Овчинкин часть 3 (1181127), страница 84
Текст из файла (страница 84)
я,оя Ф Ь 4 А ге 3.19*. Решение. Электростатическая энергия распределения зарядов с плотностью р определяется как и = —,' ~ р р (У. В случае равномерного распределения протонов по ядру плотность заряда р = ~' = Ае, Здесь У = л/( = „,,А обь 4 3 4 3 У 2У 3 3 ем ядра. Потенциал внутри равномерно заряженного шара ,р 2е (3/(2 „2) 2Д Поэтому интегрированием легко определить 3 Л > 3 (2е> Рис. 220 При неравномерном распределении протонов радиус нейтронной сердцевины находиться из условия У ятр У/2 или /(я „-, = Я~/2, и мы имеем 2е Яе заряженный сферический слой с плотностью ро —— — — — — — — 2р.Позен- 1 ярат 1/2 циал внутри этого слоя 4л (г)=3 — — — уг Яе Ее 2 Ее Я д Соответственно электростатическая энергия г 2 391 пуг 1 9, 10->9 с„з 1 19, 103 бн т Аналогичную оценку для сечения можно получить, применив формулу Брайта †Вигне для неупругого процесса.
2 3.18. (/ = ар+ 8, = — + Вся — 40 МэВ (см. рис. 220>, где рр= Таким образом, выигрыш в кулоновской энергии При равномерном распределении протонов в ядре импульс Ферми определяется из условия !' 4 з / 3А !'/з А = 4 7 — лР~Р, откУда Ру — — 2пд ~— (2л6) '!16ЛУ! Кинетическая энергия ядра при этом 2 8~ = — Аег = — А —.
зан 3 3 Рь 5 5 2ш В случае неравномерного распределения нуклопов А У/2 4 з ~из = 2 у ар~ус откуда Руо = 2пб ~ 2 !2лд! 3 '!вяжи'/ т. е. Рте — — 2 Ру, а кинетическая энергия 2 52ш 5 2щ Таким образом в кинетической энергии есть проигрыш д Р дяллл 3 Ае !22/з 1/ 10,! !мэВ! г Отсюда следует, что равномерное распределение нуклонов в ядре энергети. чески более выгодно, поскольку сравнивать надо полные энергии 1зл! = глялл» вЂ” 8перллл = 0,075А5/З вЂ” 1ОА = 0,075 А5/З 1 — !МэВ!. 0,075А Эта величина положительна при А и (!33,3)з/~ — 1540.
Таким образом для всех реальных ядер равномерное распределение нуклонов в ядре более выгодно. 3,20. О . = 2 агссоз — = агссоз 0,242 152'. Рг Л11Л 1И С г ;Л„, тт кр 2 3.22. Р= — пв = —" (Зпз!2/Злз/З 3 84 !О!! дин/смз 3 79 !05 атм; 5 5т — ! 3.23. з = ~ = 1 !5,5 м/с. т'3 3.24. и — и Еу 10'здин/смз 1О" атм, где еу — — 8л; 3/2 и, — у — 7 —, р=пст О,бг/см . 3.
~б 392 3.2Ю." Т=г 10чК. Р е шс н не. Температуру в центре звезды можно определить из условия равновесия. Гравитационному давлению противостоят давление равновесного излучения и давление электронного газа. Рассмотрим сферический слой радиусом г и толщиной с)г. Оказываемое этим слоем давление на нижние слои свггрвв М(г) г)М трав ° ! 2 2 г 4хг Используя граничное условие на поверхности звезды Рг„,(Я) = О, получим и 4 3 2 2 еиг р (4хг с)г р) Р,,(0) = 1 2 = и 7 (рй) = 1,4 !О дин/см~. Концентрация электронов в звезде и = — Р— ~=-Р-= 3 102л см-3 Атр 2тр Энергия Ферми этих электронов 2 Бр —— — (Зиги)2)2 1,2 !О в эрг= 7,5 кэВ.
гт, Соответствующая ей температура вырождения Тр — — —" — — 0,87 )ОБ К. )са Предположим, что температура в центре звезды Т > Тр. Тогда давление электронного газа можно подсчитать по классической формуле (давлением ядер можно пренебречь, т. к во-первых с»1, а во-вторых тепловая энергия )с Т вЂ” 0,1 МэВ, что недостаточно для вразвалав ядра на нуклоны) Р„= и)сБГ Условие равновесия Подставляя численные данные, получим 1,4.!ОХ2 = 7,56.10 сЭТ4 + 4,14 1022Т Решение этого уравнения дает температуру в центре звезды Т = 2,07 1Ор К, и таким образом предположение о том, что Т > Тр выполнено.
3.26*. Решение, Оценка концентрации электронов М 1 МЯ и,— — ~-у= — —.у. г'га Д трАЯ Расстояние между электронами а — и,')2. Скорость электронов определим из соотношения неопределенностей 8 т,а 393 Энергия одного электрона шв „г дл 2 2 2!3 в = — ''-и —,,— Е Е 2 2 2л44п Давление электронного газа с точностью до козффициснта порядка единицы равно плотнос4и энергии 32 3!3 Гравитационное давление (/ 2 2 в у т= грвв 1, ' /! 4. Из условия равенства давлений Р, = Р,,в следует ) 5/3 4)/ й — — — ~ — 3-3 = СОП3!.
/т, '(А) юг )3 3.27. (/= — псу, где е= — у ~ — ~ =4,42.10 см (ср. с задачей З.З); 39 -3 (/ 5,3 103адин/смз; Р= — = 1,77 1036 дин/смз 1,747 103О атм. 3 3.28. Р!' /3 = сопз! (см. предыдущую задачу). 3 29'. Р е ше н не. Известно, что свободный нейтрон распадается по схеме и р+е +О,+Д, где Ц 1,3 Мэ — выделяемая при распаде энергия (дефект массы). Покажем, что нейтроны, составляющие нейтронную звезду, не подвержены указанному распаду. Количество нейтронов в пульсаре: 43/ — — 1О . При 34 57 в!4 распаде всех нейтронов появилось столько же электронов; 1037, а их конце!и рация была бы порядка л, - - — 10 39 — 3 Я При таких плотностях электронный газ становится ультрарелятивистским (ВГИ твС ).
ТОГДа Ву = Ряг = ЗС (Зязл,) '/3 600 МЭВ. ТаКИМ ОбРаЗОМ, ХОГЯ при распаде одного нейтрона и выделяется энергия порядка 1 МзВ, но проигрыш за счет увеличения кинетической энергии электронов составит в расчете на один электрон величину порядка — а = 360 МэВ. Это и делает распад ней- 3 5 тронов энергетически невыгодным. Можно сказать, что давление электронного газа стабилизируст распад большого числа нейтронов. ЗЗО. — = — — = 0,05",в.
Е 23, 3 8 3.3!. вт = 3 — — 4,1 эВ. Ч32 юв 394 3.32. Решая уравнения движения — = — (мВ); т = —, получаем ЫР е д8(Р) ~й е ' др ( 2 2 2 е ( Ве Ву Вг с 3.33. р =сопз1; р ЕВ (дс(рг2 ) х ' У е '( др Ъ(р,)') х = сопз(; у = сопз1; 2 = др, ( 3.34'. « = «у —— )( — 'ж 1,05 д Лг. 2неа "0,35 р, = сопз1; 1О" см/с; 2«, = соз 6. еН «2,« ( ) (Кв) + дК д ( 01) ( / о/) + 2 дК дК 1 01 у у После приведения этой квадратичной формы к главным осям ферми— поверхность будет иметь вид эллипсоида. В случае кристаллов кубической симметрии эллипсоид вырождается в шар.
Такая картина имеет место при КРЯКВ . С ростом концентрации (и К ) нужно учитывать другие члены разложения и ферми-сфера деформируется (по-разному в разных направлениях зоны Бриллюэна: чем ближе граница, тем сильнее деформация). Рассмотрим предложенный в задаче «двумерныйь закон дисперсии „г 8(К) = . (К'„+ К2). 22« Число электронов, равное по условию числу элементарных ячеек Л/ в объеме кристалла )', есть Л/ = 1 ЫЛ/к = 2 — Х 1 1 1 аК х ВКу ВК,. (2х) и и А„-га К Поскольку спектр от К, пе зависит, то интегрировать нужно по всем возможным значениям К, в зоне Бриллюэна. Если размер элементарной ячейки основной решетки вдоль оси 2 есть а, то — т < К, ж л.
Форма и раза ' а мер ячейки вдоль осей х и у не имеют значения, если только 395 Решение. Ферми-поверхность 8(К„, К К,) =ау представляет собой изоэнергетическую поверхность в К-пространстве, В зависимости от вида закона дисперсии, соотношения Ку и Кв (т. е. в зависимости от концентрации электронов и типа симметрии обратной решетки) она может быть замкнутой, незамкнутой или состоящей из нескольких несвязанных областей. Поскольку зависимость энергии от квазиимпульса является функцией периодической и ограниченной, то существуют точки экстремумов.
В зависимости от электронной структуры атомов и типа симметрии решетки они могут располагаться как в центре зоны Бриллюэпа при К = О, так и в других точках (в том числе и на границе) при К ~ О. Вблизи экстремума можно разложить зависимость 8()с) в ряд и ограничиться первым неисчезаюн(им членом. ь,. =/я„щ,„. в с/К„с/К = 2я/с с/К, откуда ег „/. г /У = 25 2гс~ /с „Ю ) с/Кс = — г — —, /су = ~ — сг. о г Л/а Поскольку объем элементарной ячейки равен по условию 0,85аг, то искомая скорость Ферми сгг — — — — ] — 1,05 10 см/с. бйв Л 2~< и .
шьа 0,85 К„-)- Ку ʄ— Ку созК а+сова а=О или 2соз " Уа соз * та=О, х у 2 2 откуда /с + /су = — ' (! + 2ш) Кх Ку (! + 2сг)' где ш, л = О, зг 1, зг 2 В первой зоне т,л=О, — 1, т.е. Бриллюэна (/с„(, (/с ( а я/а, откуда подходят Кх+Ку=-- а /сх — /су = —— а Таким образом, заняты все состояния внутри квадрата площадью 2лг/аг (см. рис, 221). Для нахождения распределения скоростей на ферми-поверхности в силу симметрии рассмотрим только первый квадрант.
По определению 1 04(1с) т= — —. Поскольку градиент перпендикулярен линиям уровня, то ско- /1 дк рость электронов перпендикулярна ферми-поверхности. Следовательно в нашем случае компоненты вектора скорости электрона должны быть равны. 396 Поверхность Ферми здесь — цилиндр (открытая ферми-поверхность). г 3.35". Я = — л-, см. рис. 22!. а Решение. Поскольку примитивная ячейка квадратной решетки содержит один атом, то число разрешенных значений квазиимпульса в первой зоне Бриллюэна (равное числу примитивных ячеек) равно числу атомов М.
Считая, что зона построена из з-состояний атомов, получаем, что из 2/У мест в зоне проводимости занято ровно половина и поэтому В силу симметричного характера спектра половинное заполнение зоны Бриллюэна соответствует еу —— О. Таким образом, уравнение поверхности Ферми находится из условия ! дд(К) еоа . 1 дЕ((с) ео Докажем это: о = — — = — з!и (с а, о = — — = — з(п (с а. Т, к. х д д1 Я х ' У д д1 )г У д .а + (с а = л, то о = г .
Таким образом, скорость распределена вдоль стог. у ' у х' роны квадрата по закону синуса — она максимальна в середине боковых сторон и равна нулю в углах квадрата. Последннее очевидно. В углу квадрата скорость электрона должна быть перпендикулярна двум смежным сторонам квадрата. Это возможно только для нулевого вектора. Лала 3.36'.
ггу = — 2,3 !О см/с; г~у — — ггу — — О. 6 Ех у Решение. (См. также респение задачи 3.34). В этой задаче рассматривается «одномерный» закон дисперсии а(((с,) = Л соз к,а. По условию каждая из М элементарных ячеек, содержащихся в обьеме 1', поставляет в зону проводимости по одному электрону, т.
е. Л(=2 У~~~~ (Д„дауда,=2 ~ Б„~дх„ (2л) (2л) где 51 — площадь сечения зоны Бриллюэна плоскостью д = сопки Используя вид закона дисперсии (рис. 222), получаем ~ сИс, = — (су — ~ — — ') + л — /су — — 2 ~~ — ку), Рис. 222 Ряс. 221 По условию 51 не зависит от (с, и объем зоны Бриллюэна равен (гь = 31 —. Кроме того, объем зоны Бриллюэна легко вычислить иначе 2л !'„= л, где гг= — — объем элементарной ячейки. Таким образом, под(2л) а Л ставляя все это в (*). получаем т = 2 (" — /су), откуда в одномерном случае лу Фермиевская скорость 2а до ! 4оа — — аз)п к,а~ г дд Ьдд, 1 397 Выражение для /гу можно получить н другим путем. В зоне проводимости для электронов имеется 2М мест, из которых занято 6! мест, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
