Овчинкин часть 3 (1181127), страница 85
Текст из файла (страница 85)
е. половина. Таким образом, в силу симметричной формы спектра ер — — О, откуда сов/гул = О, Кр = л/2а. Ферми-поверхность в 1-ой зоне Бриллэюна имеет вид двух параллельных плоскостей (в одномерном случае — две точки). 3.371 Решение. Из уравнения р„= еЕ следует дб Еза . еЕа откуда с учетом х = е и о = — = — — з!и — (( — /о) получим др, 6 6 Юаа ~еЕа(à — Го)1 х(() = хо+ —. соз ~ еЯ ~ 6 Таким образом, электрон осциллирует около равновесною положения хо с частотой оу = еЕа/6, и средний ток равен нулю. Причина этого состоит в том, что кинетическая энергия 8о соз (ага) является ограниченной функцией 6 . В результате движение электрона в поле с потенциальной энергией (/(х) = — еЕх ограничено конечной областью (вследствие закона сохранения энергии).
Очевидны равеншво нулю средней скоРис. 223 рости (~~„ = 0) и ограниченность ко- ординаты (х = х„), что легко определить но виду и(/) и х((). На рис. 223 изображена зависимость /г (/). Ускоряясь, электрон достигает границы первой зоны Бриллюэна, отражается и оказывается в эквивалентной точке кх = — л/а. Далее картина повторяется. Подсчитаем, например, частоту и амплитуду осцилляций электрона г3х по медному проводу Е = — 'Р 5,7 10 Е ед СГСЭ = 1,7! ° 10 Э В/см; го = ~ а 7,8 104 с 5 6 Так как ЬБ = 28о, то Ьх — — 1,5.
1ОЗ см = 15 м. ~Ы 2еЕ Это явление крайне трудно наблюдать, так как Лх ж Л (длины свободного пробега), даже в самых чистых образцах Л ~ 1 см ~еа . 8оа еВ 3.38.с = —;н =гг =0;гг =о =0;О х 26' у у х г * у 3.39. еу —— бо, рв[110] = — — 1,48 —; т2х6 6, 3 а а' рг(111! = т/3 — агссоз — ж 1,46— 6 2 6 а 3 а 6 ЗАО. шг =— бог 393 3.41. он[100] = —; он[1!0] = )] — —; па[111] = ) — —. бва (3 бза /5 бза Ь " 2 Л ' " 3 л 3 42 / ' У 0' 8 28о' фаз» 45 66 3.43! Ы = — = 5 эВ. ул«а Решен ие. Согласно закону дисперсии 8 (К) = бо (3 — соз /г„а — соз к а — соз к,а), «Потолок» (максимальное значение энергии) зоны проводимости достига- ется в углах зоны Бриузлюэна при К = ш — "; ш а; ш — ', а «дно«(минимальа а и а' а' а~' нос значение энергии) — в центре зоны при К = О.
ри этом Йщ 68о, Юаав = О. Ширина зоны /!»б = 8», „— 8м!в = 68о. Вблизи дна зоны г»»+/«у «-К» Еза 4 2 2 Лг здг и таким образом ш = т = , откуда 68 = — = 5 зВ. бза ул«а Отметим, что эффективные массы молгио было бы вычислить и непос- редственно из закона дисперсии (см. задачу 3.34) — ! г = — Т, где!=»,у,г. ' ~',) Следовательно, эллипсоид энергии здесь является шаром Гя,.е' ЗА4.
Т" = ~~ 3,3 К для Св и 1,5 К для )»)а. 24л св 3.45. В расчете на 1 атом: теплоемкость решетки с (Т) = — /гн 5 [О~' с „в(3 К) = 6 ! 0-4 ан, с „а(ЗОО К) = 3/г .. Электронная теплоемкость (в расчете на 1 атом): с.„(Т) = ~ л ) '; с, (3 К) 2,32.10 4/»н! с,л(300 К) = 2,32 10 г/гн. г г 3.46. С = уТ = — ' /Ул 5 !0 эрг/(К моль); т /»БТ З зт К (бпгп) з/з 2зп з/зв 2ул 2 1 10з см 6 з 3 47 8 = у -т-' — 654 = 330 К. /«в«уз« гг з,з ЗА8. ег —— — — 7, 05 эВ, где А = /«в/Уд Ср»Т» СргТ1 1',Тг — Тг 3.49. Т= 3=0144К Ал„+ Ад 3.50.
Тг = 6,4 1О К. ~13 3.517 т.ж ~ — — 1 = 86 А, ев — — — (12иг)~13 7 эВ, где 13 ~~Тй~ 23иа 4 4А рл'л а Решение. В металлах возбуждаются лишь те электроны, энергия ко торых лежит вблизи энергии Ферми. Если к)(еу) — плотность электронных состояний, т. е. число сосшяний, приходящихся на единичный энергетический интервал, то обратная ей величина 3Зе = Мер, есть расстояние между энергетическими уровнями. В объеме Р одновалентного металла содержится М свободных электронов, которые размещены по энергетическим уровням вплоть до энергии Ферми.
Из выражения для е. следует, что откуда легко найти плотность состояний вблизи уровня Ферми: .~312 а:т' 1' (гщ ) Нг 3 Л' к)(еу) = — = — — 2- еа 2. 18 1 2 Из полученного выражения находим "~~ з 3 Л' 3 ибз' где и — концентрация электронов, равная 4/а, Т. — линейный размер криз сталла меди. Условие, при котором дискретность уровней еще не сказываетсв на удельной теплоемкости, довольно очевидно: 226 КЯТ, откуда следует ответ задачи -(-: ( = (-.3) Постоянную решетки можно найти по формуле а= — =362А. ' рл'л Энергия Ферми не задана в условии задачи. Поэтому вычислим ее: ег= — (Зли) = — 2(!2п ) =73В, 3 2 2/3 3 2 2/3 2т гша по совпадает с табличным значением еу, 400 Окончательно получим размер кристалла меди, исходя из вычисленных нами данных пз 16 )хт) х .(Г б .
Э по 3.521 р(х) "ехр ~Х вЂ” ~, где (ту = ~~ — — —, р7(е ) = — — — плат(тя ~ 4к! Э(ек) 2 ег ность состояний на уровне Ферми, ло — равновесная концентрация. Ран~ение. Распределение потенциала внутри проводника описывается уравнени- Д ем Пуассона Лр = 4пе(а — п,)(е, ) н ° (х) где е — диэлектрическая проницаемость, возникающая за счет электронов заполненных зон (т. е. всех электронов, за исключением электронов проводимости). В сосхоянии термодинамического равновесия двух хел их химические потенциалы равны, т. е.
ц)(Р, Т) = цз(Р, Т) Однако, при наличии электрического потенциала роль р начинает играть другая величина н+ (1 = р — е~р ю Р, называемая электрохимическим потенциалом, и тогда условием равновесия является Г = сапз1 (рис, "е 224). При плавном изменении потенциала р(х) на рассхояниях порядка постоянной решетки можно считать, что дно зоны проводимости, соответствующее в эюм приближении потенциальной энергии электрона, Рнс.
224 меняется от точки к точке, т. е. зависит от координат, и в результате р = р(х). Если изгиб зон мал, то и — по — — Лн — Лр = — е р(х) = х.)(й)ер(.х), г(а Ии к-- ' (р хгде Я(р) — плотность состояний (на единицу объема> вблизи уровня Ферми, Будем полагать, что х)((х) Ю(еу) = — = — — (см. задачи 3.17 и е'а 3 ло Нег 2 ег 3.51).
Здесь н = н(.х) — локальная плотность состояний, по — равновесная концентрация при х -+ м. Подставив это в уравнение Пуассона, получим г ЛР = — В(еа) Р. 4ае е Решением этого уравнения является функция ~р(х] ег ехр (и/ 401 с ир (4,3 10 ч см для металлов, тр т 4яе Э(яр) 'бяе ис (1,6 10 ~ см для полумсталлов. Заметим, что в металлах /тр па — постоянной решетки, т, с. внешнее ста- тическое поле практически полностью экранируется на расстоянии одной постоянной решетки и внутрь металла нс проникает.
а 354. — = — — — 2- — 4,6.10 и 4яс/ рле з.бб'. Лр 10 мВ. '/ /ср1.е Решение. Контактная разность потенциалов Лю связана с разными начальными положениями уровней Ферми (относительно уровня вакуума> в контактирующих объектах, С уменьшением размеров кубиков расстояние между одноэлектронными энергетическими уровнями увеличивается. В предположении постоянной электронной концентрации это приводит к повышению уровня Ферми в ма- леньком кубике по сравнению с его положением в «массивном» металле. Что- бы оценить величину Лср такого повышения, заметим, что полное число сво- бодных электронов в кубе размером 1, со сферической Ферми-поверхностью определяется количеством ячеек объемом (2п)3 в /с-пространстве и равно )(/ — (/срЕ/2я), где кр — это величина фермиевского волнового вектора.
При- 3 веденное выражение справедливо в пределе /ср6- «, При конечной величине /ср/. число электронов определяется количеством точек с координатами, крат- ными (2п//), в пространстве волновых чисел. В этом случае -( — "'('- ('— '"(' где поправка, пропорциональная а 1, связана с «целочисленными» точка- ми, расположенными в координатных плоскостях пространства волновых чисел, а также с «цслочисленными» точками, ближайшими к поверхности Ферми-сферы, но не попавшими «под» нее. Отсюда для концентрации элек- тронов л = л//13 получаем п кр(1 — а/(/срь) ), что при /ср/.ж'1 дает /ср(1) «с п~~ .
Полагая а = солса и учитывая, что энергия Ферми 43 1 р (2 а/3) ар(236 ер «с /ср, находим 2 ер(/ ) + 2а/3 ер(««) /ср(с«)1. откуда при ср -1 эВ, /ср-10" см ', /.= 10 ~ см следует ! Яр /ррр— в — (е (6) — е,( )) «е -10мВ. е /се/ е )/3 .й ! /') 3.56'. — = — = 2; полное отражение будет при угле падения в)л аз л! электронов ф = 30' из среды с показателем преломления аз > л(. Р е ше н не. Будем считать, что контакт металлов осуществляется во всех точках соприкасающихся поверхностей (это требует высокой точности обработки). Тогда контактная разность потенциалов будет приложена между свободными концами. На границе раздела возникает скачок потенциала изза перехода части электронов из металла с меньшей работой выхода в металл с большей работой выхода, Этот скачок потенциала произойдет на рас- Р стояниях порядка 1ту < а — периода н! решетки (см.
решение задачи 3.52) Величина скачка находится из усло- и вия равенства электрохимических потенциалов )ь) — ер) — — цг — е рг, где р) Дно зоны 0 проводимости и рг — химические потенциалы после перетекания заряда. Доля перетекаемого заряда ничзожно мала (см. задачу 3.53). Поэтому )г) г —— ек г. Таким образом, энергетическая диаграмма металлов, находящихся в таком контакте, имеет вид, изображенный на рис. 225, где ноль отсчета потенциальной энергии совмещен с дном одной из зон проводимости. е ( р) — рг) = () = рг — н).
Наличие скачка потенциала приводит к силам, перпендикулярным поверхности контакта. Эти силы меняют нормальную составляющую скорости электронов, преодолевающих барьер, но не меняют продольной составляющей, т. е. е„) з1п а) = еуг з1п аг откуда получаем закон преломления для электронов нз иа а1 этз лг — = — = — = 2. з)а аг тш а 11 Таким образом, металл с большей фермиевской скоростью является «оптически более плогнымь.
Следовательно, полное внутреннее отражение наступает при падении электронов на границу раздела из металла с большей кон- 1 центрацией электронов при угле аг ж ф = асгз)п — = 30'. 2 3.57. Вводя углы падения и преломления р) и рг с1я р = —, получаем ,)' закон преломления электронных волн на межкристаллической границе зьч Ч ) Ч соз 2Фг 1шт з1п ег соз 2р1 ш* При малых углах падения и преломления — = ")) —.
Шг ()(тнП тш т, Ьр ! И.(то) ! = )лр...(т>) + йр....(тг) ! = = )ло(т>) — л (т,) + л. (т,) — л,. (т,) ~ ' = ( (л,(т,)— 1 -Л (т,) ! — (Лз(тг) — Ав(т,) ! ~ = ! (и.(тг> — и.(т>) ! — (рв(тг> — не(т>) ! 1 металлов при любых температурах Т >»(Т) — р(0) ог Поскольку у К„т ог т квт г ег г г Т),то яАБ г бее (точный результат, как будет показано ниже, равен г г г! Тг Т> Т,-Т| 1 1 ев л >»Б г г где (= —. Таким образом, считая ггт = Тг — Т, «Т>, полУчасм бе (т, бт> — т, г г 2Т . ьт ьт и Тогда В(то) 7'о = — - 75. б(ти,> тн, Решен ив. Приведем схему термоэлемента. Это кольцо, спаянное из двух разных металлов. В отсутствии тока термоЭДС возникает между разрывами в одном из мехаллов (рис.
226). При этом предполагается, что температура концов разрыва одинакова (ответ не зависит от конкретного значения То). Появление термоЭДС обусловлено различием элсктрохимических потенциалов в двух металлах, и поэтому при уст г тановлении электрического контакта электроны И начнут переходить из одного металла в другой. В области границы возникает двойной электриб Е ческий слой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
