Овчинкин часть 3 (1181127), страница 88
Текст из файла (страница 88)
В адиабатическом обратимом процессе энтропия не изменяется (Л5 = 0), поэтому 2 5аааб 5аеразб Я й Т 2ТР коа 2Т" Р г г 3.91. В изогермическом процессе О = Т ~Яа'б — 5"'Ра'б) = 2 = — Т вЂ”,-б — — — — б — — 2,6 10 эрг !см. также решение задачи 3.90.). к Д 2 ! ! 6 3.92'.
Решение. и «4.!О 'бом Обозначим радиус элементарной ячейки через Я. Если и — среднее расстояние между электронами, то 4лФ/3 = и). Поскольку суммарный заряд элементарной ячейки кристалла равен нулю в силу электронейтральности, то мы имеем положительно заряженный шар, в центре которого рао положен электрон. При отклонении электрона от центра шара на него дейсгвует сила, выражение для которой можно получить из теоремы Гаусса: 4! 5 г Е = — г.
Под действием этой силы электрон совершает гармонические кос з г лсбания с частотой со = ')~ —. Соответствующая амплитуда нулевых котд г г тсв 4в 3 .1136 лебаний находится из условия = — Ьо, откуда А = Ъ вЂ . Из усло- 2 2 т тсв 276 27 гв вия усюйчивости Ао < аа получаем а > = —, где гд — боровг в 4лте а 4ла Для концентрации электронов получаем и = — к ! 3 а ский радиус. ж4 10'ьсм з 3.93'. Ю, = — ()(г+ Л, + — ек) = — 15,16 зВ от уровня вакуума, где ег —— = АЮ/2 = 7 эВ.
Ре шеи ив. Считая, что энергия связи обусловлена исключительно иа менением энергии электронов, мы получим, что энергия связи на один электрон составляет 3,26 эВ. Действительно, бсв вв ~ = 3,26 эВ вА 3.94 4с= (~4в(+бсв+ 6г) = — 6,55эВ, где ег — — (блг)иЗ 3 2тса = 2,12 зВ. 3.95.
— = — = 0,126, где ег — — — (бл ) = 3,23 эВ. ав вгя Ь г гд Х лс ' ' гта 3.96'. Решение. Поскольку элементы первой группы имеют валент- ность равную единице, то в первой зоне Бриллюэна занята ровно половина состояний. В силу симметричного вида спектра половинное заполнение соответствует кг — — О, откуда получаем уравнение границ ферми-поверхности; 416 Для элементов первой группы зона проводимости заполнена наполовину.
Поэтому энергия Ферми ск = ЛЮ2 = 7 эВ. Средняя энергия на один электрон в модели свободных электронов составляет — е ° (см. задачу 3 5 -Е З.З'). Разница между энергией алек~рона в атоме и уровнем средней энергии электроРис. 227 на в зоне проводимости (рис. 227) как раз и равна энергии связи. Таким образом, дно зоны проводимости расположено на глубине б = — ~йг + св + -кг) = 3 с св 5 = — (7,7+ 3,26+ 4,2) = — 15,16 эВ от уровня вакуума. Для простоты вычислений в условии задачи задан квадратичный закон дисперсии (модель свободных электронов). В то жс время схема ионной структуры сошветсгвует модели сильной связи (периодический закон дисперсии).
Указанное упрощение незначительно изменяет числовой ответ 4,а соз — = О, ) = х, у, з или l» а = ян, lт а = янн /т„а = я). Первой зоне 2 х ' у Бриллюэна соответствуют значения л = л~ =! = ж 1, и поэтому ферми-поверхность представляет собой куб с ребром 2нйк Таким образом, объем первой зоны Бриллюэна )'=2 ~ — ' =6,52 10 см. 12ч з Н '1 а Для объемноцентрированной решетки первая зона Бриллюэна представляет собой ромбический додекаэдр — правиль- Р ный 12-граиник, состоял(ий из ромбов.
При этом поверхность Ферми вписана в щот много- ~~3 Н гранник (рис. 228). Для данного закона дисперсии скорость электронов максимальна в центре каждого квадрата, а на ребрах обращается в нуль (см. задачу 3.35>. Отметим, что в приближении свободных электронов ферми-поверхность па- рис. 228 трия должна быть сферой.
Экспериментальные исследования, например, при помощи циклотронного резонанса, показывают, что в на. трии она очень близка к сфере, а эффективная масса электрона почти равна массе свободного электрона. 3.9T. Р е ш е н и е. Легко видеть, что в задаче 3.35 существует 4 вектора нестинга с длинами )О) = ъ>2 — и направленным вдоль биссектрис координатных углов, а в ферми-кубе существует 6 векторов нестинга с длинами ~()) = 2 Я и направленными вдоль трех осей координат. Указанные ситуа- а ции носят название полного нестинга. 3.98'. Решение.
Для проводящих тел эффективная диэлектрическая проницаемость имеет вид (см. задачу 3.68> е фф — — е(+ ( . 4хо(м) , где провоз ю 2 димость о(ш) =, ао = —, = еМР, М вЂ” концентрация носителей, т— ою едет о ш время релаксации импульса (время свободного пробега>. Показатель преломления среды г <орт и = ъ'е,~ф = е( 1 + ' от(1 — )отт>3 2 где ш = — квадрат плазменной частоты.
2 4хМе е~ш 417 По условию задачи сот = со г = 10,1. Поскольку сот > 1, то показатель пг*р е преломления дырки и = е( 1 — — ~ . Минимум отражения, естественно, огг г) ' достигается при и = 1, откуда г г сог=аг~ 1+ — = . Т.о, Л(= =2,4 !О'тем З 1( 4не гт', Ог (сг+ !)щ с,ггг 4 хе Конечно, и является комплексной величиной и = по+ гх и поэтому наблюдается именно минимум отражения. Если бы мы имели диэлектрик, то г (по-! ( Л = ~ ~, т. к. х = О. Поэтому при ио — — 1 мы имели бы й = О. В общем '(по+ ! ~ г г (по — 1) +х случае проводя!цей среды Я = , и при ио — — 1 мы имеем минимум. (поь!) +х ' г г' ф 4.
Электроны в полупроводниках и низкоразмерных системах' ) 4.11 1пн Ц 3,5 10 з см. е(БТ Валов Р е ш е н и е. При помещении полупроводника в однородное электрическое поле, нормальное к поверхности, вблизи нее происходит перераспределение электронов и возникает неоднородная обьемная плотность заряда р(г) = е Ьи = е[и(г) — ио[, Это приводит к возникновению неоднороднщо потенциала р(г), опреде- ляемого уравнением Пуассона Чар(г) е Ьр(г) = — — 'р(г) = — — [и(г) — и,].
4х 4хе с с Для невырожденносо электронного газа, подчиняющегося распределению, Больцмана можно записать и(г) = и, ехр — -х~;-, е > О, Б Считая, что внешнее поле слабо возмущает равновесное распределение электронов, т. е. ер(г) ~~)ОБТ, можно записать и(г) — ив ге — — р(г), и Лог )ОБТ г Чгр(г) = р(г). с(ОБТ г) Во всех задачах этого раздела энергия электронов отсчитывается от дна юны проводимости.
41 В Направив ось .х вглубь полупроводника нормально к его поверхности и считая внешнее поле однородным, получим с( (х) 4яг ио г г е(кт ~(х) Решение этосе уравнения, затухающее вглубь полупроводника, — хд е)скт Иг(х) = 'рос * '" где 1пн = )~ 4ке ио — радиус экранирования Дебая — Хюккеля или дебасвская длина экранирования, а р — потенциал на поверхности полупроводника. Подстановка числовых значений дает 1цнее 5 1О см -5 Так как Е(х) = — — ~, го внешнее поле спадает вглубь по тому же закону с( с(х Е(х) = Еое "1 он, где Е, = — — поле на поверхности. оо (он Надо также учесть наличие в невырожденном (собственном) ссолупрсн воднике дырок с концентрацией до = ив (соотношение электронейтральности), и тогда е(вт )ОН = '~ — г — — 3,5 10 ' см.
8ке ио Если рассматривать электроны в полупроводнике как электронную компоненту плазмы, то можно получить выражение для дсбаевской длины экранирования иначе. )как известно, в этом случае существуют собственные г 4яе ио колебания электронов с частотой сог = . В невырожденном случае хао ис,е ~~Б ГГео РактеРнаа скоРость электРонов оо — 11 — (в выРожденном ссо — — о — ). ЗнаЯ с ис, ис, временной масштаб т = —, можно оценить характерный пространственный ! масштаб е8вт 1пн — †")( †у — в невырожденном случае; 4яе ио оо с!от — — = сея 15 а — — ")( — г — — В ВЫРОЖДЕННОМ СЛУЧас. еег 4яе ио 4.2. Ло = — 1: 1 ну = — ф6,9 1Π— 4 ЭВ; и ссс е и г„=и — гп=и 6,5 1О см. 2Еси 2., — 6 ис 4 г 43' Еок= г т' гэк= г' Мок=си +ш, где р= + — прсюе 2е8 ре * иг' .ь ис денная масса.
,г 4.48 оооо = ' - 1,07 1ОШ см-~. 8~ЕТе 419 Решение. Если внешнее электрическое поле Е перпендикулярно к поверхности пластинки, то вне Еп внутри пластинки в с раз меньше (О(в — — Огв — ГраНИЧНСЕ УСЛОВИЕ На ВЕКтОр ЭЛЕКтрИЧЕСКОЙ ИНдуКцИИ 2)), т е. сЕв„= Е. Под воздействием электрического поля электроны начинают смещаться к одной из поверхностей пластинки. Кроме этою обычного потока электронов возникает встречный диффузионный, связанный с избытком частиц на одной из поверхностей пластинки. Этот поток в соответствии с законом бйика записывается как е() —, где Π— коэффициент диффузии заб(п Ых' ряженной частицы (считаем, что все переменные величины меняются только вдоль оси Ох, направленной вглубь полупроводника, нормально к ею поверхности), Далее и везде считаем е > О. Условием равновесия является отсутствие в системе макроскопических потоков, т.
е. У = оЕв„+ е)) — = 0 и, следовательно, в пластинке устанавливается неоднородное распределение электронов. Проводимость полупроводника о = еп(б, где и — подвижность электрона, связанная с коэффициентом диффузии формулой Эйнштейна [для слабонеравновесною случая): еп "=2„Т Подставив это в первое уравнение, получим — пеЕ = )бпТ вЂ”. <1е пх лх' Из уравнения Пуассона 4хЕ 4ке с с следует, что б(Я С -вл — ле =— 4х а'х Перемножая два уравнения, получаем дифференциальное уравнение решение которого и дает искомую концентрацию электронов внутри полупроводника вблизи ею поверхности л = ' = =1,07 10)бом з пав Яв)бвТ Як)бвТс !2 *3 б 45.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
