Овчинкин часть 3 (1181127), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Рис, 207 Он определяет не только данную пло- скость, но и все плоскости, ей параллельные. Если плоскость пересекает ось координат в области отрицательных чисел, то соответствующий индекс также будет отрицательным. При этом знак минус указывается в виде черты над индексом: (ЛХ!). На рис. 207 изображена плоскость, отсекающая на координатных осях отрезки 4, г, 2 Соответственно индексы Миллера этой плоскости будут (1 4 2).
Для обозначения направлений применяются индексы, представляющие собой проекции вектора. исходящего нз начала координат, параллельного данному направлению. Эти числа указываются в квадратных скобках: (Лк!). Такой набор чисел указывает не только данное направление, но и все ему параллельные. На рис. 208 изображено направление, связывающее центр координат с точкой А~ —, 1, 1~. Индексы (! ~2' Миллера длв этого направления записываются в виде (1 2 2].
Для направления, связывающего точку с координатами (1, О, !) с точкой с координатами ~- --) †, 2, — — , проекции параллельного векто- 4 !1 3' ' 2)' ра будут имегь вид —, 2, — —, а значит, (1 31 '(3' ' 2) ' индексы Миллера этого направления запишутся в виде [ 2 12 9) . Рис. 208 362 Отметим, что в кристаллах кубической симметрии (простая кубическая, объемноцентрированная кубическая и гранецентрированная кубическая решетки> направление (6И) перпендикулярно плоскости (М() с теми же индексами. Пусть одна из плоскостей проходит через начало координат. По определению миллеровских индексов соседние параллельные ей плоскости отсека- а а а ют на осях координат отрезки †, †, †.
Следовательно, уравнение этих пло- 6' lг' ! скостей будет Лх+ ку+ 1з = а. Из эзого уравнения находим искомое межплоскостное расстояние. а ацтг'7 а а 2.6. 1> г(, = а, а' = , а'>> а а а 2>а>ос= — Вью=- аы>= 2 т2 293 и а а 3> А>оо = — г(из = А» > = „ 2 гт2 ч3 2.7. Л вЂ” 0,147 нм. 2.8. а = 0,628 нм. 2.9'. а,яш = с = 2,393 А. Р е ш е н ив. Волновой вектор К падающего на кубический кристалл излучения имеет направление, параллельное оси х, т. е. (! 00) (см.
решение задачи 2.5>. Таким образом, сам век~ар можно обозначить как 1с = к(1, О, 0), где к = 2л>Л = 2птгс. Вектор К' рассеянного излучения имеет направление (122). Легко понять, что К' = — К(1, 2, 2), ) К( = ~К' ~. При брэгговском рас- 3 сеянии первого порядка должно выполняться условие К' — К = гяЬ>, где Ь> — один из трех векторов обратной решетки. Таким образом к' — к= 2 3 Для решения задачи необходимо найти базисные векторы обратной решетки.
При этом следует определить базисные векторы а>, аэ и аз примитивной ячейки прямой решетки, построенной на базисе элементарной ячейки гранецентрированной кубической решетки (ГЦК> с ребром а. На рис. 209 показаны элементраная ячейка ГЦК решетки и примитивная ячейка, построенная на векторах а>,аз,аз Сами векторы могут быть записаны так (1,>,К вЂ” орты осей координат): а, = — '(1+1) =-'(1, 1, О); 2 2 аэ = —" (1 + 1с) = — (О, 1, 1); 2 2 а, = ' (1 + К) = ' (1, О, 1). 2 2 363 Углы между векторами а<, аз и аз равны бО'. Базисный вектор обратной решетки Ь! определяется по формуле [азаз! !азаз! Ь,= <ааа) Р где смешанное произведение векторов <а,азаз) равно объему примитивной 2 ячейки.
Вычислим векторное произведение: [азаз) = — (<+1 — К). Резульа 4 2 тирующий вектор имеет компоненты — (1, 1, — 1) . Тогда, очевидно, а 4 Р = а!<4, и вектор Ь, имеет компонент а ты — (1, 1, — 1). ! а Аналогично находим и два других [а а,) [а,аз) вектора Ьз —— и Ьз —— с аз <а,а,а,) <а,а,а,) аз 1 компонентами — ( — 1, 1, 1) и й — (1, — 1, 1). и й а, у Интересно отметить, что эти векторы задают примитивную ячейку ОЦК решетки, т. е. прямая — ГЦКР, Рис. 209 а обратная — ОЦКР и наоборот.
Сравнивая направления векторов обратной решетки с разностью )<' — )< = 2лЬ = — [ — 1, 1, 1), видим, что век- 2 3 тор Ь параллелен вектору Ьз, т. е. 2 Ь = 2л( — 1, 1, 1) = 2 «( — 1, 1, 1). а 3 Отсюда получаем 3. зс й = — = —. 2т Нам требуется найти наименьшее межатомное расстояние г<аш в кристалле с ГЦК решеткой Очевидно, оно равно <рис. 209) Возможно гакже решение задачи без привлечения понятия обратной решетки. Согласно закону Брэгга — Вульфа переданный импульс ВК = й(К,— )сз), где [<< и [<з — волновые векторы падающего и отраженного 2л , 2л 2л (! 2 2! лучей. Так как [1<,! = 1<2[ = †, то К, = — (1, О, 0), 1< = †' †; †; — , и, Х (3' 3' 3) ' следовательно, К = — ' —; — —; — — .
Таким образом, направление этого 2л (2 2 2< Х '13 3 3) волнового вектора в решетке есть [1 1 1). Поскольку переданный решетке импульс перпендикулярен системе отражающих плоскостей, то семейство 364 п оследних имеет миллеровские индексы (1 1 1) (см. решение задачи 2.5). Используя результат задачи 2.5, находим расстояние между этими плоское= = .и»и~ х,, К,и,,к а а 2)к! гл ! угол падения ып ~р = = — = . Подставляя это в условие Врэгга— (к,( 1 тз' Вульфа 2с(гйп Зг= Х, получаем = Х, откуда постоянная кубической 2а 1 ~з 3 решетки а = — 2.
Минимальное расстояние между атомами в ГЦК решетке 3 2 г в ьдт 2.10. Скол = «ьт Все 11,33 пРи Т = 300 К кол ьиквт ' «БТ ~2 ПРи Т = 1700 К. г а) с л = КБ — ~ е Я 1«вг = 1.5'!О зlсь (пРиТ = 300 К): б) стол lсп г~~ 0 724«п (при т = 1 700 к), сде е — основание на(с — 1) турального логарифма. г а ) -л'л ЗКБ с«т~ 2.11. Если — ~ КБТ, то с„ Зг Если — кКБТ, то с = Кь (классический случай).
2) а) При Т = 22 К с „0,03(сп! б) При Т=600К с =lспг 2.12! 1, = 1,45. 10 3 см = 14,5 мкм. Сс -~-Я Решение. По условию задачи у = 1,30 =, откуда получим С Сг — — — й. На поступательные и вращательные степени свободы приходится, 10 3 как известно, Ск = 3 — й+ 2 — й = — й. Тогда на колебательные степени 1 2 2 2 свободы приходитьсяС, = — — — ~ й = — й, или по — )и на каждую степень, кол 110 5) 5 5 ~3 2~ 6 Г2 С другой стороны, колебательйая теплоемкость равна (см. задачу 2.10) Я(ег«вт) е ' 5 лс Сс,—— , = — Я, где е=ат= —.
( шиг 1)г 12 Л Обозначая — = х, из уравнения Ск = — й получаем кол 5 «БТ !2 сг — = 0,645 или зй х = 0,775х, е — 1 2 365 откуда х = 3,38. Следовательно, — = 3,38; >. = 14,5 мкм. >х в у 2.14'. М продольных и 2М поперечных колебаний Р е ш е н не, Путь а — размер элементарной ячеки (в данном случае она содержит один атом, т. е. является примитивной> цепочки из М одинаковых атомов. Тогда полная длина цепочки Б= ад>. Смещение лно атома в бегущей волне и„= и е((ь" ""> должно быть одинаковым при переходе от х=ла к х+Тх ркка л е>ка(а+ ч> "о' = о откуда следует, по с(кал = е(хг = 1 и КБ = 2к(, где 1 = О, -ь 1, ь 2, Таким образом, разрешенные значения волнового числа К представляют со- бой дискретный набор значений К>= — х1, где (=О> .81, ь2.
> ( с расстоянием между соседними модами колебаний ЛК = — ~Ж = — Я. Б Другими словами, интервал, приходящийся на одну моду колебаний, равен —. Отсюда следует, что ширина интервала волновых чисел К, в котором 2л Л~и содержатся все физически различные моды колебаний, равна 2п!а. Этот интервал называется зоной Бриллюэна. Пределы изменения К, т. е. положения границ зоны Бриллюэна, при этом имеют вид: — с К ц — (один знак пел х и а строгого неравенства, т.
к. точки — — и — являются физически эквивалентл л а а ными). Число разрешенных значений К в зоне Бриллюэна равно числу примитивных ячеек, т. е. гя(а 2. 2я/А а В данном случае это число совпадает с числом атомов, Для каждого значения К имеется три типа независимых колебаний (в общем случае — с различными частотами); одно колебание — продольное, когда частицы перемещаются вдоль цепочки, и два поперечных. Таким об- разом, число мод поперечных колебаний равно 2М.
Всего в данной цепочке возможно ЗФ независимых колебаний, что равно числу степеней свободы указанной системы. 2.1У. гз (К) = 2)1 т ~ з(п — а, х = а >( т . Решение. Одномерная цепочка одинаковых атомов массой ш изобра- жена на рис. 210. Координата и-го атома х„= ап, смещение и-го атома от- 366 носительно положения равновесия обозначим как и„. Тогда уравнение дви- жения н-го атома запишется так тй„=у(и„,— и„)+7(и„! — ин! или тй„=у(ив,— 2и„+и„,). л-! т и т и+1 Рис. 2!О Решением этого уравнения является функция вида П) и Е/(Ка> — и!) о описывающая бегущую волну.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
