Овчинкин часть 3 (1181127), страница 83
Текст из файла (страница 83)
т = 1,8 с; Я = 3 хв 4пйзг1.УхТ = 2,92 10!х эрг; — "'" = !боТ Рыбу = 0,43 10 9 сД 2.74. ~А = — у-у — — — 0,059 А. Г х Зйвв) 4л 5 ра Поскольку нормальное колебание представляет собой совокупность колебаний всех атомов кристалла с одной и той же частотой, то верно и обратное; в смещение каждого атома вносят свой вклад все нормальные колебания кристалла. Поэтому энергия кристалла, равная сумме энергий всех колеблющихся атомов, равна сумме энергий всех нормальных колебаний. Пусть у нас возбуждено одно нормальное колебание заданной поляризации с волновым вектором К.
Так как амплитуды колебаний всех атомов одинаковы, то средняя энергия кристалла для этого нормального колебания с=1 где т и М вЂ” массы атома и кристалла, пх — среднее число фононов, Т. к. нормальное колебание эквивалентно осциллятору с частотой ю, то мы приравняли классическое выражение для энергии колеблющихся атомов в нор. мальной моде к энергии квантового осциллятора. Из написанного выражения следует, что ') г Ь Ах = "к+— 2 Это выражение надо просуммировать по всем нормальным колебаниям с учетом трех возможных поляризаций нормального колебания (одного продольного и двух поперечных). Таким образом, 385 Ах = 3~~' Азк = 3~ ! пк + к к Мх~ г~ Пля нулевых колебаний пк = О. Так как число нормальных мод велико, то суммирование может быть заменено интегрированием, откуда и следует ответ.
Приведенные в условии данные относятся к вольфраму. Ребро элементарного куба (постоянная решетки> ОЦК решетки вольфрама равно 3,16 А. Поэтому амплитуда нулевых колебаний составляет около 2;6 от постоянной решетки. 2.75. Ьм,п = 2а ехр ( агп ") = 280 см. 2 ° л (лхтрг а( 2.76'.
2,пвп = )( — а ехр = 2,36 см. 2)!вТ Р е ш е н и е. Поскольку Ьгпп — — йхКΠ— — 2т'и йх(а — 1,4 ° 1О 2 эВ, а КдТ = -2 = 5,6 1О эВ, то для всех мод средние числа фононов пк велики (даже для дебаевских фононов пк = КВТ>йсзц = 4 ~ 1). Амплитуда колебаний К-й моды находится из условия МгпзкА~~/2 = 2л йга . (см. задачу 2.74) Суммируя по всем нормальным модам колебаний, получаем (А''г = ~К: Ак = ~ 2 — сгв(к = 2 "пТ~ Мпгх Здесь ЖЧк — — 1 — — = — КьгК вЂ” число осцилляторов поля на интер52лКА~ ь (2л) 2л вале а>К, 5 = ех Š— площадь кристалла, Л( = — — полное число атомов.
5 а Верхний предел интегрирования Кр найдем из условия 5лкп 2 2чл г( = 1 — -, откуда К, = — . (2л) а Нижний предел нужно взять равным минимально возможному значению волновою вектора в двумерном кристалле для нулевых граничных условий (закрепленных границ кристалла), т. е. К = — (См. задачу 2.47) т2л пап Таким образом, 2ГЛ)а гГЛ(а Е, г 4 2л КИС 2а ХВТ г г(К 2а ХвТ .22 ь) (2л) Мг К лгпг лгпи р'Тп! Е т2л/а поскольку м = А(т = (ага) зт. минимальное значение длины цепочки находится из условия (Аз) = паз, откуда ' =(-'- ('"-''') Подставив числовые значения, получим Е, )и = 6,27 10 х е>7 44 = 2,36 см.
386 2.77. Š— л = 0,57 мкм. 2рвд Пг ' В, ! Р,! Решен ив. Наложение внешнего давления приводит к появлению линейного потенциала ту а «х. Новое положение равновесия определяется минимумом суммарного потенциала, !7 = 27 „+ 27отт, а жесткость кристалла определяется второй производной этого потенциала. Поэтому жесткость определяется только отталкивательной частью потенциала: г ~г д „. т= Нх агг Давление внутри кристалла Р = — — = — — у- и равно внешнему дав- Ых пению.
Таким образом, р х Ф~г) Дебаевская температура: В «., - ~Гт ...!гг гМ Жесткость кристалла: г!ггт!х! г х Нх Поэтому окончательно имеем Втг 8 и хдаьуь При б»1 получаем 0 и Риг, и соответственно В 3. Электроны в металлах. Ферми-частицы 3.!'. !гЕ = — ех ~ — в с! ! эВ Решение. Ширина зоны Л8 жлгой', где со и!а а!та — квазикласг сическая частота колебаний алек~рона в яме. Что касаешься коэффициента туннелирования П', то он связан с коэффициентом туннелирования через барьер соотношением 27' = Ю = ехр ~ — — ч2еУ, г!~.
Дело в том, что но! г Ь скольку электрон находится в состоянии суперпозиции атомных волновых функций, то для попадания в соседнюю яму (расположенную на расстоянии Зв7 Ы) электрону надо «пройти» только половину пути под барьером. Т, о. Рв 3.2* рг = В(Зл~н) )/3 1,5 ° 1О ш г см/с; о = — яь 2,1 ° 103 см/с; т еь - 9,7 эВ. Р е ш е н и е . Число возможных состояний для электронов, имеющих импульс от р до р + Ыр определяется по общей формуле г ) 21, 4лр г(р (глд) где коэффициент «2ь — число состояний на каждом из энергетических уровней (спиновое вырождение), а 1'— объем металла. При Т = 0 К заняты все возможные сов стояния электрона вплоть до граничного импульса рк Рис. 218 поскольку вероятность / занять состояние с энергией Ю равна единице для всех 8 вплоть до энергии Ферми (рис.
21В). В импульсном пространстве заняты все состояния вплоть до импульса Ферми р„. Таким образом, полное число состояний в единице обьема Рр !/3 Ж Г 4л 3 2 г/9) — = 1 НМ(Р) = — Рв — 3 и Ру —— 6 Зл 3 ( В) откуда и получается ответ 2/3 3.3. е = — еу, где еу — — — (Зл — ) — 3 6 / 29 5 2т* 2/3 2 33)21 3.4. е = — ~Злг ~ 1,9 эВ. 52т, ~ Лт) 2 3.5. — — 5 ( — — 1,3.
10 4, где Т = 300 К. З.б. Л = — Лг За, где Лу = — 2и. 3 2л 2 Лв 3.73 Ру !0 )ч г см/с. Ре ш е н не. Скорость позитрона перед аннигиляцией является тепловой и ею можно пренебречь по сравнению со скоростями электронов, которые порядка фермиевской скорости. Следовательно, до столкновения суммарный импульс системы равен импульсу электрона рг. Как видно из рис.
219, р =2Р в(пх рр, 2 где Р— импульсы фотонов (аннигиляционных у-квантов). Энергия, выделяющаяся при аннигиляции электрон-позитронной пары, в расчете на один у-квант равна тсг 0,5 МэВ, где т — масса электрона. Это намного пре- ЗВВ вышает фермиевскую энергию электрона ер «10 эВ. Таким образом, импульс каждого 7-кванта практически равен тс. Так как шс'л р, то угол между разлетающимися 7-квантами близок к л. Отклонение Р от этого угла тем больше, чем больше импульс аннигилирующего электрона.
Так как р, «рр, то максимальное отклонение угла разлета от 180' соответствует случаю р„= рг и тем самым Ррее шеф=0,96 !О !" г смг'с 1О '"г см/с 3.8". Р— — к! рад. Т 8 Р еще н ив. При температуре Т ««8 наибольшую роль в процессах рассеяния играют фононы с энергией йю = (гвТ. В этой области с! = 5К, где К вЂ” волновое число фонона, а 5 — скорость звука. Импульс фопопа рфан ЬК йп!/5. Импульс электрона ра„= рр. Угол рассеяния Рфза Ла» Б7 9» Р.л трр трр' Фермиевский импульс рр.— — 8 (Зл п) лей (Зл ) —, т.
е, рр — '. Ско- 2 !)3 21/31 бл а а рость звука можно выразить через дебаевскую температуру О: кБО = й(ор = птКр й — 5 = хдр. а Таким образом, Р— — ««1 рад. Т 8 Знаки приближенных равенств берутся потому, что в качестве модели выбран одновалентный металл с простой кубической решеткой, что не оговорено в условии. 3.9. р .. = 2агсяп (2 213) 78'. 3.10.
Н = с' (Злзп)!13 180 Э мах ( 21 Пз !»ах е!Т (1 2ще ».1». — = .». ср 8 (Зл) л Вырожденный ферми-газ тем идеальнее, чем он плотнее, так как (1 сс пцз; с л п213 и (//ср-+О цри п- »» данная задача показывает, что при реальных металлических концентрациях Иср — 1, т. е. электроны в металле — это скорее ферми-жидкость, а не ферми-газ! Тот факт, что модель свободных электронов дает правильные порядки и числа, есть следствие общих закономерностей квантовой механики. Отметим, что ответ можно запи. сать так: — — — .
Для егазовости» среднее расстояние между электрона- и ср 5 гв ми должно быть меньше гв -— 0,5 А. В обратном предельном случае разряженного газа пгв «1 электроны проводимости должны образовывать упорядоченную структуру — т, н. вигнсровский кристалл (см. задачу 3.92). 389 3.13. " = 2г)З яе !,б, ' а о,(0) )з 3.14. )9 — — Р— се 2,5 ° 1Ого неитронов.
3.15'. ев — — à — — — = 7,3 1О см/с —, где го 1,3 1О см— З(9л Л за 9 с, -)3 " 8 аз го 2лп'о 4 коэффициент в формуле для радиуса ядра й„= гоАЦЗ. Р еще и не. Нуклоны как ферми-частицы заполняют уровни энергии своих потенциальных ям согласно принципу Паули; по два нуклона каждого сор~а на уровень. Считая, что уровни энергии нуклонов распределены ква- зинепрерывно и вероятность занятия состояний с р < рв равна единице, по- лучаем для полного числа нуклонов Рр Р« 4лр Ыр (2лб) где )с= — пй = — лгоА — объем ядра. 4 з 4 з 3 "а 3 Коэффициент «4«отражает тот факт, что мы пренебрегаем различием в уровнях энергий нейтронов и протонов из-за кулоновского взаимодействия, т.
е. считаем их потенциальные ямы идентичными. Отсюда фермиевский импульс нуклонов ~У~ Л = 1,23 !О з4 г см)с. -С-,.— Так как лзс 5 10 )4 г см/с > рв, то можно пользоваться нерелятивист- РГ ским приближением ев — — —, откуда и следует ответ. т 3 3.1б. Средняя энергия на один нуклон е = — ег —— — — — 17,! МэВ.
— 3 3 Рт 5 52м г 3177 Вм)л де Л (3„г))В ВО кэВ, г 4«нгоА о — лЛ~ = 1,9 !0 )9 см = 1,9 105 бн, где х = — = 2,47 1О )О см. йс т ее««« Решение. Возбуждение ядра состоит в поглощении у-кванта нуклоном, находящемся на уровне с е = ег и переходе его на свободный уровень. В силу квазидискретности энергетических уровней расстояние между ними вблизи е = е 1 Ле = Ысв) где Й(ег) = — — плотность состояний или число энергетических о".т' с(с уровней на единичный интервал энергии вблизи энергии Ферми. В модели ферми-газа е = ВР(г)З; 1и е = 1и В+ — 1и Р), откуда 2 3 4с 2 (Д 4,9 ~ 3 )О и с 3 Ч дс~,, 2ов 390 Используя резуЛЬтат, пОЛуЧЕННЫй В Задаче 3.15, найдем ,г алая = Ье = л у (Злз) >/3 — 80 кэВ 4шАге Сечение фотопоглощения оценим как сечение образования составного ядра о = и ()(„д + Х ) 2, где Х = — = е =2,4710 'осм 2я я л т /1 = г А>/3 — 8,!0 — >3 см,ж2 ял гг Окончательно = )/ — — — (см задачу 3.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
