ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения точки. Они эквивалентны одному векторномууравнению движения точки: r = r(t).3°. Линия, описываемая в пространстве движущейся точкой, называется траекторией этой точки. Кинематические уравнения движения точки задают уравнение ее траектории в параметрической форме (параметр – время t). В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение точки.
Движение точкиназывается плоским, если ее траектория целиком лежит в одной плоскости. Механическое движение тела относительно, т. е. его характер и, в частности, вид траекторий точек тела зависят от выбора системы отсчета.4°. В общем случае траектория материальной точки представляет собой не плоскую, а пространственную кривую. Для такой кривой вводится понятие соприкасающейся плоскости. Соприкасающейся плоскостью в произвольной точке М кривой называется предельное положение плоскости, проходящей через любые три точки кривой,когда эти точки неограниченно приближаются к точке М. Соприкасающейся окружно-стью в точке М кривой называется предел окружности, проходящей через три точкирассматриваемой кривой, когда эти точки неограниченно приближаются к точке М.
Соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся плоскости. Центр соприкасающейся окружности и ее радиус называются соответственно центром кривизны и радиусом кривизны рассматриваемой кривой в точке М. Прямая, соединяющая точку М сцентром кривизны, называется главной нормалью к кривой в точке М. Касательная ккривой в точке М перпендикулярна к главной нормали в этой точке и также лежит в соприкасающейся плоскости.5°.
Длиной пути точки называется сумма длин всех участков траектории, пройденных этой точкой за рассматриваемый промежуток времени. Момент времени t = t0, ранее которого движение точки не рассматривается, называется начальным моментом времени, а положение точки в этот момент (точка А на рис. I.1.2) – начальным положением. В силу произвольности выбора начала отсчета времени обычно полагают t0 = 0.
Длина пути s, пройденного точкой из ее начального положения, являетсяскалярной функцией времени s = s(t), причем, как видноРис. I.1.2из самого определения, длина пути точки не может бытьотрицательной величиной. Если точка движется по дуге траектории АВ (рис. I.1.2) всевремя в одном направлении и в момент времени t находится в точке М, то s(t) = AM. Если же точка движется по траектории более сложным образом, например к моментувремени t1 < t перемещается из А в B, а затем, двигаясь в обратном направлении, к моменту времени t возвращается в точку М, то s(t) = АВ + ВМ.6°. Вектором перемещения точки за промежуток времени от t = t1 до t = t2 называется вектор, проведенный из положения точки в момент t1 в ее положение в момент t2.Он равен приращению радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времениr2 − r1 = r (t 2 ) − r (t1 ) .Вектор перемещения всегда направлен вдоль хорды, стягивающей соответствующийучасток траектории.На рис.
I.1.2 показан вектор перемещения точки за промежуток времени от t0 до t,r − r0 = r (t ) − r (t 0 ) .Вектор перемещения точки за промежуток времени от t до t + ∆t равен∆r = r (t + ∆t ) − r (t ) = ∆xi + ∆yj + ∆zk ,где x, y и z – приращения (изменения) координат точки за рассматриваемый промежуток времени.7°. Материальная точка, свободно движущаяся в пространстве, может совершатьтолько три независимых движения, т. е. таких, каждое из которых нельзя представить ввиде комбинации остальных. Действительно, движение точки вдоль каждой из осейпрямоугольной декартовой системы координат нельзя осуществить за счет ее движениявдоль остальных двух осей.
Число независимых движений, которые может совершатьмеханическая система, называется числом степеней свободы этой системы. Итак, свободная материальная точка имеет три степени свободы.§ I.1.3. Скорость1°. Для характеристики быстроты движения тел в механике вводится понятие скорости. Средней скоростью движущейся точки в интервале времени от t до t = t называется вектор v , равный отношению приращения ∆r радиуса-вектора точки в этот промежуток времени к его продолжительности t:v=∆r.∆tВектор v направлен так же, как r, т, е. вдоль хорды, стягивающей соответствующий участок траектории точки.2°.
Скоростью (или мгновенной скоростью) точки называется векторная величинаv, равная первой производной по времени от радиуса-вектора r рассматриваемой точки:v=dr.dtСкорость точки в момент времени t равна пределу средней скорости v при неограниченном уменьшении продолжительности интервала t:∆r= lim v .∆t →0 ∆t∆t → 0v = limВектор v скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения так же, как и вектор dr = v dt малого перемещения точки за очень короткий промежуток времени dt.Путь ds, проходимый точкой за время dt, равен модулю вектора перемещения:ds = |dr|. Поэтому модуль вектора скорости точки равен первой производной от длиныпути по времени:v= v =ds.dt3°.
Разложение вектора v по базису прямоугольной декартовой системы координатимеет видv = vx i + v y j + vz k .Проекции скорости точки на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки:vx =dxdydz, vy =, vz = ,dtdtdtа модуль вектора скорости222⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞v = v = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ .⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠4°. При прямолинейном движении точки направление вектора ее скорости сохраняется неизменным.
Движение точки называется равномерным, если модуль ее скоростине изменяется с течением времени: v = ds/dt = const. При равномерном движении точкидлина пройденного ею пути s зависит от времени линейно: s = vt (при условии, чтоt0 = 0, см. I.1.2.5°).Если модуль скорости точки увеличивается с течением времени (dv/dt > 0), то движение называется ускоренным, если же он убывает с течением времени (dv/dt < 0), тодвижение называется замедленным.5°. Средней путевой скоростью неравномерного движения точки на данном участке ее траектории называется скалярная величина v , равная отношению длины ∆s этогоучастка траектории к продолжительности ∆t прохождения его точкой:v=∆s.∆tОна равна модулю вектора скорости такого равномерного движения, при котором напрохождение этого же самого пути ∆s затрачивается столько же времени, сколько и врассматриваемом неравномерном движении.При криволинейном движении точки |∆r| < ∆s.
Поэтому в общем случае средняяпутевая скорость точки v не равна модулю средней скорости точки v на том же участке траектории (I.1.3.1°): v > v , где знак равенства соответствует прямолинейномуучастку траектории.6°. В случае плоского движения точки (I.1.2.3°) часто удобно пользоваться полярными координатами r и φ, где r – расстояние от полюса О до точки М, а φ – полярныйугол, отсчитываемый от полярной оси ОА (рис.
I.1.3). Скорость v точки М можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие – радиальную скорость vr и трансверсальную скорость vφ:v = v r + vϕ ,Рис. I.1.3причемvr =dϕ1 dr[kr] .r и vϕ =r dtdtЗдесь r – полярный радиус-вектор точки М, a k – единичный вектор, направленныйперпендикулярно к плоскости движения точки так, что из его конца вращение вектора r при увеличении полярного угла φ видно происходящим против часовой стрелки.Модуль вектора скорости v точки М, совершающей плоское движение:22⎛ dr ⎞ ⎛ dϕ ⎞v = ⎜ ⎟ + ⎜r⎟ .⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠За малое время dt полярный радиус-вектор r точки, совершающей плоское движение, прочерчивает круговой сектор площадью dS =σ=называют секторальной скоростью.1 2r dϕ .
Поэтому величину2dS 1 2 dϕ 1= r= rvϕdt 2 dt 2§ I.1.4. Ускорение1°. Для характеристики быстроты изменения вектора скорости точки вводится понятие ускорения. Средним ускорением точки в интервале времени от t до t + ∆t называется вектор a , равный отношению приращения ∆v вектора скорости точки за этотпромежуток времени к его продолжительности ∆t :a=∆v.∆t2°. Ускорением (или мгновенным ускорением) точки называется векторная величина a, равная первой производной по времени от скорости v рассматриваемой точки или,что то же самое, второй производной по времени от радиуса-вектора r этой точки:a=dv d 2 r=.dt dt 2Ускорение точки в момент времени t равно пределу среднего ускорения a при неограниченном уменьшении продолжительности интервала ∆t:∆v= lim a .∆ t → 0 ∆t∆t → 0a = lim3°.
Разложение вектора а по базису прямоугольной декартовой системы координат:a = axi + a y j + azk .Проекции ускорения на оси координат равны первым производным по времени отсоответствующих проекций скорости или, что то же самое, вторым производным повремени от соответствующих координат точки:ax =dv y d 2 ydv x d 2 xdvd 2z= 2 , ay == 2 , az = z = 2 ,dtdtdtdtdtdtа модуль вектора ускорения222222⎛ d 2 x ⎞ ⎛ d 2 y ⎞ ⎛ d 2z ⎞⎛ dv ⎞ ⎛ dv y ⎞ ⎛ dvz ⎞⎟⎟ + ⎜⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ .a = a = ⎜ x ⎟ + ⎜⎜=⎟⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠4°.
Вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости (I.1.2.4°), прове-денной в рассматриваемой точке М траектории, и направлен в сторону вогнутостиРис. I.1.4траектории ВС (рис. I.1.4). В этой плоскости вектор ускорения а можно разложитьна две взаимно перпендикулярные составляющие aτ и an:a = aτ + a n .5°. Составляющая aτ называется касательным, или тангенциальным, ускорениемточки. Она направлена по касательной к траектории точки и равнаaτ =где τ =dvdvτ и aτ =,dtdtv– единичный вектор касательной, проведенный в точке М траектории в наvправлении скорости v точки, aτ – проекция касательного ускорения на направлениевектора v.
Касательное ускорение характеризует быстроту изменения модуля вектораскорости точки. Векторы aτ и v совпадают по направлению, т. е. aτ > 0 при ускоренном движении точки (I.1.3.4°); векторы aτ и v взаимно противоположны по направлению, т. е. aτ < 0 при замедленном движении точки и aτ = 0 при ее равномерномдвижении. Если aτ = const ≠ 0, то движение называется равнопеременным. При равнопеременном движении модуль скорости точки зависит от времени линейно:v = v0 + aτ t ,где v0 – модуль начальной скорости, т.
е. скорости в начальный момент времени t = 0.Если aτ = const > 0, то движение точки называется равноускоренным, если aτ = const << 0, то движение точки называется равнозамедленным.6°. Составляющая an ускорения a точки называется ее нормальным ускорением .Она направлена по главной нормали к траектории в рассматриваемой точке М всторону к центру кривизны траектории (I.1.2.4°). Поэтому an часто называют такжецентростремительным ускорением точки. Нормальное ускорение равноan =v2n,Rгде n – единичный вектор главной нормали, a R – радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления вектора скороститочки.Если точка движется прямолинейно, то нормальное ускорение an = 0 и ускорениеточки равно ее касательному ускорению: а = aτ.§ I.1.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
