ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 70

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 70)

Поступательное и вращательное движениятвердого тела.1°. Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, прикотором любая прямая, жестко связанная с телом (например, прямая АВ на рис. I.1.5),перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению (A0B0). Поступательно движутсяотносительно Земли, например, кабина лифта, резец токарного станка, стрелка компаса при перемещении егокорпуса в горизонтальной плоскости и т. д. При поступательном движении твердого тела все его точки переме-Рис. I.1.5щаются совершенно одинаково: за малое время dt радиусы-векторы этих точек изменяются на одну и ту же ту же величину dr. Соответственно в каждый момент временискорости всех точек тела одинаковы и равны dr/dt, а следовательно, одинаковы и ихускорения.

Поэтому кинематическое рассмотрение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения любой из его точек. В динамике обычно рассматривают движение центра инерции тела (I.2.3.3°). Твердое тело, свободно движущееся в пространстве, имеет три поступательные степени свободы (I.1.2.7°), соответствующие его поступательным перемещениям вдоль трех осей координат.2°. Движение твердого тела, при котором две его точки A и B остаются неподвиж-ными, называется вращением (или вращательным движением) тела вокруг неподвижной оси.

Неподвижная прямая АВ называется осью вращения тела. При вращении вокруг неподвижной оси все точки тела описывают окружности, центры которых лежатна оси вращения, а плоскости перпендикулярны к ней. Такого рода движение относительно Земли совершают, например, роторы турбин, электромоторов и генераторов,установленных неподвижно на Земле. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы (I.1.2.7°). Его положение в пространстве полностью определяется значением φ угла поворота тела из некоторого определенного (начального) положения.3°.

Для характеристики быстроты и направления вращения тела вокруг оси служитугловая скорость. Угловой скоростью называют вектор ω, который численно равенпервой производной от угла поворота φ по времени t и направлен вдоль неподвижнойоси вращения так, чтобы из его конца вращение тела было видно происходящим против часовой стрелки (рис.I.1.6)**.ω=dϕ.dtЗдесь dω – вектор элементарного (малого) поворота тела за время dt, направленныйвдоль оси вращения также по правилу винта (рис. I.1.6).Аксиальные векторы dφ и ω не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Нарис. I.1.6 они отложены из некоторой точки O неподвижной оси вращения, принимаемой одновременно за начало координат системы отсчета.Вращение тела называется равномерным, если численное значение его угловой скорости не меняется с течением времени: ω = const.В этом случае угол поворота тела зависит линейно от времени: ϕ = ωt .4°.

Произвольная точка М твердого тела, вращающегося вокругнеподвижной оси OZ с угловой скоростью ω, описывает окружностьрадиуса ρ с центром в точке О' (рис. I.1.7). Скорость v точки М, в от-Рис. I.1.6личие от угловой скорости тела, часто называют линейной скоростью. Она направленаперпендикулярно как оси вращения (т. е.

вектору ω), так и к радиус-вектору ρ, проведенному в точку М из центра окружности О', и равна их векторному произведению:v = [ωρ ] = [ω r] .Здесь r = OO' +ρ – радиус-вектор точки М, проведенный из точки O оси вращения,принятой за начало координат.**Направление вектора ω можно также определить по правилу винта: оно совпадает снаправлением поступательного движения правого винта, вращающегося вместе с телом.

Векторы, подобные ω, направление которых связывается с направлением вращения и изменяется на противоположное при переходе от правой системы координат клевой, называются псевдовекторами или аксиальными векторами (в отличии от полярных векторов). Например, векторное произведение двух полярных векторов являетсяпсевдовектором, а векторное произведение псевдовектора и полярного вектора – полярным вектором.5°. Периодом вращения называется промежуток времени T, в течение которого те-ло, равномерно вращаясь с угловой скоростью ω, совершает один оборот вокруг осивращения (поворачивается на угол ϕ =2 π ): T =Частота вращения n =2πω.1 ωпоказывает число оборотов,=T 2πсовершаемых телом за единицу времени при равномерном вращении с угловой скоростью ω.6°. Движение твердого тела, при котором одна из его точекРис.

I.1.7остается неподвижной, называется вращением тела вокруг неподвижной точки. Обычно эту точку принимают за начало координат неподвижнойсистемы отсчета. При вращении вокруг неподвижной точки все точки тела движутсяпо поверхностям концентрических сфер, центры которых находятся в неподвижнойточке. В каждый момент времени это движение тела можно рассматривать как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку и называемой мгновенной осью вращения.

В общем случае положение мгновенной оси вращения изменя-ется по отношению как к неподвижной системе отсчета, так и к системе отсчета, жестко связанной с вращающимся телом.Скорость v произвольной точки М тела равнаv = [ωr] и v = ωρ .Здесь ω =dϕ– угловая скорость тела, направленная вдоль мгновенной оси вращения,dtтак же как и вектор dω элементарного поворота тела за малое время dt, r – радиусвектор, проведенный в точку М из неподвижной точки О, вокруг которой вращаетсятело, а ρ – расстояние от точки М до мгновенной оси вращения. Тело может совершатьтри независимых движения – вращаться вокруг каждой из трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через неподвижную точку O.

Следовательно, оно имеет тристепени свободы (I.1.2.7°).7°. Для характеристики быстроты изменения вектора угловой скорости тела принеравномерном вращении тела вокруг неподвижной оси или при его вращении вокругнеподвижной точки вводится вектор ε углового ускорения тела, равный первой производной от его угловой скорости ω по времени t,ε =dω.dtЕсли тело вращается вокруг неподвижной оси, то вектор ε направлен вдоль этой⎛ dω⎞оси в ту же сторону, что ω, при ускоренном вращении ⎜> 0 ⎟ и в противоположную⎝ dt⎠⎛ dω⎞– при замедленном вращении ⎜< 0 ⎟ . Проекция углового ускорения на неподвиж⎝ dt⎠ную ось вращения OZ равнаεz =dω z,dtгде ωz – проекция на ту же ось вектора ω.8°.

Ускорение a произвольной точки М тела, вращающегося вокруг неподвижнойточки O или неподвижной оси, проходящей через эту точку, часто называют, в отличие от углового ускорения тела, линейным ускорением. Оно равноa=где а вр = [εrdv d= [ωr] = a вр + а ос ,dt dt] – вращательное ускорение точки, аa ос = [ω[ωr]] – осестремительное ус-корение точки, направленное к мгновенной оси вращения.Если тело вращается вокруг неподвижной оси OZ (рис. I.1.7), то вращательное ускорение точки М совпадает с ее касательным ускорением aτ (I.1.4.5°), а осестремительное – с нормальным ускорением an (I.1.4.6°):a τ = [εr ] = [ερ ] , an = −ω 2 ρ .9°. Всякое сложное движение твердого тела можно разложить на два простыхдвижения: поступательное со скоростью vA некоторой произвольно выбранной точки Атела и вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку. Угловая скорость вращения ω не зависит от выбора точки A.

Скорость произвольной точки М телаv = v A + [ω(r − rA )] ,где r и rA – радиусы-векторы точек М и A соответственно.В динамике твердого тела обычно удобно рассматривать сложное движение телакак совокупность двух одновременно совершающихся движений – поступательного соскоростью центра инерции (I.2.3.3°) и вращения вокруг центра инерции.Простейший случай сложного движения тела – плоское, или плоскопараллельное,движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Такоедвижение совершает, например, однородный круговой цилиндр, скатывающийся с наклонной плоскости. При плоском движении направление мгновенной оси вращениятела вокруг точки А не изменяется, а векторы ω и vA взаимно перпендикулярны.ГЛАВА I.2.

ЗАКОНЫ НЬЮТОНА§I.2.1.ПервыйзаконНьютона.Инерциальныесистемы отсчета1°. В качестве первого закона динамики Ньютон принял закон, установленный ещеГалилеем: материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ееиз этого состояния.Первый закон Ньютона показывает, что состояние покоя или равномерного ипрямолинейного движения не требует для своего поддержания каких-либо внешнихвоздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое ихинертностью.

Соответственно первый закон Ньютона называют законом инерции, адвижение тела в отсутствие воздействий со стороны других тел – движением по инерции.2°. Механическое движение относительно: его характер для одного и того же теламожет быть различным в разных системах отсчета (I.1.2.1°), движущихся друг относительно друга. Например, космонавт, находящийся на борту искусственного спутникаЗемли, неподвижен в системе отсчета, связанной со спутником. В то же время по отношению к Земле он движется вместе со спутником по эллиптической орбите, т.

е. неравномерно и не прямолинейно. Естественно поэтому, что первый закон Ньютонадолжен выполняться не во всякой системе отсчета. Например, шар, лежащий на гладком полу каюты корабля, который идет равномерно и прямолинейно, может прийти вдвижение по полу без всякого воздействия на него со стороны каких-либо тел. Дляэтого достаточно, чтобы скорость корабля начала изменяться.Система отсчета, по отношению к которой материальная точка, свободная отвнешних воздействий, покоится или движется равномерно и прямолинейно, называется инерциальной системой отсчета.

Содержание первого закона Ньютона сводится посуществу к двум утверждениям: во-первых, что все тела обладают свойством инертности и, во-вторых, что существуют инерциальные системы отсчета.3°. Любые две инерциальные системы отсчета могут двигаться друг относительнодруга только поступательно и притом равномерно и прямолинейно. Экспериментальноустановлено, что практически инерциальна гелиоцентрическая система отсчета, начало координат которой находится в центре инерции (I.2.3.3°) Солнечной системы (приближенно – в центре Солнца), а оси проведены в направлении трех удаленных звезд,выбранных, например, так, чтобы оси координат были взаимно перпендикулярны.Лабораторная система отсчета, оси координат которой жестко связаны с Землей, неинерциальна главным образом из-за суточного вращения Земли. Однако Землявращается столь медленно, что максимальное нормальное ускорение (I.1.4.6°) точек ееповерхности в суточном вращении не превосходит 0,034 м/с2.

Поэтому в большинствепрактических задач лабораторную систему отсчета можно приближенно считать инерциальной.4°. Инерциальные системы отсчета играют особую роль не только в механике, нотакже и во всех других разделах физики. Это связано с тем, что согласно принципу относительности Эйнштейна (I.5.1.2°) математическое выражение любого физическогозакона должно иметь один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться, не оговаривая это каждый раз, толькоинерциальными системами отсчета.

Характеристики

Список файлов лекций