Краткий курс термодинамики (1178197), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Но в запасе у Вселенной — вечность.§ 18. Равновесие и флуктуации119Можно подождать. И нам просто повезло родиться в той области, гдекак раз в это время и возникла такая чудовищно маловероятная флук­туация. Если бы её не было, не было бы не только человечества, нои Земли, Солнца, галактик, всего того, что мы называем «видимойВселенной».Современные теории конечной расширяющейся Вселенной в некото­рых, что называется, «сценариях» (малая плотность, бесконечное рас­ширение) также предполагают исходом тепловую смерть. Пульсирую­щая Вселенная (что соответствует большой плотности), по-видимому,может избежать такой перспективы.6∘.

Малые 0 . Малость флуктуаций, говоря кратко, обеспечиваетсябольшим значением 0 . Флуктуации в системе с 0 = 100 будут весь­ма значительны (для объектов, состоящих из нескольких десятков, изсотен молекул, которые уже трудно считать просто набором молекул,но ещё нельзя отнести к макросистемам, применяется название «кла­стер»). В такой системе среднеквадратичные флуктуации — порядка10%, а ведь вполне ощутимую вероятность имеют и флуктуации, внесколько раз превышающие среднеквадратичные.

Ещё «хуже» обсто­ит дело с типично молекулярными объектами — с числом молекул, кпримеру 0 = 9. Такое число молекул в среднем находится в объёме,равном четверти куб. миллиметра при давлении 10−12 мм рт. ст. (это —типичное давление в современных мощных ускорителях элементарныхчастиц).

Если верить распределению Гаусса со среднеквадратичным√отклонением = 0 = 3, с вероятностью около 0,14% мы в этомобъёме обнаружим ... отрицательное число молекул. Если 0 = 4, тогауссова вероятность отрицательного числа молекул возрастёт до 16%.Конечно, в таких случаях пользоваться распределением Гауссанельзя. Что касается именно числа частиц в выделенном объёме, тоздесь всегда справедливо биномиальное распределение: если в объёме находится частиц, то вероятность обнаружения в некотором вы­деленном объёме числа частиц, равного , составляет() =(︁ )︁ (︁01−0 )︁ −!.!( − )!При достаточно большом значении отношения /, когда общий объёмсистемы формально можно устремить к бесконечности, биномиаль­ное распределение переходит в распределение Пуассона:() =0 −0.!120Глава VI.

Статистика и термодинамикаНе возникает вероятностей отрицательных , хотя = 0 имеет вслучае 0 = 9 вероятность около 0,012%, а при 0 = 4 даже 1,8%. Нопри 0 = 1000 эта вероятность уже падает до 10−434 — такого не быва­ет. И распределение Пуассона при таком среднем числе молекул ужепрактически не отличается от гауссова, которое для отрицательныхзначений даёт вероятность порядка 10−219 .⋆ ⋆ ⋆Термодинамика утверждает, что любая замкнутая система прихо­дит в состояние равновесия и пребывает в нём сколь угодно долго,пока внешние причины не заставят её покинуть это состояние, чтобыискать новое состояние равновесия, соответствующее изменившимсяусловиям.Статистическая физика уточняет: такое развитие событий лишьнаиболее вероятно. В принципе мыслима ситуация, когда система уда­ляется от равновесия.

Только для макроскопических систем такой по­ворот событий имеет столь ничтожную вероятность, что её можно непринимать во внимание.Если же система уже находится в равновесии, это не значит, что всепараметры в точности равны своим наиболее вероятным значениям.Возможны самопроизвольные отклонения от равновесия, не вызывае­мые никакими внешними причинами. Просто характерные масштабыэтих отклонений для макросистемы так малы, что мы, как правило,их не замечаем и не учитываем.Между тем, есть, конечно, ситуации, когда не учитывать флук­туации нельзя. Именно флуктуации принципиально ограничиваютчувствительность приборов.

Например, самопроизвольно в результатефлуктуаций возникающие в радиотехнических приборах напряжениязадают предельно малые сигналы, которые можно обнаружить или из­мерить сколь угодно хорошим прибором определённой конструкции.§ 19. Элементы статистической теории теплоёмкостиНачиная с § 3, где введено понятие газокинетической температу­ры, мы полагали кинетическую энергию поступательного движениячастицы равной 3 /2. Так как поступательное движение соответству­ет трём степеням свободы (по осям , и ), на одну степень свободыприходится энергия /2.

В данном случае это очевидно из соображе­ний симметрии, из равноправия и произвольности выбора направленияосей, лишь бы они были взаимно перпендикулярны. Оказывается, эточастный случай весьма общей закономерности:§ 19. Элементы статистической теории теплоёмкости121На каждую степень свободы приходится кинетическаяэнергия, равная /2.Проиллюстрируем это положение, называемое обычно законом рав­нораспределения энергии.1∘. Поступательное движение. Рассмот­рим сосуд с поршнем (рис.

19). Так как упоршня одна степень свободы, то и для мо­лекул в данном случае интересна лишь однасоставляющая скорости, которую мы и бу­Рис. 19дем обозначать просто .1) Г а з и п о р ш е н ь. Пусть справа поршень удерживает­ся некоторой постоянной силой, а левая часть сосуда заполнена газомс температурой и соответствующей средней кинетической энергиейдвижения по интересующей нас оси 2 /2 = /2.

Определим сред­неквадратичную скорость поршня. Если подлетающая к поршню мас­сы молекула массы имеет скорость , а поршень — скорость ,то скорости после соударения молекулы 1 и поршня 1 определяетсяиз законов сохранения импульса и энергии:(1 − ) = ( − 1 );(12 − 2 ) = (2 − 21 ).Решая эту систему уравнений относительно 1 , получаем1 =2 − ( − ).+Средний квадрат скорости⟨︀ ⟩︀ после соударения, очевидно, в равнове­сии должен быть равен 2 :⟨︀ ⟩︀⟨︀ ⟩︀⟨︀ 2 ⟩︀ ⟨︀ 2 ⟩︀ 4 2 2 + ( − )2 21 = =.( + )2Здесь учтено, что ⟨⟩ = 0 в силу статистической независимостиэтих величин.

Отсюда получаем⟨︀ ⟩︀⟨︀ ⟩︀ 2 2==.2222) Р а з н ы е г а з ы. Пусть силу, действующую на поршень справа,создаёт некоторый газ, масса молекул которого * отлична от массы122Глава VI. Статистика и термодинамикамолекул «левого» газа. Рассматривая соударения этих «правых» моле­кул с поршнем, мы должны получить⟨︀ ⟩︀⟨︀ ⟩︀⟨︀⟩︀ 2 2* ( * )2===.22223) М о л е к у л ы п о р ш н я. Импульс поршня — сумма импульсовмолекул,из которых он состоит, т.

е. в каждый момент времени =∑︀= . Запишем средний квадрат импульса:⟨(︁∑︁)︁2 ⟩ ⟨∑︁⟩ ∑︁⟨︀⟩︀⟨︀ ⟩︀ =( )2 ==2 2 .Последнее равенство справедливо в силу того, что скорости хао­тического теплового движения молекул независимы и ⟨ ⟩ = 0 для ̸= . Отсюда получаем⟨︀ ⟩︀⟨︀ ⟩︀ 2 2 = 2 2 ; 2=.222∘. Вращательное движение. Предположим, тело, состоящее из ха­отически движущихся, но связанных между собой молекул, может вра­щаться.

Рассмотрим момент импульса такого тела относительно какой­нибудь определённой оси = Ω, где — момент инерции тела отно­сительно выбранной оси, а Ω — соответствующая угловая скорость.Снова вычислим средний квадрат, учтём независимость скоростей раз­личных молекул ( — расстояние от оси до -й молекулы):(Ω)2 =(︁∑︁ )︁2=∑︁ 2 2 = 2 = ,т. е. Ω2 /2 = /2.3∘.

Колебания. Поршень (рис. 19) удерживается справа пружиной, аслева — снова газ. Если время соударения молекулы с поршнем гораз­до меньше периода свободных колебаний поршня на пружине, смеще­ние поршня за время соударений будет пренебрежимо малым, энергияпружины практически не изменится, и все соотношения для соударе­ния остаются в силе. Соответствующая кинетическая энергия окажет­ся равной /2. Тут, однако, надо помнить, что полная энергия колеба­тельной системы складывается из кинетической и потенциальной. Длягармонического осциллятора эти энергии в среднем равны, и всего наколебательную степень свободы должна приходиться энергия .§ 19.

Элементы статистической теории теплоёмкости1234∘. Теплоёмкость твёрдого тела. Внутри твёрдого тела атомы при­вязаны к постоянным местоположениям и могут участвовать тольков колебаниях по трём взаимно перпендикулярным направлениям. Таккак на колебательную степень свободы приходится энергия , теп­лоёмкость твёрдого тела в расчёте на число Авогадро атомов должнабыть равной 3.

Это так называемое правило Дюлонга и Пти, котороехорошо выполняется для большинства твёрдых тел.5∘. Теплоёмкость газов. Молекулы одноатомных газов обладаюттолько тремя поступательными степенями свободы, и вся их энергияравна 3 /2, а теплоёмкость в расчёте на моль — 3/2. У двухатомныхгазов появляются ещё две степени свободы — вращение вокруг двухосей, перпендикулярных оси молекулы и друг другу. Соответственнотеплоёмкость двухатомного газа — 5/2 в расчёте на молекулу или5/2 — в расчёте на моль. Для всех остальных газов возможны дваварианта — линейные молекулы, как и двухатомные, имеют 5 степе­ней свободы, молекулы более сложной конфигурации — шесть, и ихтеплоёмкость равна 3. Стоит напомнить, что в данном случае имеет­ся в виду теплоёмкость V , коэффициент пропорциональности междутемпературой и внутренней энергией.

Характеристики

Список файлов книги