Овчинкин часть 3 (1181127), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Подстановка этого выражения в дифференциальное уравнение движения приводит к условию и,>( — >н»~ + 27(1 — соз Ка) ) = О. 2> К а 0 я Рнс. 2!! Фазовая скорость упругих волн определяется законом дисперсии Ки ы(К),Гт Яв 2 К >т Ка/2 нф 367 Из этого условия следует, что отличное от нуля и будет существовать, только ссли частота и волновое число удовлетворяют дисперсионному соотношению тг>2=2.((1 — сов Ка) или о>(К) = 2 )) т ~з!п — . Ка т 2 График этой функции изображен на рис. 211.
Периодическую зависимость с>(К) можно было бы предвидеть заранее: в силу периодических свойств прямой решетки в координатном пространстве должны быть периодические свойства обратной решетки в квазиимпульсном пространстве. При этом «элементарной> ячейкой в К-пространстве, содержащей все физически неэквивалентные значения К, является зона Бриллюэна. Один из вариантов выбора зоны Бриллюэна показан на рис.
212. В области Ка ~ ! (рис 2(2) го(К) 2о т — = Ки ~~ . Так как здесь .Гт Ка ~ т 2 ггг ' ). л а, то это соответствует переходу от дискретной системы к приближению сплошной среды ( в одномерном случае — к струне) . Как известно, в упру- гой среде могут распространяться т звуковые волны с законом диспер- «Ь лт(ы сии го = зК, где з — скорость звука. Сравнивая две записи, получаем выражение для скорости звука, э ~ то есть скорости распространения го о а ' гт -- — — -- — 2( †-«Б упругих волн в цепочке , К»г «Ъ !=а о —. -т гл Кои! Энергия колебаний одномерной О д К цепочки (как и трехмерного криа о сталла), или энергия упругой волРяс.
212 ны, может быть проквантована, как и энергия осциллятора. Квант энергии упругой волны называется фоноггом, по аналогии с фотоном квантом электромагнитной волны, также имеющим линейный закон дисперсии ш = сК, где с — скорость света в среде. Значения волнового числа К, такие, что (К( > ~, не дают новых реше- а ний дисперсионного уравнения. Действительно, ~"»! вгка и откуда видно, что область Ки Е ! — л, л! включает все независимые анапе ния этого экспоненциального множителя. Вычислим групповую скорость упругих волн в цепочке гг, = — = а в — соз — = ясов —. г(о» Гт, Ка, Ка г(К г~ 2 2 В области Ка к! г — х.
На границах зоны Бриллюэна при К = ж— л гр групповая скорость гг,„= О, т. е. волна является стоячей. Заменим истинный спектр колебаний звуковым во всей зоне Бриллюэна. Такая замена должна сопровождаться условием равенства числа нормальных колебаний числу атомов (точнее, числу примитивных ячеек) в цепочке. При М я 1 расстояния между соседними модами стремятся к нулю, и можно считать распределение мод квазинспрерывным. Число нормальных колебаний, лежащих в диапазоне волновых чисел от К до К + с)К (рассматривая только продольные волны) (Л(к = (. = -.
УК А 2г(К Д 2л л Здесь»2» в числителе — следствие того, что мы считаем К я О, но учитываем возможность распространения волн как с К, так и с — К. Исходя из дисперсно~ ого соотношения, найдем 368 с ки .. тхи и -т- сов — и)-у- т! — ип— т 2 сос ! 2 Обозначив максимальную частоту колебаний оси = 2) —, получим . 'с сн 2Ь йо лассма — в реального спектра как Полное число нормальных колебаний цепочки соа Ж= ~ с(сс((в) = ~ = — агсз(п— 2Е йо 2Е .
со о натс вот:в 'оо а о Число нормальных колебаний в испрямленномь спектре в = Кх с(су'(со) = — с(К = — 'йо. л лэ Полное число колебаний в Е г Бв. ст" = — з! исас = лх з лх о Приравнивая полученные выражения, находим лз . л в = — = н в — = — 'сов ж 1,бво. мах а ! лс Процедура испрямленияо дисперсионной кривой называется приближением Дсбая, а максимальная частота — дсбаевской частотой вр. Этой частоте соответствует максимальное волновое число Кр.
всхах Л КР— — — — — — '. я и Тем самым О= — = —,— ивв (сБ 2.(б' Р = — свМцэеьв для К в О, ° Р— 'в Цве ! — ехр(ски! ~ — ссоМЛ(ц е Свг дпя К = О. в 369 Совпадение значений дебаевского волнового числа с границей зоны Бриллюэна наблюдается только в одномерном случае для продольных и поперечных волн и является, по-видимому, случайным.
В двух- и трехмерных случаях этого совпадения нет, но Кп мало отличается от значения н/а, которое служит хорогией оценкой во всех расчетах, проводимых в дебаевском приближении. См. задачу 2.27. Очевидно, что при увеличении температуры растет и энергия квантов колебаний (фононов). Максимальной энергии можно поставить в соответствие температуру (температура Дебая О>, и в дебаевском приближении, когда частота колебаний достигает своею предела йв .„=Овр=яв(!. Р е ш е н и е. Найдем импульс цепочки суммированием импульсов отдельных атомов К-! и — ! У-! хп М !тоМц е-пп!'хп егпка — !гпМц е-г' ! о х — о п=о п=о п=о ПосколькУ пп = п„.к, то ехР((Л)Ка) = 1 и Р = 0 дла всех К пь О. Этот результат вполне очевиден.
Согласно рис. 211 спектр нормальных колебаний четен по К, поэтому всегда есть колебания с К и — К. Особняком стоит точка К = О, которая соответствует движению цепочки как целого. При К = 0 дробь равна Л, и тогда импульс цепочки равен р = — (еоМЛ)цое-™ В цепочке конечной длины при четном числе атомов оказывается, что одно из колебаний соответствует границе первой зоны Бриллюзна К = ~ и и ему нет симметричного колебания с К = — — ' (потому что в первую зону и Бриллюэна включается только одна граница).
Однако это непарное колебание соответствует стоячей волне (О„= О), в которой соседние атомы колеблются в противофазе и импульс цепочки для такого колебания тоже равен нулю. Отметим, что в гармоническом приближении отсутствует и поток импульса фононов, т. е. давление фононного газа равно нулю. Это связано с тем, что коэффициент линейного расширения тоже равен нулю в гармоническом приближении (см. задачу 2.17). При учете ангармоничности зто уже не так.
2.17.' а = — — — — — — — -1О К, где а — расстояние между ато! г)1 о хв пв — 5 — ! 1 П у!и 8 мами в двухатомной молекуле при Т = 0 К, Ю вЂ” энергия взаимодействия, имеющая атомный ( — 10 эВ) порядок. Решение. Потенциальная энергия взаимодействия пары атомов ()(х) возникает вследствие взаимодействия электронных оболочек, имеющих раз; мер порядка а. И само взаимодействие имеет атомный порядок Ю вЂ” !О эВ. Поскольку поправка, связанная с ангармонизмом, мала, то при х ~ и отлов шение — ~1. При этом равенство достигается только при х а, когда о Ьх г тх малых колебаниях уже и речи нет.
Поэтому 8- )ах, но и 8-Ьиз. Для оценки температурного коэффициента линейного расширения и вычислим среднее значение х отклонения атома от положения равновесия, используя для этого функцию распределения Больцмана, которая позволяет учесть возможные значения х в соответствии с их гермодинамической вероятностью 1 "*л г хе (*' ' йх х= (шв !( 370 Вычисление среднего существенно упрощается, если предположи~ь, что энгармонические члены в выражении (7(х) малы по сравнению с (гнТ. Это справедливо при малых смещениях х. Тогда подынтегральное выражение можно разложить в ряд 4 51 зд хе () в г(х тзе т в ~х+ — + — !г(х= — — Уу —.
и „м т г ~'14 т ьх бх Зт'х Ь(авТ) (гБТ (гБТ 4 т Заметим, что при интегрировании здесь возникаю~ интегралы типа ,~чч~~ о г хче чх 4(х = — 1 — Г)у, где гамма-функция Г при и = 1 равна 1 (Г(1) = 1), 2с а при л = 4 она равна à — = — — '".
Первый и третий интегралы в разлш '(2) 2 2 женин равны нулю, как йнтегралы от нечетной функции в симметричных пределах. Поэтому ответ довольно очевиден. Нормированный интеграл тоже легко вычисляется: -Охы.т ( — тыт( ЬХ РХ ~ ( — х(4 Г =~ Б Окончательно получаем — 3Ь Ь х = — 7 ВВТ вЂ” — 7 ЙНТ. 47 Температурный коэффициент линейного расширения а = — —, где 1 г(1 1 г)Т* 1 Ь (гв 8 а' ~ь 1= а + х. Тогда а — -7/гв — -у — у — 10 К ст аа 8 8 Заметим, что коэффициент линейного расширения а можно получить из других соображений Запишем уравнение колебаний ангармонического осциллятора (ц — приведенная масса молекулы) цх = — 27х + Збх + 4бхэ.
Усредняя уравнение движения по периоду колебаний т (О <1 < т), получим по определению среднего и с учетом периодичности движения (х) = — [х(т) — х(0)] = О. Поэтому, пренебрегая третьим членом в потенциальной энергии, получим х = — (х~). 27 При слабом ангармонизме можно (хт) взять в гармоническом приближении (тх ) ЬвТ 2 2 Поэтому х = — -7 «ВТ -77твТ вЂ” 3 Ь Ь 21я х П 4 у 4 ма св ввв 27 Ьт 27 371 2.19. Возрастает в два раза. 2 20 со Я т ! 05,10)г с '. 20 а н(р ) ггот~ ~0,46 при Т =500 К '( г г „е ~3,4 10 4приТ=10К, л — ехр — — ! г г,г 2.22. 1) н(о>о) тге — 1 =4 = 1,51 (при Т =О); н(сол(2) е — ! 2) = 4 — ~ — ке 4е хь 0,027 (при Т = О/10). л(ооо) е — 1 — 5 н(соо)2) е — ! 2.23*.
Т = 1Т 2 1,3 К, б,дт лба/~ьМс Р еще н не. При излучении гамма-кванта одним из ядер !!51п оно полуог чанг энергию отдачи бх —— — -', где М вЂ” масса ядра. Эта энергия перерао2Мс пределяется в цепочке и идет на увеличение внутренней энергии. Полагая, что внутренняя энергия в исходном состоянии пренебрежимо мала, можно считать, что бх = ()(Т). Внутренняя энергия цепочки, связанная с возбуждением в ней бегущих волн (фононов), может быть представлена в виде и(Т) =,'Р Ухоклк(Т), К где сумма берется по всем волновым векторам из 1-й зоны Бриллюэна.
Здесь ик(Т) — среднее число фононов с волновым вектором К и частотой сок, даваемое формулой Планка як (Т) 1 яых ехр — — 1 При й!я 1 спектр фононов является квазинепрерывным и от суммиро- вания можно перейти к интегрированию. При этом ~~Р— ~ йсокпк(Т) с(Фк = ~ асс л(со) ЫМ(ш), К где с(Мк и с(М(со) — числа возможных мод колебаний (число осцилляторов) в интервале от К до К+ ЫК и от ю до со+ аю соответственно.
Учитывая продольные и поперечные колебания и тот факт, что с()Ч(со) = с)Мк, можно записать (х), 3 б 24'К ИМ(со) = 3 2я ят где коэффициент 3 перед формулой означает, что одной и той же частоте колебаний соответствует три «поляризации» вЂ” одно продольное колебание и два поперечных. Таким образом, о 372 Максимальная частота — это дебаевская частота сап. Обозначив х = —, Воз гьТ' получим г ерт )- — "'~ — "') 1*,'*. ое где дебаевские температуры О = — = — '= 100 К. Предполагая, что Т к О, Бгао Л5е «Б ааь получаем 33(. ~гь7' х Их 33). ББТ' х Япахь 2 ,Бг г 2 и(Т) =— Т, ят Л а' 1 пх А б 2))х о откуда и предположение оправдано.
, г 2 24., 2(К) = — — (") —,,—, где и = 2 '( „1 4Б(в Ка тМ вЂ” приведенная мас- М ч-м са. График дисперсионной зависимости ш(К) приведен на рис. 213. Максимальным значением волнового числа К „= я/2а ограничивается фононный спектр, т. е. (к ( к я/2а, ки „соответствует минимальной длине волны На нижней ветви (см. рис. 213) в области (Ка( ~ 1 частота ю аа К. Эта ветвь 7 — птнч графика называется акустической.
Верх- ветвь няя ветвь носит названия оптической. Та- 2 а ~н кое название обусловлено тем, что указан- 1 ные колебания в ионных кристаллах (см. 1 задачу 2.25) могут возбуждаться внешней электромагнитной волной (обычно инфрак,«ес" в 1 М расного диапазона). Здесь при К = 0 1» ю = тг27))г ~ О. Между ветвями существует «щель» — область, соответствующая нерас- 0 К прост раняющимся (затухающим) волнам.
2« П\ель исчезает при ~ — 1. При и = М пе- Рис. 2!3 М риод цепочки скачком уменьшается вдвое, <ог(К) = — у (1 — сое Ка) при 27 и закон дисперсии становится таким: !Ка ~ ж я (сравнить с зад. 2.15 и рис. 212). 2.25. а(аа) = ~ ~ — ( — сот( 2.26. — ' аеааь. СИ.Б иааф 2.27. „=2 "т; КО=В.Г 'М а = 2,018.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
