ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Следовательно, каждая из сил, одновременно действующих на материальmную точку, сообщает ей такое же ускорение, как если бы других сил не было (принципнезависимости действия сил).Дифференциальным уравнением движения материальной точки называется уравнениеmnd 2r=F=Fi .∑dt 2i =1В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат это уравнение имеет видmd 2xd2yd 2z=F,m=F,m= Fz ,xydt 2dt 2dt 2где х, у и z – координаты движущейся точки.§ I.2.5. Третий закон Ньютона. Движение центраинерции.1°.
Механическое воздействие тел друг на друга носит характер их взаимодейст-вия. Об этом говорит третий закон Ньютона: две материальные точки действуютдруг на друга с силами, которые численно равны и направлены в противоположныестороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.Если Fik – сила, действующая на i-ю материальную точку со стороны k-й, a Fki –сила, действующая на k-ю материальную точку со стороны i-й, то, согласно третьемузакону Ньютона,Fik = −Fki .Силы Fik и Fki приложены к разным материальным точкам и могут взаимно уравновешиваться только в тех случаях, когда эти точки принадлежат одному и тому жеабсолютно твердому телу.2°. Третий закон Ньютона является существенным дополнением к первому и вто-рому законам.
Он позволяет перейти от динамики отдельной материальной точки кдинамике произвольной механической системы (системы материальных точек). Изтретьего закона Ньютона следует, что в любой механической системе геометрическаясумма всех внутренних сил (I.2.2.4°) равна нулю:nn∑∑ Fi =1 k =1ik=0,где n – число материальных точек, входящих в состав системы, a Fii = 0.Вектор Fe, равный геометрической сумме всех внешних сил (I.2.2.4°), действующих на систему, называется главным вектором внешних сил:nF e = ∑ Fie ,i =1где Fie – результирующая внешних сил, приложенных к i-й материальной точке.3°.
Из второго и третьего законов Ньютона следует, что первая производная повремени t от импульса р механической системы (I.2.3.4°) равна главному вектору всехвнешних сил, приложенных к системе,dp= Fe .dtЭто уравнение выражает закон изменения импульса системы. Так как p = mvC где m –масса системы, a vC – скорость ее центра инерции, то закон движения центра инерциимеханической системы имеет видd(m vC ) = F e или m a C = F e ,dtгде aC = dvC/dt – ускорение центра инерции.
Таким образом, центр инерции механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе.Если рассматриваемая система – твердое тело, которое движется поступательно(I.1.5.1°), то скорости vi всех точек тела и его центра инерции vC одинаковы и равныскорости v тела.
Соответственно ускорение тела а = аC, и основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела имеет видma = F e .§ I.2.6. Движение тела переменной массы1°. В ньютоновской механике масса тела может изменяться только в результатеотделения от тела или присоединения к нему частиц вещества. Примером такого телаявляется ракета. В процессе полета масса ракеты постепенно уменьшается, так как газообразные продукты сгорания топлива в двигателе ракеты выбрасываются через сопло.Уравнение поступательного движения тела переменной массы (уравнение Мещерского):mdvdm,= F e + (v 1 − v )dtdtгде m и v – масса и скорость тела в рассматриваемый момент времени, Fe – главныйвектор внешних сил (I.2.5.2°), действующих на тело, v1 – скорость отделяющихся частиц после отделения (еслиния (dm< 0 ), либо присоединяющихся частиц до присоединеdtdm> 0 ).dt2°.
Второй член правой части уравнения Мещерского представляет собой допол-нительную силу, действующую на тело переменной массы. Эта сила называется реактивной силой:Fp = (v 1 − v)dmdm=u,dtdtгде u = v 1 − v – относительная скорость отделяющихся или присоединяющихся частиц, т. е. их скорость по отношению к системе отсчета, движущейся поступательновместе с телом.Реактивная сила характеризует механическое действие на тело отделяющихся отнего или присоединяющихся к нему частиц (например, действие на ракету вытекающей из нее струи газов).3°. Уравнение движения ракеты в отсутствие внешних сил:mdvdm=u.dtdtЕсли начальная скорость ракеты равна нулю, то ракета движется прямолинейно внаправлении, противоположном относительной скорости u струи газа на выходе изсопла двигателя.
В этом случаеmdvdm.= −udtdtи при u = const связь между скоростью ракеты и ее массой выражается формулой Циолковскогоv = u lnm0,mгде m0 – начальная (стартовая) масса ракеты.4°. Максимальная скорость, которую может развить ракета в отсутствие внешнихсил, называется характеристической скоростью. Эта скорость достигается в моментокончания работы двигателя из-за использования всего запаса топлива и окислителя,имевшегося на борту ракеты;v max = u lnm0,m0 − mТгде mт – начальная масса топлива и окислителя.Влияние тяготения Земли и сопротивления воздуха вызывают заметное уменьшение максимальной скорости, фактически приобретаемой ракетой в процессе работыдвигателя, по сравнению с ее характеристической скоростью.5°.
Характеристическая скорость составной (многоступенчатой) ракетыnv max = ∑ u i lni =1m 0i,m 0 i − m тiгде n – общее число ступеней ракеты, mтi – масса топлива и окислителя, предназначенных для работы двигателя i-й ступени, ui – относительная скорость истечения газов изсопла двигателя i-й ступени, m0i – стартовая масса части составной ракеты, включаю-щей все ступени ракеты с i-й по n-ю.
Увеличение характеристической скорости составной ракеты по сравнению с одноступенчатой, имеющей ту же стартовую массу итот же запас топлива и окислителя, связано с дополнительным уменьшением массыракеты путем последовательного отделения от нее первой, второй и следующих ступеней после сгорания всего топлива, имевшегося в этой ступени.§ I.2.7. Закон сохранения импульса1°. Закон сохранения импульса: импульс р замкнутой системы не изменяется с течением времени, т.
е.dp≡ 0 , и p = const .dtВ отличие от законов Ньютона, закон сохранения импульса справедлив не тольков рамках классической механики. Он принадлежит к числу самых основных (фундаментальных) физических законов, так как связан с определенным свойством симметрии пространства – его однородностью. Однородность пространства проявляется втом, что физические свойства замкнутой системы и законы ее движения не зависят отвыбора положения начала координат инерциальной системы отсчета, т.
е. не изменяются при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы как целого. Согласно современным представлениям импульсом могут обладать не только частицы итела, но также и поля. Например, свет оказывает давление на поверхность отражающего или поглощающего его тела именно потому, что электромагнитное поле световойволны обладает импульсом.2°. Применительно к системам, описываемым классической (ньютоновской) механикой, закон сохранения импульса можно рассматривать как следствие законов Ньютона. Для замкнутой механической системы главный вектор внешних сил Fe ≡ 0, и из(I.2.5.3°) следует закон сохранения импульсаnp = ∑ mi v i = const ,i =1где mi и vi – масса и скорость i-й материальной точки системы, состоящей из n точек.Соответственно не изменяются и проекции импульса замкнутой системы на осидекартовых координат инерциальной системы отсчета:npx = ∑ m i v xi = const ,i =1np y = ∑ m i v yi = const ,i =1npz = ∑ m i v zi = const .i =1Импульс системы p = mvC, где m – масса всей системы, a vC – скорость ее центраинерции (I.2.3.4°).
Поэтому из закона сохранения импульса следует, что при любыхпроцессах, происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра инерции не изменяется: vC = const.3°. Если система не замкнута, но действующие на нее внешние силы таковы, чтоих главный вектор тождественно равен нулю (Fe = 0), то, согласно законам Ньютона(I.2.5.3°), импульс системы не изменяется с течением времени: р = const.Обычно Fe ≠ 0 и р ≠ const. Однако если проекция главного вектора внешних силна какую-либо неподвижную ось тождественно равна нулю, то проекция на ту же осьвектора импульса системы не изменяется со временем. Так, px = const при условии, чтоFxe ≡ 0 . Например, если на систему не действуют другие внешние силы, кроме силытяжести, то перпендикулярная к направлению этой силы горизонтальная составляющая импульса системы не изменяется.4°.
В некоторых процессах (например, при ударе или выстреле) импульсы частейсистемы претерпевают большие изменения за сравнительно короткие промежуткивремени. Это связано с возникновением в системе кратковременных, но весьма значительных по величине внутренних сил взаимодействия частей системы, по сравнению скоторыми все постоянно действующие на систему внешние силы (например, сила тяжести) оказываются малыми. В таком процессе обычно можно пренебречь действиемна систему внешних сил, т. е.
можно приближенно считать, что импульс всей системыв целом не изменяется в рассматриваемом процессе.§I.2.8.ПреобразованияГалилея.Механическийпринцип относительности.1°. Преобразованиями Галилея называются преобразования координат и времени,применяемые в ньютоновской механике при переходе от одной инерциальной системыотсчета K (х, у, z, t) к другой K' (х', у', z', t'), которая движется относительно K поступательно с постоянной скоростью V, Преобразования Галилея основываются на аксиомах об абсолютности промежутков времени и длин.Первая аксиома утверждает, что ход времени (соответственно промежуток времени между какими-либо двумя событиями) одинаков во всех инерциальных системахотсчета. Согласно второй аксиоме размеры тела не зависят от скорости его движенияотносительно системы отсчета.Рис. I.2.2Рис. I.2.3Если сходственные оси декартовых координат инерциальных систем отсчета K иK' проведены попарно параллельно друг другу и если в начальный момент времени(t = t' = 0) начала координат O и О' совпадают друг с другом (рис.
I.2.2), то преобразования Галилея имеют видx ′ = x −V x t , y ′ = y − V y t , z ′ = z −V z t , t = t ′илиr′ = r − Vt , t = t ′ ,где х, у, z и x', у', z' – координаты точки М в системах отсчета K (в момент времени t) иK' (в момент времени t' = t) r и r’ – радиусы-векторы точки М в тех же системах отсчета, a Vx, Vy и Vz – проекции скорости V системы K' на оси координат системы K.Обычно оси координат проводят так, что система K' движется вдоль положительного направления оси ОХ (рис.
I.2.3). В этом случае преобразования Галилея имеютнаиболее простой вид:x ′ = x −Vt , y = y ′ , z = z ′ , t = t ′ .2°. Из преобразований Галилея вытекает следующий закон преобразования скорости произвольной точки М (рис. I.2.2): при переходе от одной инерциальной системыотсчета K (скорость точки v = dr/dt) к другой K' (скорость той же точки v' = dr/dt)v' = v − V .Соответственно преобразуются и проекции скорости на сходственные оси координат:v′x ′ = v x −V x , v′y ′ = v y −V y , v′z′ = vz −V z .В частности, при движении системы K' вдоль положительного направления осиОХ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
