ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:I xy =∫ xy ⋅ dm = ∫ xyD ⋅ dV ,(m )I xz =∫ xz ⋅ dm = ∫ xzD ⋅ dV ,(m )I yz =(V )(V )∫ yz ⋅ dm = ∫ yzD ⋅ dV ,(m)(V )где x, у и z – координаты малого элемента тела объемом dV, плотностью D и массойdm.Ось ОХ называется главной осью инерции тела, если центробежные моментыинерции Ixy и Iхz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провеститри главные оси инерции.
Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моментыинерции тела относительно трех главных осей инерции, проведенных в произвольнойточке O тела, называются главными моментами инерции тела.Главные оси инерции, проходящие через центр инерции тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции тела относительно этихосей – его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородноготела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.§ I.4.3. Основной закон динамики вращательногодвижения.1°.
Из законов Ньютона следует, что первая производная по времени t от моментаимпульса L механической системы относительно любой неподвижной точки O равнаглавному моменту Мe относительно той же точки O всех внешних сил, приложенных ксистеме:dL= Me .dtЭто уравнение выражает закон изменения момента импульса системы. Оно справедливо, в частности, для твердого тела, шарнирно закрепленного в точке O и вращающегося вокруг нее. В таком случае это уравнение выражает основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат сначалом в точке O закон изменения момента импульса системы записывается в виде:dL уdL хdL z= M уe ,= M ze .= M хe ,dtdtdtЗдесь Lx, Ly, Lz и M хe , M ye , M ze – моменты импульса системы и главные моментывнешних сил относительно соответствующих осей координат.2°. Пример. Регулярная прецессия гироскопа под действием его силы тяжести.Гироскопом (симметричным гироскопом) называется симметричное твердое тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии, которая может изменять свое направление в пространстве.
Гироскоп имеет три степени свободы (I.1.5.6°), если он закреплен в одной неподвижнойточке O, принадлежащей его оси и называемой центром подвесагироскопа. Если центр подвеса совпадает с центром тяжести Cгироскопа, то такой гироскоп называется уравновешенным, илиастатическим, гироскопом: действие на него силы тяжести не вызывает изменения состояния его вращения. В противном случаеРис. I.4.3гироскоп называется тяжелым гироскопом (рис. I.4.3).
Под действием момента силытяжести относительно точки OM e = [rC m g ]тяжелый гироскоп поворачивается вокруг этой точки так, что его ось OZ' равномерновращается вокруг вертикаль, ной оси OZ, описывая коническую поверхность, показанную на рис. I.4.3 пунктиром. Такое движение гироскопа называется регулярной прецессией.
Если угловая скорость прецессии Ω << ω (ω – угловая скорость собственноговращения гироскопа вокруг оси симметрии OZ'), то приближенно можно считать, чтомомент импульса гироскопа L относительно точки O направлен по оси гироскопа OZ'и равенL = Iω ,где I – момент инерции гироскопа относительно оси OZ', Поэтому⎡ r⎤dL= [rC m g ] = ⎢ C Lm g ⎥ = [ΩL] ,dt⎣ Iω z'⎦где Ω = −mrCg – угловая скорость прецессии, а ω z′ = ω в случае, изображенном на рис.I ω z′I.4.3.
Чем больше угловая скорость собственного вращения гироскопа, тем медленнееон прецессирует.3°. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точкис угловой скоростью ω:Iω 2,Wк =2где I – момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения (I.1.5.6°).Элементарная работа, совершаемая за малый промежуток времени dt силой F, действующей на тело,δA = Mωdt = M dϕ = M ω dϕ ,где M = [rF] – момент силы F относительно точки O (r – радиус-вектор, проведенныйиз O в точку приложения силы F), dϕ = ωdt – угол поворота и вектор элементарногоповорота тела за время dt, а M ω – момент силы F относительно мгновенной оси вращения тела, равный проекции вектора М на направление вектора ω.Приращение кинетической энергии твердого тела за время dt равно работе внешних сил:dW к = M ωe dϕ ,где M ωe – главный момент внешних сил относительно мгновенной оси вращения тела(I.4.1.3°).4°.
Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси OZ с угловой скоростьюω, то его момент импульса относительно этой осиL z = I zω z .Здесь Iz – момент инерции тела относительно оси OZ, не изменяющийся с течениемвремени (Iz = const), a ω z = ω > 0 (ωz = ω, если векторы ω и орт оси OZ совпадают понаправлению, и ωz = –ω в противном случае).Основной закон, динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной осиOZ:Izгде ε =dω1= M ze или ε = M ze ,dtIzdω– угловое ускорение тела.dtИз последней формулы видно, что момент инерции твердого тела относительнокакой-либо неподвижной оси является мерой инертности этого тела во вращении вокруг данной оси: чем больше момент инерции тела, тем меньшее угловое ускорениеоно приобретает под действием одного и того же момента внешних сил.5°. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной осиOZ с угловой скоростью ω,Wк =1I zω 2 ,2Элементарная работа, совершаемая за малый промежуток времени dt силой F,приложенной к телу,δA = M zω dt = M z dϕ ,где Mz – момент силы F относительно оси вращения OZ (орт оси OZ совпадает по направлению с вектором ω).Приращение кинетической энергии твердого тела за время dt равно работе внешних сил:dW к = M ze dϕ ,где M ez – главный момент внешних сил относительно оси вращения тела.6°.
Движение свободного твердого тела удовлетворяет следующим двум дифференциальным уравнениям:d(m vC ) = F e и dLC = M Ce .dtdtЗдесь m – масса тела, vC – скорость его центра инерции C, Fe – главный вектор внешних сил, приложенных к телу (I.2.5.2°), M Сe – главный момент внешних сил относительно точки C (I.4.1.6°), a LC – момент импульса тела относительно той же точки C(I.4.1.7°).Первое уравнение описывает поступательное движение свободного тела со скоростью его центра инерции (I.2.5.3°). Второе уравнение вытекает из закона изменениямомента импульса (I.4.3.1°) и описывает вращение твердого тела вокруг его центраинерции (I.1.5.9°).7°.
Кинетическая энергия свободного твердого тела может быть найдена на основетеоремы Кёнига (I.3.2.4°):Wк =m vC2 I C ω 2+,22где IC – момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящейчерез его центр инерции C, ω – угловая скорость тела. В общем случае мгновенная осьперемещается в теле и момент инерции IC изменяется с течением времени. Величина ICостается постоянной, если движение тела является плоским (I.1.5.9°).Пример. Кинетическая энергия однородного кругового цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без проскальзывания.
Движение цилиндра – плоское: все еготочки движутся в параллельных друг другу вертикальных плоскостях. Цилиндр движется поступательно со скоростью vC, направленной вдоль наклонной плоскости, ивращается вокруг своей оси ( I C = mR 2 2 , где m и R – масса и радиус цилиндра) с угловой скоростью ω. Из условия отсутствия проскальзывания следует, что мгновенныескорости точек касания цилиндра о наклонную плоскость равны нулю, т. е. ω = vC R .Поэтому кинетическая энергия катящегося цилиндраWк =m vC2 I C ω 2 3+= m vC2 .224§ I.4.4.
Закон сохранения момента импульса1°. Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы(I.2.2.4°) относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени:dL≡ 0 и L = const .dtСоответственно, момент импульса замкнутой системы относительно ее центраинерции (I.4.1.7°) не изменяется с течением времени:dL C≡ 0 и LC = const .dtПодобно законам сохранения импульса и энергии, закон сохранения момента импульса далеко выходит за рамки классической механики. Он принадлежит к числу самых фундаментальных физических законов, так как связан с определенным свойствомсимметрии пространства – его изотропностью. Изотропность пространства проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не зависятот выбора направления осей координат инерциальной системы отсчета, т.
е. не изменяются при повороте в пространстве замкнутой системы как целого на любой угол.Согласно современным представлениям моментом импульса могут обладать нетолько частицы и тела, но также и поля, причем элементарные частицы и построенныеиз них системы (например, атомные ядра) могут иметь момент импульса, не связанныйс движением этих частиц в пространстве и называемый их спином (табл. VIII.2.2 иVIII.2.3).2°. Применительно к системам, описываемым классической (ньютоновской) механикой, закон сохранения момента импульса можно рассматривать как следствие законов Ньютона. Для замкнутой механической системы главный момент внешних сил относительно любой неподвижной точки (а также относительно центра инерции системы) тождественно равен нулю: M e ≡ 0 (соответственно M Сe ≡ 0 , см. (I.4.1.6°), гдеF = F e = 0 ), и из (I.4.3.1°) следует закон сохранения момента импульса:nL = ∑ [ri m i vi ] = const ,i =1где mi, ri и vi – масса, радиус-вектор и скорость i-й материальной точки системы, состоящей из n таких точек.Соответственно (см.
I.4.1.7° и I.2.5.3°),nni =1i =1L = ∑ [ri′m i v′i ] = ∑ [ri′m i vi ] = const ,где ri′ = ri − rC , v′i = vi − vC , а rC и vC – радиус-вектор и скорость центра инерции системы.3°. Если система не замкнутая, но действующие на нее внешние силы таковы, чтоих главный момент относительно неподвижной точки O тождественно равен нулю(Мe = 0), то согласно законам Ньютона (I.4.3.1°) момент импульса системы относительно той же точки O не изменяется с течением времени: L = const.
Этому условиюпрактически удовлетворяет, например, уравновешенный гироскоп (I.4.3.2°) с тремястепенями свободы, момент сил трения в подвесе которого достаточно мал. При любых поворотах подставки такого гироскопа, удерживающей в покое его центр подвеса,ось гироскопа сохраняет свою ориентацию относительно неподвижной инерциальнойсистемы отсчета.Обычно M e ≠ 0 и L ≠ const . Однако, если главный момент внешних сил относительно какой-либо неподвижной оси, проходящей через точку O, тождественно равеннулю, то момент импульса системы относительно этой оси не изменяется с течениемвремени.
Например, если M ze = 0 , то L z = const .В случае, когда система вращается вокруг неподвижной оси OZ, а главный моментвнешних сил относительно этой оси M ze = 0 , момент импульса системы относительнооси вращения не изменяется с течением времени:I zω = const ,где ω и Iz – угловая скорость и момент инерции системы.Если под действием внутренних сил, а также внешних сил, удовлетворяющих условию M ze = 0 , система деформируется и ее момент инерции Jz изменяется, то соответственно возрастает или убывает угловая скорость ω.4°. Свободными осями тела называются такие оси, вокруг которых свободноетвердое тело (I.2.2.3°) может вращаться с постоянной угловой скоростью ω в отсутствие всяких внешних воздействий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
