ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Основной закон релятивистской динамики1°. В релятивистской механике, в отличие от классической, масса материальнойточки не постоянна, а зависит от скорости v этой точки. Ее значение m различно вдвижущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета. Зависимостьмассы от скорости выражается формулойm=m01 − v2 c2,где m0 – масса покоя частицы (материальной точки), т. е. ее масса, измеренная в тойинерциальной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое, c –скорость света в вакууме.
Массу m часто называют релятивистской массой.Влияние скорости частицы на величину ее массы становится существенным только при значениях v, близких к c. Например, m/m0 = 1,005 при v/c = 0,1 и m/m0 = 2,29при v/c = 0,9. Из закона зависимости m от v видно, что частицы с массой покоя m0 ≠ 0не могут двигаться со скоростями, большими или равными c (v < с). В то же времячастицы, масса покоя которых равна нулю (фотоны (V.6.1.4°) и нейтрино(табл.VIII.2.2)), не могут иметь скорость, отличную от c.2°.
Импульс материальной точки p = mv является нелинейной функцией ее скоро-сти:p=m0v1 − v2 c2.Вектор p иногда называют релятивистским импульсом материальной точки (вотличие от значения m0v ее импульса в классической механике). Очевидно, что приv << с импульс p = mv ≈ m 0 v .В силу однородности пространства (I.2.7.1°) в релятивистской механике справедлив закон сохранения релятивистского импульса: импульс замкнутой системы(I.2.2.4°) не изменяется с течением времени.Из этого закона следует закон сохранения релятивистской массы: при любыхпроцессах, происходящих в замкнутой системе, ее полная релятивистская масса не изменяется.3°. Основной закон релятивистской динамики: скорость изменения импульса ма-териальной точки равна силе F, действующей на эту точку:m0vd ⎛⎜dp= F или⎜dt ⎝ 1 − v 2 / c 2dt⎞⎟=F.⎟⎠Примечание.
Если на материальную точку одновременно действует несколькосил, то под силой F нужно понимать равнодействующую силу (I.2.2.2°).4°. Элементарная работа силы F на малом перемещении dr точки ее приложенияδA = ( Fdr) = ( Fv)dt .Из основного закона релятивистской динамики (п. 3°) и формулы зависимостимассы от скорости (п. 1°) следует, чтоF=mdvdmdmmv dv+vи= 2.dtdtdt c − v 2 dtПоэтомуδA = ( Fv)dt = m ( vdv) + v 2 dm = mv ⋅ dv + v 2 dm = c 2 dm .5°.
Ускорение, сообщаемое материальной точке силой F,a=dv F v dm 1 ⎡v⎤= −= ⎢F − 2 ( Fv)⎥ .dt m m dt m ⎣c⎦Следовательно, в отличие от классической механики, в релятивистской механике ускорение материальной точки, вообще говоря, не совпадает по направлению с силой,вызывающей это ускорение. Вектор a коллинеарен силе F только в двух случаях:а) сила F направлена перпендикулярно скорости v точки (поперечная сила), такчто (Fv) = 0 иFFv2a= =1− 2 ;m m0cб) сила F направлена параллельно вектору v скорости точки (продольная сила),так что v(Fv) = v2F иF ⎛ v2a = ⎜⎜1 − 2m⎝ c⎞ F ⎛ v2⎟⎟ =⎜⎜1 − 2⎠ m0 ⎝ c3⎞ 2⎟⎟ .⎠Продольная сила сообщает материальной точке ускорение в (1 – v2/с2)-1 раз меньшее, чем такая же по величине поперечная сила.
Это связано с тем, что поперечная сила вызывает изменение скорости точки только по направлению (модуль v скорости ирелятивистская масса точки не изменяются), а продольная сила вызывает изменениезначения модуля скорости точки и ее массы.§ I.5.7. Закон взаимосвязи массы и энергии1°. Приращение кинетической энергии Wк материальной точки равно работе, совершаемой действующей на эту точку силой F (I.5.6.4°):dW к = δA = c 2 dm ,где dm –приращение релятивистской массы материальной точки. Отсюда следует, что⎡⎤1− 1⎥ ,dW к = ( m − m 0 )c 2 = m 0 c 2 ⎢⎢⎣ 1 − v 2 c 2 ⎥⎦1где m0 – масса покоя точки. Разлагая1 − v2 c2⎡ 1 ⎛ v2dW к = m 0 c ⎢ ⎜⎜ 2⎢⎣ 2 ⎝ c2в ряд Маклорена, получаем4⎤⎞ 3⎛v⎞⎟⎟ + ⎜ ⎟ + ...⎥ .⎠ 8⎝ c ⎠⎥⎦При v << c эта формула приводит к обычному выражению кинетической энергии вклассической механике:m 0 v2 mv2Wк ==.222°.
Из первой формулы п. 1° следует, что увеличение кинетической энергии теладолжно сопровождаться соответствующим увеличением его релятивистской массы m:dm =1dW к .c2Изменение других видов энергии тела также связано с увеличением его массы.Например, если при нагревании покоящегося тела его внутренняя энергия (II.2.1.2°)увеличивается на dU, то масса m этого тела, равная его массе покоя m0, увеличиваетсянаdm = dm 0 =1dU .c2В общем случае изменение полной энергии W тела на dW сопровождается изменением его релятивистской массы m на величинуdm =1dW .c2Соответственно, между W и m существует универсальное соотношение:W = mc 2 =m 0 c21 − v2 c2,которое выражает закон взаимосвязи массы и энергии: полная энергия тела (или системы) равна произведению релятивистской массы этого тела (или системы) на квадратскорости света в вакууме.В силу однородности времени (I.3.4.2°) в релятивистской механике, как и в классической, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы(I.2.2.4°) не изменяется с течением времени.Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что законы сохранения релятивистской массы (I.5.6.2°) и полной энергии не являются независимыми законами.3°.
Полная энергия покоящейся частицы или системы частиц (например, атомногоядра, атома, молекулы, тела), равнаяW = m 0c2 ,где m0 – масса покоя, называется энергией покоя частицы или системы. Значения m0 иW0 не зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Для бесструктурной (элемен-тарной) частицы они являются неизменными ее характеристиками, подобно, например,электрическому заряду и спину частицы (табл. VIII.2.2). Масса и энергия покоя системы частиц зависят от состава системы и от ее внутреннего состояния. Например, массапокоя «возбужденного» ядра (или атома) больше, чем масса покоя того же ядра (илиатома) в нормальном состоянии.4°.
Полная энергия частицы W и ее импульс p связаны соотношениями:p=WWv и 2 − p2 = m 02 c 2 или W =2ccp 2 c 2 + m 02 c 4 .Значения полной энергии, релятивистской массы и импульса частицы, в отличиеот ее массы покоя m0, относительны, т. е. различны в двух инерциальных системах отсчета K (W, m и p) и K' (W, m' и p').
Однако разность квадрата полной энергии частицы,деленной на с2, и квадрата импульса этой частицы, подобно интервалу между двумясобытиями (I.5.4.8°), не зависит от выбора инерциальной системы отсчета:22⎛W ′ ⎞⎛W ⎞222 2⎜⎟ − ( p′) = ⎜ ⎟ − p = m 0 c .⎝ c ⎠⎝ c ⎠5°. При переходе от одной инерциальной системы отсчета K к другой K', движущейся со скоростью V = const вдоль оси ОХ (рис. I.2.3, см. I.2.8.1°), проекции импульсачастицы на оси координат и ее полная энергия преобразуются следующим образом:VWVW ′′+p′xc2 , p =c2 ,p′x ′ =x1 −V 2 c 21 −V 2 c 2p′y ′ = p y ,py = p′y ′ ,pz′′ = pz ,pz = pz′′ ,W −Vp xW ′ +V p′x ′, W =.W ′=221 −V c1 −V 2 c 2px −6°. Из закона сохранения релятивистской массы (I.5.6.2°) и полной энергии (п.
2°)вовсе не следует, что масса и энергия покоя замкнутой системы не могут изменяться.Например, сумма масс покоя свободных протонов и нейтронов всегда больше, чеммасса покоя образованного из них атомного ядра.Для характеристики систем, обладающих запасом прочности (например, атомныхядер, атомов, молекул и т. п.), вводится понятие энергии связи. Энергия связи системыизмеряется наименьшей работой, которую нужно совершить, чтобы разложить систему на ее составные части (например, атом – на ядро и электроны). Энергия связи системыnW св = ∑ m 0i c 2 − M 0 c 2 ,i =1где M0 – масса покоя системы, состоящей из n частиц, а m0i – масса покоя i-й частицы всвободном состоянии.
Величинуn∆m = ∑ m 0 i − M 0 =i =1иногда называют дефектом массы системы.W свc2ГЛАВА I.6. ТЯГОТЕНИЕ§ I.6.1. Закон всемирного тяготения1°. Закон всемирного тяготения И. Ньютона гласит: между всякими двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения, которые прямо пропорциональны массам точек и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними. Эти силы называются силами тяготения или гравитационными силами. Если m1 иm2 – массы рассматриваемых материальных точек, а r1 и r2 – радиусы-векторы этихточек, то по закону всемирного тяготения на первую точку со стороны второй действует сила F12, а на вторую со стороны первой – сила F21, которые равны по модулю ипротивоположны по направлению:F12 = −γm1m 2mmr12 , F21 = −γ 1 3 2 r21 .3r21r12Здесь r12 = r1 – r2 и r21 = r2 – r1 – радиусы-векторы, проведенные соответственно извторой точки в первую и из первой во вторую, a r12 = r21 = r12 = r21 – расстояние междуэтими точками.
Коэффициент пропорциональности γназывается гравитационной постоянной. Гравитационная постоянная численно равна силе взаимного тяготения двух материальных точек единичной массы,Рис. I.6.1находящихся на единичном расстоянии друг от друга. Из опытов найдено, чтоγ = ( 6,6720 ± 0,0041) ⋅10 −11Н ⋅ м2.кг 22°.
Гравитационное взаимодействие двух тел произвольных размеров и формы(рис. I.6.1) описывается формулойF12 = −γ∫ ρ dV ∫1(V1 )1ρ23(V 2 ) 12rr12 dV 2 ,где r12 – радиус-вектор, проведенный из малого элемента dV2 объема второго тела вмалый элемент dV1 объема первого тела, ρ1 и ρ2 – плотности указанных элементов тел,а интегрирование проводится по всему объему обоих тел.Расчет силы F12 значительно упрощается в следующих двух случаях:а) распределение масс во взаимодействующих телах сферически симметрично,т.
е. оба тела имеют шарообразную форму, а плотность каждого из них зависит толькоот расстояния до его центра (в частности, тела могут быть однородными);б) одно из тел имеет ничтожно малые размеры по сравнению со вторым, распределение масс в котором сферически симметрично. В указанных случаяхF12 = −γm1m 2r12 ,r123где m1 и m2 – массы тел, а r12 – радиус-вектор, соединяющий центры инерции (I.2.3.3°)второго и первого тел.3°.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
