Овчинкин часть 3 (1181127), страница 81
Текст из файла (страница 81)
373 2.28'. Ре ш е н и е. Будем следовать обозначениям задачи 2.24, где под а понимается расстояние от К+ до Вг, т. е. постоянная решетки КВг (или ребро элементарного куба> равна 2а, тогда Г4(М Ч-т> б 8.10-з,м. Р х = асо х! = 2,12 !О см(с, где М =Мв„т =Мк, со„, „= ~-~ Г м Гг максимальссая частота на акустической ветви (при К = л(2а). На акустической ветви при К вЂ” » 0 со(К) т> т аК = зК. Отсюда сле- Г гг ХМ 4-т дует 5 = >( т а — а >( —" т< = асоаах )< = 2,12 10 смс'с. (М+ (М (<М+т мах 2.29.
со = 2ло — )!Š—" =2 10>З с ', о — 3 1О'грц, и — масса атома т меди 2.30. — = — )<18 0,01, где М вЂ” масса атома криптона. 8.Г то. ' а =Ел)< 'квМ Приведенный ответ следует из простого соотношения сио»~~4о — кнТ. Бой аккуратный расчет (см. задачи 2.74 и 2.75) дает а лее л - тол = — ),<! 8 —" — 0,01. еа /сам 2.31'. Решение. При поглощении и испускании фононов в процессе неупругого рассеяния нейтрона энергия колебаний атомов кристалла изменяется на величину, кратную йсо.
При этом нейтрон получает или отдает порцию импульса ВК, где со и К вЂ” частота и волновой вектор соответствующей бе~ушей волны (фонона). Пусть вначале в кристалле находилось лн, фононов с частотой сок, и поляризацией ж а после рассеяния л'к,. Тогда б =4»+йсок (нк — л к ) р' = р+ йК(в>с,— н'>с,) + 6 2лЬ' где Ь вЂ” вектор обратной решетки, б' и р' — энергия и импульс нейтронов после рассеяния. Слагаемое й 2лЬ можно трактовать как импульс, передаваемый кристаллической решетке в целом. При этом мы не суммируем по всем К и ж рассматривая взаимодействие только с одним типом фононов.
В силу идеальности газа фононов перераспределение энергии и импульса между различными фононными модами не происходит. Рассмотрим как упругие, так и неупругие процессы. 1) Бесфононное упругое рассеяние нейтронов (брэповское рассеяние); < Д' =Д Векторная диаграмма этого рассеяния изображена на р' = р + игл Ь.' рис. 214, откуда получается условие Брэпа †Вуль 2р з!и Е= глйе= — 8 или ). = 2а з!и Е. гл а 374 2) Однофононное рассеяние К 5 р' = ржйК + 62яЬ, где знак» +» означает поглощение фонона, а знак « — » — непускание.
Задавая 8 и р и измеряя 8' и р', мы однозначно определяем лК и лсок,, т. е. находим «точку» в фононном спектре. Меняя энергии падающих нейтронов и направления приема рассеянных нейтронов, мы находим много «точек» и восстанавливаем спектр. 3) Двух- и многофононные процессы рассеяния. Здесь нужно учитывать как возможность поглощения (испускания) двух и более фононов с разными квазиимпульсами и поляризациями, так и возможность поглощения одного и испускания друсого. Тогда 2ятсЬ ! К 5 К 5 р' = р ~ йК йК' + й 2 где знаки»ч» и « — » определяются, как и в случае 2). Из этой системы нельзя однозначно найти К и К', сок, и шк, „, т. к.
неизвестных болыпе, чем уравнений. С точки зрения постановки эксперимента запишем РЕ с — К, 5 — ~ш ~~~ — К), сг Ряс. 214 Здесь мы исключили К' и воспользовались периодичностью шк,. шк 2 в — — шк. ПосколькУ К пРобегает все зна <ениа в 1-й зоне Бриллюэна, то в заданном направлении р' вылетают нейтроны произвольных энергий. Это дает фон.
На рис. 215 изображена соответствующая экспериментальная зависимость, Пунктиром изображена ситуация с бесконечным временем жизни фонона. Уширенные максимумы возникают из-за не- идеальности газа фононов и соответствуют конечным временам жизни фононов. Число отсчетов Приведенное рассмотрение соответствует квазичастичному подходу. Однако возможно рассмотрение этой задачи как зада- 1 1 1 чи о рассеянии нейтронной вол- 1 ! Фов ны на решетке атомных ядер.
Тогда приведенное выше в 1) решение соответствует отражению нейтронной волны, в 2) ко- Т' Т герентному рассеянию нейтрон- Рис. 215 ной волны, в 3) некогерентному рассеянию. 2.32" СС вс Т Ст сс Т Ре шеи и е. Энергия колебаний решетки, которую можно отождествить с понятием «внутренней» энергии решетки (1(Т), находится суммированием энергий всех возбужденных фононов (см, задачу 2.23). Эта энергия есть 375 функция температуры. Тсплоемкость решетки С = .
Переходя от сум- «В(7') «Т мирования к интегрированию, мохсно записать: ()(Т) = ~ Яшкин «»с(к = ~ лсс» п(о») «М(со), где пк гв»с(о») — среднее число фононов, имеющих частоту а», . Число различных мод колебаний (число осцилляторов) равно «Ук «л, =«)ск=р сск где р = (1, 2, 3) — число возможных поляризаций фононов (нормальных коЛЕбаинй), «Ук —— (2«К, 2тСК«К, 4ЛКт«К) — ЗЛЕМЕНтаРНЫй ОбЪЕМ К-ПРО- странства в одно-, двух- и грехмсрном случаях; стк — объем К-пространства, приходящийся на одно состояние фонона.
Очевидно, что (2я) ((к =— Уя где и = (1, 2, 3) — размерность пространсгва. Таким образом, число различных мод колебаний У«Ук «лс =р (2х) Рассмотрим для определенности двумерный кристалл. Полагая, что частога фонона ю=хК, получим «У„= (р=1). Пусть «объема дву2яс» «ы 5 мерного кристалла, т. е. площадь Т.т = 5. Тогда «лс = и внутренняя 5»о «со 2т т энергия кристалла (1(Т) = ~ „ ~ т ~ (з с' т) о еа»аьг ! 2ят В нашем случае низких температур будем использовать модель Дебая. Тогда максимальной частотой будет с»р.
При низких температурах (свТ ~ лс»п и заполнены состояния с частотами с» к соп. Псотому из-за быстрого спадания подынтегральной функции при больших со интегрирование в пределах от О до соп мохсно заменить на интегрирование ог О до сч. Кроме того, делаем замену переменных х = —. Тогда у»со )свт г »»(»с ( 1*'»..., о е Таким образом, теплоемкость двумерного кристалла Ст(Т) = — ас Т . «О г «Т Получим выражения для дебасвской частоты и дебаевской температуры: !Я Цт сорт = 4~4л — ); От — — — ~4л — ) 376 То|да внутреннюю энергию колебаний можно представить в виде 7717) = )Чк)1 — 2) — ' 4,боб )Укв — .
Гн е — 1 о ' пг Следовательно теплоемкость Сг = = 14 424 А1хь' —. Аналогично в одномерном случае гпп1 — — хл — и 01 — — л — (7. — полная длина цепочки). А' йх Ж хв Энергия колебаний цепочки г .г 77(т) = 7чхн ~ = )чан Т гх)х л- 7' 01 З е' 1 6 01 о а теплоемкость л 7' г Сг = — А1ан —. з е,' 2ЗЗ.
ск = — а, — + — ~ — ) — теплоемкость единицы объема. )г ,тМ Решение. Приведенная масса )т= ' аз~и. Поэтому оптическая т+М ветвь имеет практически постоянную частоту ш „, = т727)т сопз), энергия огпических колебаний цепочки ф Х Ь~> 1п о = — лрш ) йт 2 пп' пп' 2 ехр17апа„,,„)хвТ) — 1 где г)72 — число колебательных мод в одной из ветвей одномерной решетки с двумя различными атомами. г Йу,., а.а > хвТ )ехрЯиаа,)авТ) — 1) Максимальная частота на акустической ветви еа,'"ках = у2 1/М. Обозначим Ь»ак = «нй.
Отношение — = )) — = 3, а отношение — '= ЗО и 1. Поаах а~~опт . М, т'"~~с~п а во 2 г,7' э~ому выражение для Соп, можно упростить ппт 2~ а Т) 377 Теперь рассчитаем энергию акустических колебаний цепочки (см. решение задачи 2.32) г г Ь(/свТ) х с/х х пх т кк о о Заметим, что в дебаевской модели вводится некая предельная частота сор звуковой аппроксимации реального спектра. Ей соответствует дебаевская температура О/г Выразим скорость звука через дебаевскую температуру Оп, полагая в соответствии с условием задачи Оп О, введенной выше: л ЬБОЬ2сс хвога Осо~ — — 83Кп — — Ьх — = /свО/в откуда х = 2а яЬ хЬ Кроме тоцк длина цепочки б = Ь/а.
Таким образом, 33//свТ ак 120 и Искомое отношение геплоемкостей г 2.36. Полагая, что при Т ~ 0 теплоемкость металла имеет вид С(Т) аТ + ЬТ, определим Ь. Тогда О =  — 195 К. 3 3Г234й Ь г 103 2.37. х = — ! = 2,7.!От см/с; О = — х (бпг) '/3 = 286 К. Л 1 5с ' ' /сьа 3 ~1/4 2.38. 1)Т=Т, 1+ ч Ь ( — 1 ) =4,86К, ДТ=0,66К; 3х НТо '(То) 2) дТ раб 4 2 10-4 К 3/1 14 2.39. т = — 3 — ~ — ) 0,038 с. 78/свсс/Са (То' оо с/ 13 ' ~( ь) л„се„) 2 41 1 — 3х ~ (Т4 Т4) 54„0'а 2.42. — = с/ — 1,6. По табличным данным — = — - 1,73. О„(Л С/ос 645 Ооо !5 Оо, 373 2.43. ДТ = — ехр — — — ехр — = 0,26 К. 2'44 5 = /1 )п (27 + 1) ' 5но = й )о 2' 5лс = 2й )п 2.
378 Энтропия полностью упорядоченного состояния принята равной нулю. 1 ци с„,Р, е т цз 2А6. ОЯ вЂ” -1 — —, — е — ~ 0,125 мкм. Качественная оценка: знерсе(биз) "сз Т ~рлсд~ тический интервал между соседними модами должен быть больше тепловой энеРгии, т. е. Пс3со = Пзс3К вЂ” Ьи — > авТ, т. к. йнΠ— —, то Е< а —,. 1 йх 0 7' , Охи» Ьии». 2.477 = = 0,13. Полагая Едостаточно большим числом и за- Ы»»»а '~и и» меняя суммирование интегрированием, получим = 0,22. (Схиа т )и и Решение. При нулевых граничных условиях (закрепленная граница, т. е.
амплитуда колебаний на границе равна нулю) смещение(7 может быть записано в виде У =Ае о» з(п — п з(п — п ь1п — п, их чу . пи у и 1 г' а частота и-го колебания сои равна 12 Числа и„, п, п, принимают все целочисленные значения э 1. Энергия колебаний в=3 С' и„, и, и, ехр — — ! ьиг где коэффициент »3» — это три независимые поляризации. При больших й сумма может быть заменена интегралом 8(Т) = ~ с(со В(со) п(о», Т) йос, где В(со) = — — -у, 3 Рсо 2 пи откуда энергия единицы объема кластера их„,(Т) = г + Пи)иии иси 379 Здесь со = — (и + их 2 тих 1 х фициента при низких С другой стороны, 8 3 6 ы с(со 3 (~вТ> х с(х з » 3 Р 2 и~и~ е~С»ит 1 2 я»3»х~ оь па+из) „— я ся, О=пса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
