки А в точку А' (рис. 233а>. В силу упругого рассеяния электронов на дефектах разупорядоченной металлической пленки, их движение будет диффузионным, как у броуновских частиц. При этом каждое упругое рассеяние приводит к изменению фазы волновой функции электрона на заданную величину. Неупругое рассеяние электронов, в частности на фононах, приводит к случайному неконтролируемому изменению фазы (сбою фазы> и потере когсрснтности. Однако та- кис процессы крайне маловероятны в силу малого числа фононов (температура 1 К). Траектории электронов, движущихся в пленке под действием приложенного электрического поля с дрейфовой скоростью, много меньшей и ь различны.
Чтобы найти вероятность попадания в 11 т. А', надо сложить амплитуды вероятностей, со- 1 ! ответствующие всем возможным траекториям, и В вычислить квадрат модуля этой суммы. Указанный выше процесс сбоя фазы определяет ту ха- 1 1 рактерную длину, на которую влияние интерференционных членов существенно Все возможные траектории можно разбить 1 А' 1 на два класса: траектории с самопересечением (траектория 1 на рис. 233а) и без самопресечений (траектория П). При движении по любой С траектории разность фаз равна а,р = 1 ~ р(1 — т ~ „,(1 ' ~ а,(1 Для траектории без самопересечения интер- 1 ференция не важна, так как они имеют разные длины (больше характерной) и поэтому разности фаз на них сильно отличаются. В результате суммирования по всем таким траекториям ингерференционный член обратится в нуль. Для траекторий с самопересечением ситуация кардинально меняется: каждой такой траек- 6 торин можно сопоставить две волновые функ- Рнс.
233 ции, соответствующие различным направлениям обхода замкнутой петли — по (кривая т') и против (кривая 2) часовой стрелки, как это показано на рис. 233б, представдяющем собой горизонтальную проекцию петли. Если длина петли меньше длины сбоя фазы, то интерференционный член не будет равен нулю. Это означает, что в отсутствии мам нитного поля вероятность попадания электрона в т.
А' увеличиваегся, а значит с большей вероятностью он там рассеивается. При этом сопротивление пленки также увеличивается. Наличие магнитного поля, пронизывающего петлю, приведет к появлению разности фаз б„=Л„(у) — Л„(2) =т ~ т,((+в ' г~ й,(1= Ь сЬ х(б) + 2а Ф б(()) 4 2 2ЯФ сЬ Фо ' где А — векторный потенциал, причем $ йчЛ = Ф вЂ” магнитному потоку, пронизывающему нить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
