ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Релятивистский эффект замедления хода времени в космическом корабле, движущемся относительно Земли, открывает возможность осуществления сколь угоднодальних космических полетов и путешествий «в будущее». Согласно принципу относительности все процессы на космическом корабле, включая и процесс старения космонавтов, идут по тем же законам, что и на Земле. Однако при этом время на корабленужно измерять по часам, движущимся вместе с ним со скоростью V относительноЗемли. Если V близко к c, то часы на корабле идут значительно медленнее, чем земные(на космодроме) – в 1 1 −V 2 c 2 раз. Например, при β = V c = 0,99999 ход часов накорабле и на Земле различается в 224 раза. Следовательно, на таком корабле за промежуток времени t0 = 10 лет по корабельным часам можно совершить, постарев всеголишь на 10 лет, космический полет, который по часам на Земле будет продолжатьсяt = 2240 лет! При этом корабль удалится от Земли на огромное расстояниеl = βct = 2239,98 световых лет.
Чем ближе V к с тем больший путь l может пройти корабль относительно Земли за один и тот же промежуток t0 собственного времени накорабле, т. е. тем более дальний космический перелет могут совершить космонавты засвою жизнь.Если космонавт, совершив космический полет со скоростью V, близкой к c, возвратится на Землю, то он обнаружит, что люди на Земле (в частности, его братблизнец, оставшийся на Земле) постарели за время полета больше, чем он. При достаточно малом отличии V от c, когда (1 – V2/c2)-1/2 >> 1, космонавт может за время полетапережить всех своих сверстников на Земле и оказаться по возвращении на Землю среди представителей последующих поколений людей.7°. На первый взгляд кажется, что, основываясь на принципе относительности,можно прийти к выводам, прямо противоположным приведенным в п.
6°: часы на Земле, движущейся со скоростью –V относительно космического корабля должны отставать от часов на корабле. Поэтому длительность полета должна быть большей длякосмонавта, а не для жителей Земли. Соответственно, за время полета должен сильнеепостареть тот из двух близнецов, который летел на корабле. Таким образом, получается, что разность показаний часов на космодроме и на корабле после приземления последнего должна быть с одной стороны, положительной (см. п. 6°), а с другой – отрицательной.
Этот абсурдный результат получил название парадокса часов, или парадокса времени. В действительности никакого парадокса часов нет. Он возник вследствие неправильного применения принципа относительности. Этот принцип говорит ополном равноправии не любых систем отсчета, а только инерциальных систем. Междутем, система отсчета, связанная с космическим кораблем, в отличие от земной, не всевремя является инерциальной, так как во время набора скорости при старте, облета цели и торможения при спуске на Землю корабль движется с ускорением. Поэтому задача о ходе часов на космодроме, которые все время покоятся относительно одной и тойже инерциальной системы отсчета, и часов, находящихся на космическом кораблепринципиально несимметрична, а земная и корабельная системы отсчета неравноправны в данной задаче.
Правильны рассуждения, изложенные в п. 6°, так как они основаны на использовании инерциальной (земной) системы отсчета. Соответственно рассуждения в начале п. 7°, приведшие к парадоксу часов, ошибочны. Во втором случаенужно пользоваться не специальной, а общей теорией относительности.
При этом оказывается, что и с точки зрения космонавта его часы должны идти медленнее, чем часына космодроме.8°. Интервалом, или пространственно-временным интервалом, между двумя событиями, измеренным в инерциальной системе отсчета K', называется величинаs12′ = c 2 (t12′ ) − (l12′ ) ,22где t12′ = t 2′ − t1′ – промежуток времени между рассматриваемыми событиями (по часам всистеме отсчета K'), а l12′ = ( x 2′ − x 1′ )2 + ( y 2′ − y1′ )2 + ( z 2′ − z1′ )2 – расстояние между точками, в которых совершаются события 1 и 2, измеренное так же в системе отсчета K'.Из преобразований Лоренца следует, что интервал между двумя событиями 1 и 2инвариантен по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, т. е.
не изменяется при переходе от движущейся системы отсчета K' к неподвижной системе K,s12′ = s12 = inv , где s12 = c 2 t122 − l122 .Если s122 > 0 , т.е. s12 – действительное число, то этот интервал называется времениподобным интервалом.Интервал s12 называется пространственноподобным, если s122 < 0 , т.е. s12 – мнимоечисло.9°. Из инвариантности интервала по отношению к выбору инерциальной системыотсчета K' следует, что во всех системах отсчета K' значения t12′ и l12′ для данных двухсобытий 1 и 2 удовлетворяют уравнению гиперболыc2t122 − l122 = s122 .Если s122 > 0 , то связь между t12′ и l12′ в различных инерциальных системах отсчетаK', движущихся относительно неподвижной системы отсчета K со всевозможнымискоростями (0 < V < с), изображается графически в видедвух ветвей гиперболы I и II (рис.
I.5.3). Следовательно,знак промежутка времени между событиями 1 и 2, связанными времениподобным интервалом, абсолютен. Он независит от выбора инерциальной системы отсчета: во всехсистемах отсчета K' второе событие происходит либо всегда позже первого, т. е.
t122 > 0 (ветвь I), либо всегда раньше первого, т. е. t122 < 0 (ветвь II). Расстояние l12′ относи-Рис. I.5.3тельно, причем можно указать такую инерциальную систему отсчета K', в которойl12′ = 0 , т. е. события 1 и 2 совершаются в одном и том же месте (точки A и B на ветвяхгиперболы I и II).Двум событиям, связанным причинно-следственной связью, всегда должен соответствовать времениподобный интервал или, в крайнем случае, интервал, равный нулю (s12 = 0). Это обусловлено тем, что сигнал, посредством которого событие 1 (причина) вызывает появление события 2 (следствие), не может распространяться в пространстве со скоростью, превосходящей скорость света в вакууме: l12′ ≤ с(t 2′ − t1′ ) .10°. В случае событий, связанных пространственноподобным интервалом ( s122 < 0 ),знак t12′ относителен: t122 > 0 (верхняя часть гиперболы III на рис.I.5.3) в одних инерциальных системах отсчета K', а в других t122 < 0 (нижняя часть гиперболы III).
Точка Cсоответствует системе отсчета K', в которой t122 = 0 т. е. события 1 и 2 происходят одновременно.§ I.5.5. Преобразование скоростей и ускоренийв релятивистской кинематике1°. Значения v и v' скорости материальной точки в двух инерциальных системахотсчета K и K' равны:v=drdr′= v x ′ i ′ + v y ′ j′ + vz ′ k′ ,= v x i + v y j + vz k , v′ =dtdtгде r = x i + y j + z k и r′ = x ′i ′ + y ′j′ + z ′k′ – радиус-векторы рассматриваемой точки всистемах отсчета K и K' Проекции скоростей v и v' на оси декартовых координат равны:vx =dxdydzdx ′dy ′dz ′, vy =, v z = ; v′x ′ =, v′y ′ =, v′z′ =.dtdtdtdt ′dt ′dt ′Если сходственные оси декартовых координат систем отсчета K' и K попарно параллельны и система K' движется относительно K с постоянной скоростью V, направленной вдоль оси ОХ (рис. 1.2.3, см.
1.2.8.1°), причем в момент начала отсчета временив K и K' (t = 0 и t' = 0) начала координат O и O' этих систем отсчета совпадают, тосправедливы преобразования Лоренца в форме (I.5.3.2°). Из этих преобразований следует, что связь между проекциями скоростей точки на оси декартовых координат всистемах K и K' имеет вид:v x −Vv′ + V,,vx = x ′V vxV v′x ′1− 21+ 2cc2VV2vy 1− 2v′y ′ 1 − 2c , v =c ,v′y ′ =yVvV v′1 − 2x1 + 2x ′cc2VV2vz 1 − 2v′z ′ 1 − 2c , v =c ,v′z ′ =zVvV v′1 − 2x1 + 2x ′ccv′x ′ =Эти формулы выражают закон сложения скоростей в релятивистской кинематике. Впределе при c → ∞ они приводят к обычному закону сложения скоростей в классической механике (I.2.8.2°):v′x ′ = v x −V , v′y ′ = v y , v′z′ = vz и v′ = v − V .2°. Связь между квадратами модулей векторов v и v'[]()[]()⎡ 1 − (v′ / c )2 1 −V 2 c 2 ⎤⎡ 1 − (v / c )2 1 −V 2 c 2 ⎤22′иv 2 = c 2 ⎢1 −(v)=c⎥⎢1 −⎥.22⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦1 −V v x c 21 + V v′x ′ c 2()()В частности, если v' = c, то v = c и наоборот.
Итак, если скорость частицы относительно какой-либо инерциальной системы отсчета равна скорости света в вакууме, тоона должна быть такой же по величине относительно любой другой инерциальнойсистемы отсчета независимо от скорости относительного движения этих систем отсчета. Иначе говоря, сумма двух скоростей, из которых одна равна с, всегда равна с. Вэтой закономерности, обнаруживающейся при движении таких элементарных частиц,как фотоны (V.6.1.4°) и нейтрино (табл. VIII.2.2), проявляется предельный характерскорости света в вакууме (I.5.1.3°).3°. Из соотношений п.
2° видно, что частица, движущаяся относительно какой-нибудь инерциальной системы отсчета со скоростью, меньшей c, имеет скорость относительно любой другой инерциальной системы отсчета тоже меньшую с (например,если v < с, то v' < c, и наоборот). Отсюда, в частности, следует, что как бы ни былиблизки к с скорости двух частиц, их относительная скорость всегда меньше с.
Например, пусть две частицы движутся вдоль оси ОХ системы отсчета K навстречу друг другу со скоростями, соответственно равными: v1 = 0,8 ci и v2 = –0,8 ci. Скорость u21 второй частицы относительно первой не равна, как это считается в классической механи-ке, геометрической разности v2 – v1 = –1,6 сi, хотя бы потому, что модуль этой скорости превосходит с. Искомая скорость равна скорости второй частицы относительноинерциальной системы отсчета K', движущейся вместе с первой частицей (V = 0,8 ci),т.e. u21 = v′2 u21 = v'2.Из формул п. 1° следует, чтоv2′ x ′ =v2 x − V1,6c=−= −0,976c , v2′ y ′ = v2′ z ′ = 0 ,V v2 x1 + 0,641− 2cт. е. u21 = –0,976 ci' и u 21 < c .3°.Проекции ускорения материальной точки на оси декартовых координат двухинерциальных систем отсчета K и K' (п.
1°) связаны между собой следующими соотношениями:3⎛ 1 −V 2 c 2 ⎞dv′x ′⎟ ,= ax ⎜a′x ' =⎜ 1 −V v x c 2 ⎟dt '⎝⎠a′y ′ =dv′y ′ ⎡⎛ V v x ⎞V v y ⎤ 1 −V 2 c 2= ⎢⎜1 − 2 ⎟a y + 2 ax ⎥dt ′ ⎣⎝c ⎠c⎦ 1 −V v x / c 2),az′′ =dv′z ′ ⎡⎛ V v x= ⎢⎜1 − 2dt ′ ⎣⎝c),(V v z ⎤ 1 −V 2 c 2⎞+ax ⎥a⎟ zc2⎠⎦ 1 −V v x / c 2(⎛ 1 −V 2 c 2dvax = x = a′x ′ ⎜⎜ 1 + V v′x ′ / c 2dt⎝333⎞⎟ ,⎟⎠V v′y ′ ⎤ 1 −V 2 c 2⎡⎛ V v′x ′ ⎞ay == ⎢⎜1 + 2 ⎟a′y ' − 2 a′x ′ ⎥dtcc ⎠⎣⎝⎦ 1 + V v′x ′ / c 2dv yaz =(⎤ 1 −V 2 c 2V v′dvz ⎡⎛ V v′x ′ ⎞= ⎢⎜1 + 2 ⎟az′ ' − 2z′ az′′ ⎥dt ⎣⎝cc ⎠⎦ 1 + V v′x ′ / c 2(,)3)3.§ I.5.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
