Овчинкин часть 3 (1181127), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Точное значение коэфтемпературах несущественно. 0 приб- О, сх ъг3 — при б б Кроме то!о, в интеграле была сделана стандартная замена переменных зы хтз Е зсо,. тз Е тЗ авт ст)свт т' '" йгт 10а(свт т !О' Таким образом, энергия единицы объема кластера ,4 е(г з 3 О(ат) х ах о ° рю Количество теплоты, необходимое для нагрева единицы объема кластера л е — ! (е) Я~вас = "такласт = ааласт (30 ) Для единицы объема большого тела т акт' т и тогда !2 л, аттафа, зо о 4 ЗО з 1' е) Аи г т 3 ~( 30) т глдл с — ! о В этих интегралах верхний предел можно заменить на бесконечность, а по- скольку езтт — 180 и 1, то зо з З,уе" — 1 Згт х- ~е лхэт(х=143; ~ х= — ль65, о с* — ! !5 04 2 04 2.48; т = !" " ~ = ~- Е'— ~ — 1 1,04 К.
где с — скорость света, а — постоянная Стефана — Больцмана. Ре шеи не. Сопротивление пленки (рис. 216) Ь я = р —. аЫ Мощность, выделяемая при пропускании тока ст и =я.чг=р —,чг. ° г !1 г аЫ Поскольку в условии задачи задана линейная плотность тока ! = сЯтт', то И'= — т .
рзс( г а 380 Отсюда ~'~ = '4 = 0,22. (2тсла 6,5 Если же непосредственно подсчитать сумму всех возможных колебаний, то о!.раничиваясь числами (л„, и, л,): (1, 1, 1); (1, 1, 2); (1, 2, 1); (2, 1, 1); (2, 2, 1); (2, 1, 2); (1, 2, 2); (1, 1, 3); (1, 3, 1): (3, 1, 1) и (2, 2, 2), получаем = 0,13. !стала Мощность, выделяемая в пленке, на единицу площади поверкности раздела (5 = 65) )У р! 5 а И Эта мощность по условию задачи уходит цели- ком в кристалл, порождая в нем поток фононов. Плотность потока фононов у(Т) связана с плот- ностью энергии фононов и(Т) соотношением Рис.
216 у(Т) = ", где 4 п(Т) = = — ~ 1)ю л(ю)гуг)(ю) = ()(Т) 1 У о 13 УЬ ( ы4я ы Ны 3 (Фьр) (х Ых я (4вТ) (2)')."'"вг 1 7 2.' д;2 ~ „, 10 ~Т2 о" Это аналог закона Стефана †Больцма, где под о, — понимается фононная константа Стефана †Больцма, полученная из фотонной константы о следующим образом: 3 с Коэффициент 3/2 введен потому, что у фононов 3 состояния поляризации (2 поперечных и одно продольное), а не 2, как у фотонов. Кроме того, в выражении для константы Стефана — Больцмана 2 4 о = — ~-у — — 5,67 10 5 60х л с.см К на среднюю скорость звука х.
Далее легко следует заменить скорость света с получить ответ: д Та р ао, л йв 2 4 где о = — гЗ 405 Л 1/4 ~х( ) ВВ! Приравнивая выделяемую мощность )Уо, уносимую фононами, к мощности у(Т), получим .г „зг 2.4 Я1 $ пав ч откуда и следует ответ. Однако можно поступить гораздо проще, записав плотность потока фононов (уносимую мощность) в виде у(Т) = о,Т4 5АсывЕ' ! 1/4 Тз + " 7 5 К, /5Т 3 3 К.
5о Е ЬАс„Д Зл р/(Д ( 5/2 4Г ~ 4/Х (х Т5/2 С з/(/(Т),х ТЗ/2 о ( ) - 3,1. 251. т,= 2.52. (/(т) 2.53. ' С4.„ 2.54. и(т) = атт/3, с(т) = — ат4/3, где а = сопя! 3 15 лз см К 382 р вю ДКе 2 1О см/с, — соответствует поглощению 4 2.56. е = — = ш — +— ш /)Ко гш 4 104 см/с, + соответствует испусканию, К, =- 1Оа см З, 8 15 К (см. график в условии, рис. 68). 257. с 40 эрг/(см К), для ее подсчета следует воспользоваться фор- 3, мулой (см. ответ задачи 2.55), где требуется вычислить скорость звука. Ско- рость звука легко определить по графику, приведенному в условии задачи, х = 210 м/с; (в действительности х = 240 м/с) е = 1,б хБТ = ив а'(8К) т ' Б а(г /3) л(3г~) = 1,3 10 5 эрн = 0,62; = 0,30.
з(е) ' ' е 2 4 З 2'58' 5 з з 888 !О эрг/(К г). 2я гьТ 45р3 5 г 259. Ф = о 1 — 1 (Т4 — Т4)А 0,163 1о эрг/с. 2 (з/ 2.60( (2 = 2хлх з)п —, где /з() — энергия фонона, х — его скорость, ив е 2 показатель преломления жидкости, М = Лге/с — импульс падающего фото- на, 0 — угол между направлениями движения палающего и рассеянного фо- тонов. Ре ш е и не. Рэлеевское рассеяние света можно рассматривать как про- цесс поглощения нли излучения фонона фотоном. Запишем законы сохране- ния энергии и импульса, обозначив штрихованными величинами состояние фотона после рассеяния, нештрихованными — до рассеяния, а также угол между направлениями падающего и рассеянно~о фотона О, а угол между на- правлениями движения падающего фотона и соответствующего фонона — а.
йш' = йсзк-8(); ллх' соз 0 = ллх ж ЛК соз а; лй/4' з(п 0 = ж ЬК з)п а. Здесь оз и 14 — частота и волновой вектор фотона, () и К вЂ” частота и вол- новой вектор фонона, и — показатель преломления жидкости. Знак плюс от- носится к поглощению, а знак минус — к излучению фонона. Полагая далее, по импульс фопона ЬК = Ьй/з, исключим из системы уравнений угол а и волновос число Л'. Тогда получим квадра!нос уравнение относительной г г 2 — — — й ж — г — шп — — г в|п — = О. ! л йг 4лый гв 4лы гв Так как го ъ.й и с ~з, то, отбрасывая свободный член, получаем л й = 2/слз з!и —. 8 2 2.6!.
Максимум соответствует рассеянию света на 180 . При этом й = 2/гпз 4лна 7 1 !Озо с-1 14-з/с Л 2.62. й = — 'з!и — 2,8.10!О с 1 или о 4,46 10" Гц. Разрешающая Л 4 способность й = — = — = — = — яе 10 . ы ы 2лс ЬЛ ЬЬоз й Лй 2.63. /(оплеровский сдвиг частоты рассеянного света определяется соотношением Ло = 2о — в!и —, которое может быль получено или из рассмотз с/л 2 рения брэгговского рассеяния на движущейся решетке или излучения (поглощения) фонона фотоном. Здесь Π— угол рассеяния. Из условия разрешения Н = тд/э о/Ло нри т =! получим г/ж 1,1 105.
с 2зл з)п (О/2) з 2.64. х = — йн — Л = 1,2.10, где Л = — — длина свободногя 4 т зз эрг, 1 15 ' гдз ' см с К' го пробега фонона; ь! Л ! см. 2О. !") (") =ЬЬ 2 66 Л(100) — 1 Л(50) 2 2.67. х(0,3 К) = 0,025 Вт/(см К) . 2.68. х — 2,7.! 04 Вт/(м.К). 2.69'. х(80 К) = !0 Вт/(м К). При этом "( = 37,5 !0 5. х(30) Р е ш е н и е. Тепловое сопротивление в диэлектрическом кристалле возникает за счет процессов переброса, когда взаимодействие двух фононов приводит к рождению третьего фонона с волновым вектором К э и/(2а) (этот вектор принадлежит второй зоне Бриллюэна).
Поэтому процессы переброса могут происходить только с фононами, у которых энергия во всяком случае -/спО/2. Всроятность возбуждения таких фононов при температуре Т пропорциональна больцмановскому фактору ехр( — Кпб/2/спГ) = = ехр( — О/2Т). Температурная зависимость теплопроводности определяется произведением двух факторов — теплоемкости (она растет по дебасвскому закону при низких температурах как Тз, а при высоких выходит ~а константу) и вероятное~и процессов переброса.
Таким образом, формиРусзся максимум в теплопроводности совершенных диэлектрических кри- 383 т ° ° л 1 ° ° (> (х> = -ио 2вх пот а В реальном кристалле этот член может рассматриваться как первый член разложения Уа,(х). >и„(х> Поскольку о — »м, то мож»(х но записать Са 2кх о = — з>п —. 2хЫ а Рнс. 217 Действительно, при х~а полух чаем о = С вЂ” — закон Гука.
Кри»( тическое скалывающее напряжение, при котором решетка становиться неустойчивой, соответствует максимуму о, т. е. Са 0 0 ос = — ж — ~ —. 2я»( 2л 6 Здесь использовался случай, когда и А т. е. когда сдвиг происходит в базовых плоскостях. Заметим, что экспериментальные значения отношения о,/С даже для са- мых прочных материалов (сталь> едва достигает 1(>% от этой оценки, т.
е. на порядок меньше. Это объясняется модельностью задачи и неучетом дефектов, имеющихся в реальных кристаллах, з 2.71. = )> — 0,37, где т = 16 а. е. м., М = 119 а. е. м. (х ) сталлов. За этим максимумом, при температурах порядка дебаевской, все определяется вероятностью процессов переброса — в этом диапазоне»теплосопротивление» экспоненциально растет с температурой, а теплопроводность — экспоненциально уменьшается.
При высоких температурах (Т > О) практически все фононы дебаевские, то есть могу~ приводить к процессам переброса, а. значит, вероятность этих процессов будет пропорциональна их полному числу. Это приводит к линейной зависимости теплосопротивления от температуры, так как тепловая энергия ЗМК,Т вЂ” ллгоп (здесь л>, н соответственно число атомов в решетке и число фононов) 270» Р е ш е н и е. В исходном состоянии 1 (в отсутствии сдвига> решетка находится в состоянии устойчивого равновесия (рис.
217), А в состоянии П— в состоянии неустойчивого равновесия. На рис. 217 показана плоскость атомов а В, сдвинутая относительно плоскости атомов А. В силу трансля° ° Е> ционной инвариантности зависиА мость Упот(х) в идеальном кристалле должна быть периодичной с периодом а. Простейший вид такой зависимости 384 2 72 !ю е!х а е — 854 1 3, 10-4 и! Роше н ив.
В длинной цепочке смещение и-го атома описывается в виде иа = А ехр П(Кпа — сз!) ), где К, ю — волновой вектор и частота волны, а — межатомное расстояние. При этом К и ю удовлетворяют дисперсионному уравнению ю(К) = во гйп (Ки/2). Поскольку частота вынужденных колебаний задана, то для определения волнового вектора получаем уравнение з)п — а = 1,00!. 2 Обозначая ехр 11Ка/2) = 2, получаем уравнение 2~ — 2,00212 — 1 = О, откуда Л! 1,0457 Д Л 0,9563 г'.
Таким образом, вычислением получаем К!а = и — ! 0,0447; Кха = и +! 0,0894. Первый корень не подходит, т. к. 1ш К,а < О, что соответствует нарастающему решению. Следовательно, от- ношение амплитуд —" = ехр (УКза) = е ХЛ4 = 1,3 ° 10 аа!зз и! 2.73.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
