ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Согласно (I.1.3.6°) L = rm vϕ , где vφ – трансверсальнаяскорость планеты. Поэтому орбитальное движение планеты удовлетворяет условиюr2dϕ L= = const ,dt mгде r и φ – полярные координаты планеты.Второе условие накладывается законом сохранения механической энергии:Wк + Wп = W = const. Согласно (I.1.3.6°) и (I.6.2.2°)2222m v 2 m ⎡⎛ dr ⎞ ⎛ dϕ ⎞ ⎤ m ⎡⎛ dr ⎞ ⎛ L ⎞ ⎤= ⎢⎜ ⎟ + ⎜ rWк =⎟ ⎥ = ⎢⎜ ⎟ + ⎜⎟ ⎥22 ⎢⎣⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎦⎥ 2 ⎢⎣⎝ dt ⎠ ⎝ mr ⎠ ⎦⎥иW n = −γmM C,rтак что второе условие имеет вид22M2W⎛ dr ⎞ ⎛ L ⎞.⎟ − 2γ C =⎜ ⎟ +⎜rm⎝ dt ⎠ ⎝ mr ⎠2°.
Уравнение траектории планеты (в полярных координатах r и φ):r=где p =p,1 + e cos ϕ2WL 2L2иe=+ 1 . Полная механическая энергия планеты W < 0, такγm 2 M Cγ 2 m 3M C2что e < 1 и траектория имеет вид эллипса.Первый закон Кеплера: все планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.Из первого условия (п.
1°) следует, что секториальная скорость планеты (I.1.3.6°)постоянна:12σ = r2dϕL== const .dt 2 mВторой закон Кеплера: за равные промежутки времени радиус-вектор планетыпрочерчивает равные площади.3°. Согласно второму закону Кеплера период Т обращения планеты вокруг Солнцаравен отношению площади S орбиты к секториальной скорости планеты σ:T =Sσ=πab,σгде а = р/(1 – е2) и b = a 1 − e 2 – большая и малая полуоси эллиптической орбиты.Следовательно,T2=π2pL2 4m 2a3 =4π 2 3a .γM CЭто уравнение выражает третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планетвокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей эллиптических орбит этих планет.4°. Первой космической скоростью называется наименьшая скорость, которуюнужно сообщить телу, чтобы оно могло стать искусственным спутником Земли.
Этускорость называют также круговой скоростью, так как она равна скорости искусственного спутника, обращающегося вокруг Земли в отсутствие сопротивления атмосферыпо круговой орбите. Первая космическая скоростьv1 =γM Зr,где MЗ – масса Земли, r – радиус круговой орбиты. У поверхности Земли v1 = 7,9 км/с.5°.
Второй космической скоростью называется наименьшая скорость, которуюнужно сообщить телу, чтобы оно могло без воздействия каких-либо дополнительныхсил преодолеть земное притяжение и превратиться в искусственный спутник Солнца.Эту скорость называют также параболической скоростью, так как она соответствуетпараболической траектории тела в поле тяготения Земли (в отсутствие сопротивленияатмосферы).
Вторая космическая скоростьv2 =2γM З,rгде r – расстояние от места запуска тела до центра Земли. У поверхности Землиv2 = 11,2 км/с.6°. Третьей космической скоростью называется наименьшая скорость, которуюнужно сообщить космическому аппарату, запускаемому у поверхности Земли для того,чтобы он преодолел притяжение Солнца и покинул Солнечную систему. Эта скоростьv3 = 16,7 км/с.ГЛАВА I.7. ДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХСИСТЕМАХ ОТСЧЕТА§ I.7.1. Кинематика относительного движения1°.
В классической (ньютоновской) механике считается, что расстояния и промежутки времени не изменяются при переходе от одной системы отсчета к любой другой, движущейся относительно первой самым произвольным образом. Например, пусть K – инерциальная системаотсчета с началом координат в точке O*, a S – неинерциальная система отсчета с началом координат в точке O(рис. I.7.1). В общем случае движение системы отсчета SРис. I.7.1относительно K можно рассматривать как сумму двухдвижений – поступательного со скоростью v0 точки O ивращения вокруг этой точки с угловой скоростью Ω. Значения r* и r радиус-векторапроизвольной материальной точки М, измеренные в системах отсчета K и S, связанысоотношениемr* = r0 * +r ,где r0* – радиус-вектор точки O, измеренный в системе отсчета K.2°.
Движение материальной точки М относительно какой-либо инерциальной системы отсчета K, условно принимаемой за неподвижную, называется абсолютнымдвижением точки М. Движение той же точки относительно неинерциальной системыотсчета S называется относительным движением.Относительная скорость vотн точки М, т. е. ее скорость по отношению к системеотсчета S, равнаvотн =dxdydzi+j+ k ,dtdtdtгде x, у, z – декартовы координаты точки М, а i, j и k – орты осей координат в системеотсчета S.Абсолютная скорость точки М, т. е. ее скорость v по отношению к системе отсче-та K, равнаv=dr *didjdk= v0 + x + y +z + vотн ,dtdtdtdtгде v0 = dr0*/dt – абсолютная скорость точки O.
Так как орты подвижной системы Sмогут изменяться в системе отсчета K только вследствие вращения системы S вокругточки O с угловой скоростью Ω, тоdidjdk= [Ωi] ,= [Ωj] ,= [Ωk]dtdtdtиv = vотн + vпер ,где vпер = v0 + [Ωr] – переносная скорость точки М. Она равна абсолютной скороститой точки подвижной системы отсчета S (жестко связанной с этой системой), в которой находится в данный момент времени материальная точка М.3°. Относительное ускорение aотн точки М (ее ускорение по отношению к системеотсчета S) равноa отнd2xd2yd 2z= 2 i + 2 j+ 2 k .dtdtdtАбсолютное ускорение точки М, т. е.
ее ускорение a по отношению к системе от-счета K, равноa=dv= a пер + a кор + a отн .dtЗдесьa пер =dv0 ⎡ dΩ ⎤r + [Ω[Ωr]]+dt ⎢⎣ dt ⎥⎦– переносное ускорение точки М, равное абсолютному ускорению точки подвижнойсистемы отсчета S, в которой находится в данный момент времени материальная точкаМ;a кор = 2[Ωvотн ]– кориолисово ускорение (поворотное ускорение) точки М. Кориолисово ускорениемаксимально, если относительная скорость точки vотн направлена перпендикулярновектору Ω угловой скорости вращения подвижной системы отсчета. Оно равно нулю,если угол между векторами vотн и Ω равен 0 или π, либо если хотя бы один из этих векторов равен нулю.§ I.7.2. Силы инерции1°. В неинерциальных системах отсчета законы Ньютона не выполняются.
В част-ности, материальная точка может изменять состояние своего движения относительнонеинерциальной системы отсчета S без всякого воздействия на эту точку со стороныдругих тел. Например, шарик, подвешенный на нити к потолку вагона равномерно ипрямолинейно движущегося поезда, отклоняется назад при ускорении движения поезда и вперед при его замедлении, т. е. приходит в движение относительно неинерциальной системы отсчета, связанной с вагоном. Между тем никакие горизонтальные силына шарик при этом не действуют.2°. Основной закон динамики материальной точки в неинерциальных системах от-счета можно получить, исходя из второго закона Ньютона и связи между абсолютными относительным ускорениями материальной точки. Из I.7.1.3° следует, что произведение массы m материальной точки на ее относительное ускорение равноm a отн = m a − m a пер − m a кор .Согласно второму закону Ньютона, записанному применительно к абсолютномудвижению материальной точки, т.
е. к ее движению относительно инерциальной системы отсчета K,ma = F ,где F – геометрическая сумма всех сил, действующих на материальную точку. Следовательно, основное уравнение динамики относительного движения материальнойточки имеет видm a отн = F − m a пер − m a кор .Его можно привести к виду, аналогичному по форме основному закону динамикиабсолютного движения точки:m a отн = F + I пер + I кор .Векторные величины I пер = − m a пер и I кор = − m a кор имеют размерность силы и называются соответственно переносной силой инерции и кориолисовой силой инерции.3°.
Из I.7.1.3° следует, что в общем случае переносная сила инерции равна сумметрех членов:I пер = −mdv 0⎡ dΩ ⎤− m ⎢ r⎥ − m [Ω[Ωr]].dt⎣ dt ⎦Последний член правой части этого выраженияI цб = −m [Ω[Ωr]]называется центробежной силой инерции или просто центробежной силой, так какэтот вектор перпендикулярен мгновенной оси вращения (вектору Ω) неинерциальнойсистемы отсчета S и направлен от указанной оси.
Численно центробежная сила равнаI цб = m Ω 2 ρ ,где ρ – расстояние от материальной точки массы m до мгновенной оси вращения системы отсчета S.Переносная сила инерции совпадает с центробежной, если неинерциальная система отсчета движется поступательно с постоянной скоростью (v0 = const) и вращается спостоянной угловой скоростью (Ω = const).4°. Кориолисова сила инерцииI кор = 2m [vотн Ω] .Эта сила действует на материальную точку только тогда, когда неинерциальнаясистема отсчета вращается, а материальная точка движется относительно нее.
Так, например, на частицы воды в реках Северного полушария, текущих в меридиональномнаправлении, действуют кориолисовы силы инерции, которые направлены перпендикулярно к скорости течения реки и вызывают подмывание правого по течению берега.Кориолисова сила инерции не совершает работы в относительном движении материальной точки, так как эта сила направлена перпендикулярно к скорости относительного движения точки. Следовательно, кориолисова сила инерции служит примеромгироскопических сил (I.3.1.7°).5°.
Силы инерции реально действуют на материальную точку в неинерциальнойсистеме отсчета и могут быть в ней измерены, например, с помощью пружинного динамометра. Однако, в отличие от обычных сил взаимодействия тел, для сил инерциинельзя сказать, действие каких конкретно тел на рассматриваемую материальную точку они выражают. Эта особенность сил инерции связана с тем, что само появлениевекторных величин Iпер и Iкор в основном уравнении динамики относительного движения обусловлено только неинерциальностью системы отсчета, используемой для описания относительного движения точки. Добавление к силе F, характеризующей действие на материальную точку всех других тел, сил инерции Iпер и Iкор позволяет записатьосновное уравнение динамики относительного движения в форме, похожей на записьвторого закона Ньютона в инерциальной системе отсчета.В неинерциальных системах отсчета не может быть замкнутых систем тел, так какдля любого из тел системы силы инерции всегда являются внешними силами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
