Овчинкин часть 3 (1181127), страница 89
Текст из файла (страница 89)
л= "=92 10)бом з зйб зз из 4.6'. и = Ц еа)хбг ()б с 0), где статисз ический фактор зоны проводимо- (2 * гвт) сти Д = 2 . Выражение для (1 можно переписать в форме, б з (, (здг з)г удобной для расчетов Я = 2,51 ° 1О ~ — ! — см ~ ш ! '(200) 420 Решение. В основном состоянии собственного полупроводника при Т = О К в зоне проводимости нет свободных электронов. При повышении температуры часть электронов из валентной зоны переходит в зону проводимости. На графике рис.
229 изображена функция распределения Ферми — ДираКа. Прн Е Р/евт ~ 1 У(е) = ехр -Е- ехр ь г Это есть вероятность заполнения электронных состояний в полупроводнике при Т > О. Валентная зона почти полностью заполнена, а в зоне проводимости электронов мало, и они представляют собой практически невырожденный идеальный газ.
Если в зоне проводимости содержится /(/ — — — — — ! электронов, то /у = ~ у(а) дд/(а), где /(/г) — вероятность заполнения состояния с 6~ р О е квазиимпульсом /с, с/г/(/г) — число возможных Рнс. 229 электронных состояний, приходящихся на интервал волновых чисел от/г до /г + г//г. Оно вычисляется но известной формуле ,/д/(а) = г — '--- !'4в/с И (2я) где Ь' — объем полупроводника. При подсчете л/ лучше перейти к энергиям / д ч2е Пределы интегрирования при этом будут (О, Иг), где И" — ширина зоны проводимости.
Для болыпинства полупроводников И' ж 1 эВ, и при комнатной температуре ехр ( — И'/хаТ) ~ 1. Поэтому верхний предел в интеграле можно заменить на м. кдт / а" зд м. ~ ° „., ( ."чп (ъь' „чч Полученный результат иногда записывают и так: //, Т(3/2 Л = 2 Г Ея/4ЬГ Швэ/З = Гт Ея/ЬЗГ 2кб, ~де !2 называется статическим фактором зоны проводимости. Совершенно аналогично можно получить концентрацию лч дырок в валентной зоне (потолок валентной зоны находиться при е = — Л ): Л и = ~ р(е) д/г(е) с/е, 1 где р(е) = 1 — /'(е) = 1 — — ехр — ~-) — вероятность появлеехр — -!- ! И /гь/ с„т ния дырки (отсутствие электрона) на уровне с энергией е.
421 2 "2 ;!.!="' Г-!вв — *! вггх Ь плотность состояний в валентной зоне. Вычисляя интеграл, получаем 3)2 и = 2 — ~ — ехр — П~ — = Д ехр где Д вЂ” статистический фактор валептной зоны. + 47. и п =О О е д)"г= пг, где и =и =и! — концентрация носителей в полупроводнике без примесей (собствешюм полупроводнике), (3 и Д вЂ” статфакторы валентной зоны и зоны проводимости, 73 ь Π— ширина запрещенной зоны. ц(Т) = — — +-)вьТ !и 2) 3 4 Таким образом при Т = О, а также при и!* = т* и Т ~ О, уровень химпотенцнала (уровень Ферми) находится посередине запрещенной зоны. 3)2 '!+33-И+2 т~, >ш„гг 4.9. п = — ив+ 'в — из+и ж иа —— 6 !О см 2 2 . !7 — 3, 2 4 г и = — — ив+ 1) — па+ и ж — '=О 67-!О см 1 2 2 и' 5 — 3 + 2 4 ! и! 4.30'.
Решение. При не слишком высоких температурах переходы электронов осуществляются главным образом с донорных уровней в зону проводимости. и (Т) = и (Т) + и+(Т), где и+(Т) — концентрация ионизованных, т. е. потерявших электрон, доно- ров. Последняя находится следующим образом: и,+ =и„(! — /(8, Т)) = 'вч я » ехр е.т в Здесь энергия донорного уровня 8 = — 84, где 84 ь О. Используя результаты задачи 4.6, получаем я ехр -е — = ц+ехр — и — + 13-ехр ввт Обозначив ев г = х, получаем уравнение в хз -) х2е-вареву е-ввтввг + е а)евт х ехр — = О, пв а, '1 д, ( а,+а'1 ~а ) П ( 3вТ ) 422 Пусть температура настолько низкая, что 84 > хат. Тогда переходы «зона-зона» подавлены и электроны в зоне проводимости имеют примесное происхождение. Следовательно можно пренебречь всеми членами, пропорциональными м ехр ( — Ы)гвт).
Тогда получаем квадратное уравнение Хг + Х Е дд)4»Т Е-д»тхвт О а- Заметим, что это уравнение можно было сразу получить из условия электронейтральности, если в нем пренебречь п»(Т) по сравнению с лд(Т), Решение этого уравнения х = — е дд)"вт+ 1 2 и, 1 1 Ю, 1 При очень низких температурах, когда — > -ехр — , х— а 4 ~ хтт~ пд ( ад ') бд ~,т — — ехр — ~ и н = — — + — 1и — — уровень химпотенциала а ~ гд,т~ ' г г а расположен посредине между зонами проводимости и уровнем доноров (роль велентной зоны «перешла» к донорам),и в этой области температур мы имо ем частичное заполнение донорных уровней электронами. пд 1 Юд С повышением температуры, когда — к — схр — — ", но лд» а 4 ~ 4~;т) а-б,') пд пд » а, .ехР— ~, х — —. Таким обРазом, Р = )ддт 1п — с О, и в силУ г,т 1 = а ь пд вд гого, что 1и — < — + 1и —, )» < — г»д, т.
е. видно, что химпотенциал при а авт 4' повьцпении температуры опускается ниже донорного уровня, что физически означает опустошение донорного уровня — все электроны с доноров уходят в зону проводимости. и (т) = а ..к = пд. из закона действующих масс (или «правила рычага») п»в = лг найдем и, (Т) и пд При дальнейшем повышении температуры уровень химического потенциала опускается вглубь запрещенной зоны и величина х = ев)х»т-» О.
Напомним также, что для полупроводников с шириной запрегценной зоны Л вЂ” 1 эВ при любых разумных температурах е а)Х»т ~ 1. В этом случае в исходном кубическом уравнении можно отбросить хэ по сравнению с ( а — а,( хге дд)д»г, так как )зл'Ю . Кроме того, если п»а ехр —, полуд' ( ), чим уравнение г пд х — — х — — е»т=О, а- а- 423 Л« рещение которого есть х = — + гб>- 4д а ~ еьт) Если — » — ехр — —, т. е.
ла»20 Д„ехр ( — — ) = 2п>(Т) 4Д- Д ~ 1«кт~! Пс (что соответствует не очень высоким температурам>, то х = — и это совпа- 0- дает с предыдущим случаем, В обратном предельном случае, т. е. при высоких температурах, когда 2п;(Т)»пя х — ")( — ехр — —, откуда р = — — + — >спт 1и —, Л 3 (2 ~ Ивт~ ' 2 4 и (Т) = О .х = п>(Т), и мы приходим к случаю беспримесного полупроводника.
Итак, для полупроводника с примесью только одного типа выделяются три характерные температурные зависимости концентрации носителей; 1> «низкие» температуры Т- 0 и (Т) = тли ехр — —,); а, '1 2>«ьТ) 2> «средние» температуры квт ~ 84 Л (Т) = па — — сопз1; 3> «высокие» температуры Л» (пт»ея. ~о - «и = а,'а' ю *. (- — ',) гакт Пренебрегая слабой степенной зависимостью Д (Т) по сравнению с зкспонентой, получаем график!пл (Т) = т> —, изображенный на рис.
230, (!\ ~,т)' где обозначены углы такие, что 13 и = — — и 13 р = — —. бе ге в ге в Т б> а> Рвс. 230 ц'(т> Поскольку л = ', то в тех же областях имеем: и (т>' а — а,!г'1 1> и (Т) =Я )~ — ехр ~— = + 1 и, ~ евт ) 2> п (Т) = ехр (2Д- ( Пе АьГ! ь,ю- а.а ~- — „' ) гаьт 424 4.11. (Р = хрЛ 0,92 Вт. с0а 8ле! 4.12. л = и = — Т вЂ” — — 0,329 1О см, где >г — приведенная мас- (2)где) !7 -3 3 Л т+ са электрона и дырки; ер +ар = Ле, откуда ер — — (!е „= 0,015 эВ; тьтт т е+ = Л4> = 0,025 эВ. р т+ ьт Е 4.14. Согласно условию задачи электрон является медленным, т.
е. да, к'а «1, где )с и )с' — волновые векторы электрона до и после рассеяния, а а — постоянная решетки. Так как для длинноволновых фононов также Ка «1, то закон сохранения импульса можно записать в виде )(=)('ч-К. Угол 9 между р и К определяется формулой К соз,р = ес р (24)' где верхний знак отвечаег испусканию, а нижний — поглощению фонона. 4.15.
рр — — 8 (2лл,) Нт = 8,32 1О 3! г.см/с. 4.16. Л = — 7 ~ ! 4,5 10 ~ см = 14,5 мкм. яре лр 4.17. еы = — 2>едТ!и — '= 0,77 эВ. и ~ 3 ,5,(7> ~ т ~ р ( 3вт Т вЂ” дт~ Выпрямление начнет исчезать при Т >Т* — — 1п — — ~- 490 К. Ре ше н не. Оценим величину концентрации собственных носителей в материале диода (она будет одна и та же как в полупроводнике и — типа, так и р — типа) при 20 'С 3!3 и! = 2 7- Е о!(твь~) 3,84 !0)2СМ 3. т )гБТ 2лЛ Таким образом, видно, что при комнатной температуре и! «и„, и это означает, что по обе стороны (р — л) перехода основными носителями являются примеси (доноры в полупроводнике л-ти&а и акцепторы в полупроводнике р-тица). Концентрации неосновных носителей (дырок в и-области и электронов в р-области> 3 и, т Иву Ы(евг! л~ р 2лб лер 425 Ток насышения диода Яз(Т) возникает при запорном напряжении, когда для основных носителей на границе (р — л)-перехода возникает потенциаль- ный барьер, а для неосновных носителей — нек Этот ток определяется про- изведением концентрации неосновных носителей и на их подвижность.
Так как по условию задачи время жизни неосновных носителей, а значит и их подвижность, не зависит от температуры, то з 7 ( — а~) п(Т вЂ” д!) Л7 д дТ ,7,(Т) п(Т) ) Т ( ~ зхт Т вЂ” ДТ~ Очевидно, что условием исчезновения эффекта выпрямления является равенство токов основных и неосновных носителей, т. е. з)г !п кБТ и=и или л =и.=2 — — е а)(гззт ) пр пр ! ~2, ) Это транцендентное уравнение, но главная зависимость от температу- ры — в экспоненте. Поэтому вне показателя экспоненты можно заменить Т' на Т, и тогда искомое Т' — — )п — 490 К. (Для сравнения приведем точное решение: Т = 454 К), 4.19.
~', = — = 1,29 А/ пг. "ьТ е5Д г г 4.20. = "' ' ' = 0,02 О -' Завт Указа н ив. Воспользоваться формулой Эйнштейна для подвижности еР носителей )т = —, где Р— коэффициент диффузии. 1вТ - !рквТт 4.21. !эфф = ")~ 0,23 см. 4.22. Концентрацию доноров можно найти из уравнения 2 г пг ~ «,(пп где и;(Т) 1,18 10 см З п,(Т,) 1,4 10 см з. 2п,(Т) зо -з п, ' 0,!л.(Т) ж 1,2 10 см 2д 1 ' ! п„.
л, Ажп, 4.24. Н = З) —" 0,8 мкм; С = — = 1,17 104 см з 0,013 мкФ 2, ' '' 4Н 4.2э. Проводимость п-типа, концентрация электронов ( о 8г 4 — 3 и=Я екр — =8,34 10 см з, 426 Решение, При температуре Т = О К электроны стремятся занять наинизшие энергетические состояния. Поскольку в валентной зоне все состояния заняты, но имеются свободные состояния на акцепторах, то электроны доноров перейдут туда. В результате образуются положительно и отрицательно заряженный ионы. При температурах больше нуля, но таких, что 83 <(»БТ«1!1 ЧаСтЬ ЭпсктрОНОв С ПриМЕСныХ уРовней пеРейдет в зону пРоводимости, а собственные дырки в валентной зоне будут отсутствовать. В этом случае условие электронейтральности примет вид: + л „ц+ 2лац = л51,, где л — концентрация электронов в зоне проводимости, л1 „— концентрация атомов золота, захвативших один электрон (на уровень с энергией ( — 15+ 81), лац — захвативших два электрона (один на уровень с энергией 2- — 45+ 41, другой на уровень с энергией — и+ 421.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
