ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Достаточно близки к абсолютно неупругому удару, например, такие процессы, как удар молота копра по забиваемой им свае, попадание пули втележку с песком, в котором пуля застревает, При неупругом ударе происходят различного рода процессы в соударяющихся телах (их пластические деформации, трениеи др.), в результате которых кинетическая энергия системы частично преобразуется вее внутреннюю энергию (II.2.1.2°).Если два тела с массами m1 и m2, движущиеся поступательно со скоростями v1 иv2, претерпевают абсолютно неупругий прямой центральный удар, то после него онидвижутся также поступательно со скоростьюu=m1v1 + m 2 v2.m1 + m 2Примечание.
В случае произвольного абсолютно неупругого удара, не являющегося прямым центральным, эта формула позволяет найти скорость центра инерции соединившихся при ударе тел. Однако в результате такого удара может также возникнуть вращение системы вокруг ее центра инерции, согласующееся с законом сохранения момента импульса (I.4.4.1°).4°. Изменение кинетической энергии системы двух сталкивающихся тел при абсолютно неупругом прямом центральном ударе∆W к =m1 + m 2 2 m1 2 m 2 2m1m 2(v1 − v2 )2 < 0 .u −v1 −v2 = −2222(m1 + m 2 )В частности, если второе тело до удара покоится (например, свая, забиваемая припомощи копра, или поковка, лежащая на наковальне), то относительное уменьшениекинетической энергии системы при абсолютно неупругом прямом центральном ударе−m2∆W к.=W к1m1 + m 2Абсолютно неупругий прямой центральный удар используют в технике либо дляизменения формы тел (ковка, штамповка, клепка и т.
п.), либо для перемещения тел всреде с большим сопротивлением (забивание гвоздей, свай и т. п.). В первом случаецелесообразно, чтобы отношение −∆W кбыло возможно ближе к единице, т. е. необW к1ходимо, чтобы m2 >> m1 (масса отковываемого изделия и наковальни должна во многораз превосходить массу молота). Во втором случае, наоборот, нужно, чтобы потерикинетической энергии при ударе были возможно меньшими, т. е. чтобы m1 >> m2 (масса молотка должна во много раз превосходить массу забиваемого гвоздя).5°. Удар двух тел называется абсолютно упругим, если при этом ударе механическая энергия системы не изменяется, т. е. тела являются абсолютно упругими.Рис.
I.3.6Пример 1. Абсолютно упругий прямой центральный удар двух тел (например, шаров) с массами m1 и m2, которые перед ударом движутся поступательно со скоростямиv1 и v2 вдоль проходящей через их центры инерции оси ОХ (рис.I.3.6, а). Скорости телпосле удара u1 и u2 (рис. I.3.6, б) можно найти из законов сохранения импульса и механической энергии:m1u1 + m 2 u2 = m1v1 + m 2 v2 , m1u12 + m 2 u22 = m1v12 + m 2 v22 .Скорости u1 и u2 направлены вдоль оси ОХ, а их проекции на эту ось равныu1x =(m1 − m 2 )v1x + 2 m 2 v2 xm1 + m 2, u2 x =(m 2 − m1 )v2 x + 2 m1v1xm1 + m 2.В частности, если массы тел одинаковы, то при ударе тела обмениваются скоростями: u1x = v2 x и u2 x = v1x .
Если масса второго тела во много раз больше массы первого тела, то u1x ≈ 2v2 x − v1x и u2 x = v1x .6°. Пример 2. Абсолютно упругий косой центральный удар. Если тела гладкие, тоимпульсом сил трения при ударе можно пренебречь. В таком случае не изменяютсякасательные составляющие скоростей тел, т.
е. составляющие, перпендикулярные линии удара: u1τ = v1τ и u2τ = v2τ . Нормальные составляющие, направленные вдоль линии удара, изменяются так же, как при прямом ударе:u1n =(m1 − m 2 )v1n + 2 m 2 v2 n , um1 + m 22n=(m 2 − m1 )v2 n + 2 m1v1n .m1 + m 2В частности, при абсолютно упругом косом ударе гладкого шара о неподвижнуюплоскую стенку (m2 >> m1, u2 = v2 = 0)u1τ = v1τ , u1n = −v1n ,т. е. шар отскакивает от стенки по закону зеркального отражения: угол отражения равен углу падения.
Численное значение скорости сохраняется: u1 = v1. Вектор изменения импульса шара ∆p1 при ударе направлен перпендикулярно к стенке:∆p1 = m1 (u1 − v1 ) = −2 m1v1n .Импульс ударной силы, действующей на стенку, равен 2 m1v1n .ГЛАВА I.4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ§ I.4.1. Момент силы и момент импульса1°. Для характеристики внешнего механического действия на тело, приводящего кизменению вращательного движения тела, вводят понятие момента силы. Различаютмомент силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси.Моментом силы F относительно неподвижной точки О (полюса) называется векторная величина М, равная векторному произведению радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы (рис.
I.4.1), на вектор силы F:M = [rF] .Модуль момента силы M = Fr sin α = Fl , где α – угол между векторами r и F, al = r sin α – длина перпендикуляра ОВ (рис. I.4.1), опущенного из точки O на линиюдействия силы. Величина l называется плечом силы относительно точки О. При переносе точки приложениясилы F вдоль линии ее действия момент этой силы Мотносительно одной и той же неподвижной точки O неизменяется. Если линия действия силы проходит черезточку O, то момент силы относительно этой точки равенРис. I.4.1нулю.2°.
Главным моментом (результирующим моментом) системы сил относительнонеподвижной точки O (полюса) называется вектор М, равный геометрической суммемоментов относительно точки O всех n сил системы:nM = ∑ [ri Fi ] ,i =1где ri – радиус-вектор, проведенный из полюса O в точку приложения силы Fi.Из третьего закона Ньютона (I.2.5.1°) следует, что моменты относительно полюсаO внутренних сил взаимодействия материальных точек системы попарно компенсируются: [ri Fik ] = −[rk Fki ] .
Следовательно, при вычислении главного момента сил нужноучитывать только внешние силы, действующие на рассматриваемую механическуюсистему.3°. Моментом силы F относительно неподвижной оси а называется скалярная ве-личина Ma, равная проекции на эту ось вектора М момента силы F относительно произвольной точки O оси a. Значение момента Ma не зависит отвыбора положения точки O на оси а.Примечание. Иногда под моментом силы относительнонеподвижной оси а понимают векторную величину Ma = Ma ia,где ia – орт оси а. Вектор Ma – составляющая вектора М момента силы относительно полюса O, направленная вдоль оси а.Если линия действия силы пересекает ось или параллельнаРис. I.4.2ей, то момент силы относительно этой оси равен нулю.Пусть A – точка приложения силы F, a O1 – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на рассматриваемую ось OZ (рис.
I.4.2). Силу F удобно разложить на тривзаимно перпендикулярные составляющие: осевую Fz, параллельную оси, радиальнуюFn, направленную вдоль вектора ρ = O1A, и касательную Fτ, направленную перпенди-кулярно оси и вектору ρ. Момент силы F относительно оси OZM z = [ρF τ ]z .Так как векторы ρ и Fτ взаимно перпендикулярны, тоM z = ρ Fτ .Главный момент (результирующий момент) относительно неподвижной оси асистемы сил равен алгебраической сумме моментов относительно этой оси всех силсистемы.4°.
Моментом импульса (моментом количества движения) материальной точкиотносительно неподвижной точки O (полюса) называется вектор L, равный векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из полюса O в место нахожденияматериальной точки, на вектор p ее импульса:L = [rp] = [rm v] ,где m и v – масса и скорость материальной точки.Моментом импульса системы относительно неподвижной точки O называетсягеометрическая сумма L моментов импульса относительно той же точки O всех материальных точек системы:nni =1i =1L = ∑ [ri pi ] = ∑ [ri m i vi ] ,где mi, ri и vi – масса, радиус-вектор и скорость i-й материальной точки, а n – общеечисло этих точек в системе.Моментом импульса системы относительно неподвижной оси a называется ве-личина La, равная проекции на эту ось вектора L момента импульса системы относительно какой-либо точки O, принадлежащей этой оси:nL a = ∑ [ri m i vi ]a .i =1Выбор положения точки O на оси a не влияет на численное значение La.Примечание.
Иногда под моментом импульса системы относительно неподвиж-ной оси a понимают векторную величину La = Laia, где iа – орт оси а.5°. Момент импульса тела относительно неподвижной точки O, вокруг которойэто тело вращается с угловой скоростью ω, равен:L=∫ [rv]dm = ∫ [r[ωr]]dm ,(m )(m )где r – радиус-вектор, проведенный из точки O в малый элемент тела массой dm, аv = [ωr] – скорость этого элемента тела.
Так как [r[ωr]] = r 2ω − (ωr)r, векторы L и ω вобщем случае не совпадают по направлению,L = ω ∫ r 2 dm −(m )∫ (ωr)rdm .(m )Момент импульса тела, закрепленного в точке O, и его угловая скорость совпадают по направлению, если тело вращается вокруг одной из его главных осей инерции вточке O (I.4.2.4°),L = Iω ,где I – момент инерции тела (I.4.2.1°) относительно этой главной оси.6°.
Значения М и М* главного момента системы сил относительно двух различныхнеподвижных точек O и O* связаны соотношением:M = M * +[r * F ] ,где r* – радиус-вектор, проведенный из начала O в точку O*, a F – главный векторрассматриваемой системы сил. Если F = 0, то главный момент системы сил одинаковпо отношению к любой неподвижной точке: М* = М.
Именно таким свойством обладает пара сил, т. е. система из двух сил, которые численно равны друг другу и направлены вдоль параллельных прямых в противоположные стороны. Кратчайшее расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары. Момент пары силнаправлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат силы, а его модуль равенM = Fd, где F – модуль каждой из сил пары.Главный момент MC относительно центра инерции C механической системы(I.2.3.3°) всех действующих на нее сил связан с главным моментом М этой же системысил относительно неподвижной точки O соотношениемM = M C + [rC F ] ,где rC – радиус-вектор, проведенный из начала O в точку C, F – главный вектор системы сил.7°.
Значения момента импульса механической системы относительно ее центраинерции C для абсолютного движения точек со скоростями vi (т. е. относительно неподвижной инерциальной системы отсчета) и для их относительного движения со скоростями v′i = vi − vC (т. е. относительно поступательно движущейся системы отсчета сначалом в точке C) одинаковы:nni =1i =1∑ [ri′m i vi ] = ∑ [ri′m i v′i ] = LC ,где ri′ = ri − rC – радиус-вектор i-й точки в системе отсчета, движущейся вместе с центром инерции.Связь между значениями момента импульса механической системы L относительно неподвижной точки O и относительно центра инерции LC имеет видL = LC + [rC p] ,iгде p = ∑ m i vi – импульс системы в ее абсолютном движении.n =1§ I.4.2. Момент инерции1°.
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси aназывается физическая величина Ia, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:nI a = ∑ m i ρ i2 ,i =1где mi и ρi – масса i-й точки и ее расстояние от оси.Момент инерции телаIa =∫ρ2dm =(m)∫ρ2DdV ,(V )где dm = D ⋅ dV – масса малого элемента объема тела dV, D – плотность, а ρ – расстояние от элемента dV до оси а.Если тело однородно, т. е.
его плотность всюду одинакова, тоI a = D ∫ ρ 2 dV .(V )Момент инерции тела Ia является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг неподвижной оси а (I.4.3.4°), подобно тому, как масса тела является меройего инертности в поступательном движении.2°. Момент инерции данного тела относительно какой-либо оси зависит не толькоот массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этойоси. Согласно теореме Штейнера (теореме о переносе осей инерции) момент инерциитела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела IC относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно рассматриваемойоси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:I = I C + md 2 .3°.Таблица I.4.1Моменты инерции однородных тел простейшей формыотносительно некоторых осейТелоПоложение оси аМомент инерции JaПолый тонкостенный цилиндр радиуса R и массы mОсь цилиндраmR 2Сплошной цилиндр (диск) Ось цилиндрарадиуса R и массы m1mR 22Шар радиуса R и массы m2mR 25Ось проходит через центр шараТонкостенная сфера радиуса Ось проходит через центр сферыR и массы m2mR 23Прямой тонкий стержень Ось перпендикулярна стержню идлины l и массы mпроходит через его середину1ml 212Тот же стержень1mR 23Ось перпендикулярна стержню ипроходит через его конец4°.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
