Краткий курс термодинамики (1178197), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Это лишь комментированная сводка некоторых формул, необ­ходимых нам в дальнейшем изложении. Математическая строгость,корректность зачастую умышленно были принесены в жертву лако­ничности. Некоторые оговорки уже сделаны, другие будут сделаны вдальнейшем. Это всё, однако, не снимает потребности в последователь­ном ознакомлении с теорией вероятностей в рамках соответствующегоматематического курса.§ 16. Микро- и макросостояния системы. Наиболеевероятное распределениеТермин «состояние» используется как применительно к отдельнойподсистеме, так и в отношении системы в целом. При этом он имеетсущественно различный смысл.§ 16.

Наиболее вероятное распределение93Рассмотрим в качестве системы некоторую порцию идеального га­за, подсистемами которого являются отдельные молекулы. Состояниемолекулы — положение и скорость. Состояние газа — температура,давление, занимаемый данной порцией газа объём.Основная задача статистической физики — определение состоянийподсистем и через них состояния системы в целом. И вот тут возника­ет необходимость уточнения понятия «состояние системы».

Определимсостояние каждой подсистемы, т. е. узнаем положения и скорости всехмолекул. Это уже полное описание системы. Таким способом мы бызадали микросостояние системы. Но положение и скорость каждой от­дельной молекулы мы можем узнать только с какой-то погрешностью.Квантовая механика вообще запрещает одновременное точное измере­ние положения и скорости, независимо от того, какие приборы у насимеются и даже независимо от того, какие приборы будут сконструи­рованы в будущем. К вопросу о том, что есть состояние подсистемы, вособенности, если она является микросистемой (молекула, атом, элек­трон), мы ещё вернёмся.А сейчас договоримся о следующем. Разобьем весь доступный рас­сматриваемой порции газа объём на маленькие объёмчики и все воз­можные значения каждой составляющей скорости на маленькие диапа­зоны.

Если молекула находится в положении с координатами от до + ∆ , от до + ∆ , от до + ∆ , а её скорость имеет состав­ляющие от до + ∆ , от до + ∆ , от до + ∆ , мыбудем считать её состояние вполне определённым. Отметим: если хотябы один из параметров изменился (например, оказалась в диапазонеот до + ∆ , а координаты и две другие составляющие скоро­сти остались в прежних пределах), состояние молекулы изменилось,молекула переместилась в иную ячейку.Исчерпывающее описание микросостояния системы теперь сводит­ся к перечислению такого типа: молекула находится в ячейке 1, мо­лекулы и — в ячейке 2, молекулы , , — в ячейке 3 и т.д.Макросостояние (объём, температура, давление) не зависит от то­го, какие именно молекулы находятся в той или иной ячейке.

Оно од­нозначно определяется распределением молекул по ячейкам: сколькомолекул находится в той или иной ячейке.Итак, мы познакомились с основными понятиями статистическойфизики. Перечислим их ещё раз.а) С о с т о я н и е п о д с и с т е м ы. В частности, для моле­кулы должны быть известны с некоторой точностью её положение искорость, то есть известно, в какой ячейке находится молекула.94Глава V.

Статистические распределенияб) М и к р о с о с т о я н и е с и с т е м ы. Известны состояниявсех подсистем (молекул): молекула — в ячейке 1, молекула —тоже в ячейке 1, молекула — в ячейке 2, молекулы , и —в ячейке 4 (допустим, в ячейке 3 молекул нет) и т.д.в) Р а с п р е д е л е н и е. В ячейке 1 — две молекулы, в ячейке2 — одна, в ячейке 3 — ни одной, в ячейке 4 — три молекулы и т.д.г) М а к р о с о с т о я н и е. В простейшем случае (равновесие) —известны температура, давление и занимаемый системой объём.Если равновесия нет, возможно, в разных частях системы значения и не одинаковы. В таком случае макросостояние можно описать,задав поле температуры и давления: значения параметров как функ­ции координат и, возможно, времени.Макросостояния — предмет термодинамики.

И термодинамика, какмы помним, утверждает, что попавшая в равновесное состояние систе­ма при неизменных внешних условиях будет вечно находиться в одноми том же, именно этом равновесном состоянии. Что же говорит о со­стояниях системы статистика?Исходные положения статистики можно свести к трём постулатам.Как обычно, эти постулаты являются результатом обобщения громад­ного массива данных, а основание для уверенности в их справедли­вости — совпадение с опытом выводов, полученных на основе этихпостулатов.И вот уже первый постулат статистической физики, утверждаю­щий, что все состояния равновероятны(!?), входит, кажется, в крича­щее противоречие с общим началом термодинамики.Беглый разговор о флуктуациях (в конце предыдущего параграфа)уже наводит на мысль, что термодинамика не во всем права.

Но сей­час, отложив более подробный разговор о взаимоотношениях термоди­намики и статистики до следующей главы, мы сформулируем первыйпостулат статистики более корректно:Все доступные МИКРОсостояния системы равновероятны.Эти уточнения — доступные микросостояния — позволяют наде­яться, что противоречия между термодинамикой и статистикой не такглубоки.Второй постулат статистики гласит:Равновесию соответствует наиболее вероятное распреде­ление подсистем по состояниям.Кажется, второй постулат прямо противоречит первому.

Чтобы вы­яснить, что противоречия нет, рассмотрим предельно упрощённый при­§ 16. Наиболее вероятное распределение95мер. Сравним два распределения:а) все подсистемы находятся в состоянии 1,б) одна подсистема находится в некотором состоянии 2, а осталь­ные — в том же состоянии 1.Вариант а) можно осуществить, очевидно, единственным способом.В случае б) в выделенное состояние 2 можно поместить любую из име­ющихся подсистем. Этот вариант может быть осуществлен спосо­бами ( — число подсистем в системе).

Иными словами, варианту а)соответствует одно микросостояние, а варианту б) — N микросостоя­ний системы. Поскольку, в силу первого постулата, все микросостоянияравновероятны, распределение б) в раз более вероятно, чем распре­деление а).Наконец, третий постулат касается состояний отдельных подсистем(не путать с микросостоянием системы!):Вероятность пребывания подсистемы в некотором состо­янии (ячейке) зависит только от энергии этого состоя­ния.Понятно, что под энергией состояния подразумевается энергия, ко­торой обладает подсистема, находящаяся в данном состоянии, в дан­ной ячейке. Становится понятным, почему ячейки должны быть ма­лы и насколько они должны быть малы.

Чтобы энергия подсистемы,находящейся в данной ячейке, была вполне определённой величиной,возможные вариации энергии при изменении параметров в пределахвыбранных размеров ячейки должны быть пренебрежимо малыми.Третий постулат — естественное обобщение результата, к которомумы пришли, анализируя барометрическую формулу: распределение мо­лекул по объёму сосуда зависит от энергии, которой обладает молекулав той или иной части сосудах [Д 8].Итак, термодинамика считает, что система, попавшая в состояниеравновесия, никогда из него не выйдет, это состояние становится длясистемы единственно возможным.

Статистика же утверждает, что рав­новесное состояние (МАКРОсостояние) системы лишь наиболее веро­ятно.Какое же состояние системы соответствует равновесию, какое рас­пределение подсистем по состояниям наиболее вероятно? Подчеркнём,что «распределение» означает лишь, что в -м состоянии находится подсистем, неважно, какие это конкретно подсистемы: , , , если вданном состоянии три подсистемы, или , , , или, может быть, , , .96Глава V. Статистические распределенияРассмотрим замкнутую систему из подсистем, пусть для опреде­лённости это будут молекулы.

Молекулы могут находиться в любом из доступных им состояний. Если в состоянии с индексом ∑︀находится молекул и каждаяизнихимеетэнергию,то,во-первых, = ∑︀и, во-вторых, = . Полное число молекул и полная энергиясистемы — постоянные величины; поэтому соответствующие диффе­ренциалы обращаются в ноль:Σ = 0;(5.9)Σ = 0.(5.10)Дифференцирование в данном случае ведётся по всем , то есть(︂)︂(︂)︂(︂)︂(︂)︂1 +2 + ... + + ... + . =12Нас интересует только наиболее вероятное распределение.

Поэто­му нам не обязательно выписывать вероятности различных распреде­лений. Нас устроит любая величина, монотонно зависящая от этойвероятности. В силу первого постулата такой величиной, прямо про­порциональной вероятности распределения, является число микросо­стояний системы, соответствующее данному распределению.

Предпо­ложим, некоторое микросостояние соответствует определённому рас­пределению. При этом в первом состоянии, или, как в таких случаяхговорят, в первой ячейке находятся подсистемы и , во второй ячей­ке, допустим, подсистема , в третьей — , , и так далее. Ясно, чтоперестановки подсистем, а всего перестановок подсистем, как извест­но, !, не изменяют распределения. Однако перестановки подсистемвнутри одной ячейки не меняют и микросостояния: в первой ячейкеподсистемы и или в первой ячейке подсистемы и — утвер­ждения тождественные с этой точки зрения. Таким образом, каждаяячейка уменьшает число эффективных перестановок в ! раз.

Итого,полное число микросостояний системы, соответствующее данному рас­пределению, статистический вес распределения оказывается равным=!.1 !2 ! . . . ! . . . !(5.11)(Эту величину часто называют термодинамической вероятностьюраспределения8 в отличие от математической вероятности. Термоди­8 Ещё чаще эту величину называют статистическим весом состояния.

Характеристики

Список файлов книги