ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 82
Текст из файла (страница 82)
В первом приближении можно считать, что Земля имеет форму шара, масса которого распределена сферически симметрично. Поэтому сила F тяготения к Земле теламассы m направлена к центру Земли, а ее модульF =γmM З,r2где МЗ – масса Земли, a r – расстояние от тела до центра Земли (размеры любого телана Земле ничтожно малы по сравнению с радиусом земного шара).4°. Применительно к таким микрообъектам, как элементарные частицы, гравитационное взаимодействие не играет практически никакой роли, так как оно оказываетсясверхслабым по сравнению со всеми другими типами взаимодействий – сильным,электромагнитным и слабым (VIII.2.2.6°-8°).
Например, электрическая сила взаимногоотталкивания двух электронов превосходит силу их тяготения более чем в 1042 раз!Однако даже для обычных макроскопических объектов на Земле силы гравитационного взаимодействия крайне малы. Так, два однородных шара массой по 1000 кг каждый,центры которых удалены на 1 м друг от друга, притягиваются с силой, равной всеголишь 7·10-5 Н.В то же время гравитационные силы являются определяющими в движении объектов, исследуемых в астрономии и космонавтике (космических кораблей, планет и ихспутников, планетных систем, звезд и т. д.).
Это связано, во-первых, с огромной величиной астрономических тел и, во-вторых, с малостью сил электромагнитного взаимодействия рассматриваемых тел, являющихся, в целом, практически электронейтральными.§ I.6.2. Гравитационное поле1°. Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется посредствомсоздаваемого ими гравитационного поля, называемого также полем тяготения. Отличительная особенность гравитационного поля состоит в том, что на помещенную в него материальную точку действует сила, пропорциональная массе этой точки.Силовой характеристикой гравитационного поля служит его напряженность –векторная величина G, равная отношению силы F, действующей со стороны поля напомещенную в него материальную точку, к массе m этой точки:G=F.mНапряженность гравитационного поля не зависит от массы материальной точки.Она является функцией координат (x, y, z) точек рассматриваемого поля.
В случае нестационарного поля напряженность зависит также от времени t.Гравитационное поле стационарно (I.2.2.1°), если создающие его тела неподвижныотносительно системы отсчета, выбранной для описания поля. Напряженность стационарного гравитационного поля зависит только от координат: G = G(x, y, z).Из второго закона Ньютона (I.2.4.3°) следует, что под действием сил гравитационного поля свободная материальная точка приобретает ускорение а, равное напряженности этого поля,a=F=G.m2°.
Из закона всемирного тяготения (I.6.1.1°) следует, что напряженность гравитационного поля неподвижной материальной точки массы М, находящейся в начале координат, равнаG = −γMr,r3где r – радиус-вектор рассматриваемой точки поля.Это поле потенциально (I.3.1.6°), так как сила, действующая на внесенную в негоматериальную точку массы m, – центральная сила (I.3.3.4°):F = m G = −γmM r.r2 rСоответственно, потенциальная энергия материальной точки в таком поле равна(I.3.3.4°):∞∞rrW п = ∫ Fr dr = −γmM ∫drmM= −γ.2rrВеличину Wп можно с равным правом рассматривать как потенциальную энергиюматериальной точки массы М в гравитационном поле, создаваемом материальной точкой массы m, или, наконец, как взаимную потенциальную энергию двух материальныхточек, обусловленную их гравитационным взаимодействием.3°.
Гравитационные поля удовлетворяют принципу суперпозиции полей: при наложении нескольких (n) гравитационных полей их напряженности в каждой точкепространства складываются геометрически, напряженность результирующего поляnG = ∑ Gi ,i =1где Gi – напряженность одного i-го поля в рассматриваемой точке пространства.Напряженность гравитационного поля произвольной системы, состоящей из n неподвижных материальных точек,nG = −γ ∑i =1miρ i3ρi ,где ρ i = r − ri – радиус-вектор, проведенный из i-й материальной точки, радиус-векторкоторой равен ri, в рассматриваемую точку поля, определяемую радиус-вектором r.Соответственно, потенциальная энергия материальной точки массы m в этом гравитационном полеnW п = −γm ∑i =1miρi.В частности, если гравитационное поле создано телом, масса М которого распределена сферически симметрично (I.6.1.2°), то вне этого телаG = −γMγmMr и Wn = −,3rrгде r – радиус-вектор, проведенный из центра тела в рассматриваемую точку поля.
Этиформулы справедливы, например, для гравитационного поля Земли.4°. В силу потенциальности гравитационного поля (I.3.1.6°) можно ввести егоэнергетическую характеристику – потенциал. Потенциалом гравитационного поля называется скалярная величина φ, равная отношению потенциальной энергии Wп материальной точки, помещенной в рассматриваемую точку поля, к массе m материальнойточки:ϕ=Wn.mПотенциал ϕ не зависит от массы m материальной точки, а является функцией координат точек гравитационного поля. Например, потенциал гравитационного поля,создаваемого неподвижной материальной точкой массы М,ϕ =−γMr,где r – расстояние от источника поля до рассматриваемой точки.Потенциал гравитационного поля, создаваемого произвольной системой из n неподвижных материальных точек,nϕ = −∑ γi =1miρi,где ρi – расстояние от материальной точки с массой mi до рассматриваемой точки поля.Таким образом, при наложении гравитационных полей их потенциалы складываютсяалгебраически, т.
е. потенциал φ в любой точке результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов в той же точке для всех накладывающихся полей порознь:nϕ = ∑ϕ i .i =1Примечание. При пользовании этой формулой необходимо, чтобы начала отсчетапотенциалов φi всех накладывающихся полей были выбраны одинаково: ϕi (∞) = 0 .5°. Элементарная работа, совершаемая силами гравитационного поля при маломперемещении dr материальной точки массы m в этом поле,δA = ( Fdr) = m ( Gdr) .С другой стороны, эта работа δA равна убыли потенциальной энергии материальнойточки в гравитационном поле:δA = −dW n = −mdϕ .Следовательно, потенциал и напряженность гравитационного поля связаны соотношением:dϕ = −( Gdr ) = −(G x dx + G y dy + G z dz ) ,где Gx, Gy и Gz – проекции вектора G на оси прямоугольных декартовых координат.Так какdϕ =дϕдϕдϕdx +dy +dz ,дxдyдzдϕдϕдϕ= −G x ,= −G y ,= −Gz ,дxдyдz⎛ дϕдϕдϕ ⎞G = −⎜⎜i+j+k ⎟ = − grad ϕ ,дyдz ⎟⎠⎝ дxт.
е. напряженность гравитационного поля численно равна и противоположна по направлению градиенту потенциала этого поля.Связь между ϕ и G можно представить также в видеdϕ = −Gdl cos α = −Gl dl или Gl = −dϕ,dlгде α – угол между векторами G и dr, dl = dr , a Gl – проекция вектора G на направление вектора dr. Таким образом, проекция вектора напряженности гравитационного поля на какое-либо направление численно равна и противоположна по знаку изменениюпотенциала поля на единицу длины в том же направлении.6°. Рассмотренная выше нерелятивистская теория тяготения, основанная на законевсемирного тяготения Ньютона, является приближенной. Она достаточно точно описывает только сравнительно слабые гравитационные поля, потенциалы которых| ϕ | << с2, где с = 3·108 м/с – скорость света в вакууме.
В частности, она пригодна длягравитационных полей Земли и Солнца, так как абсолютные значения потенциаловэтих полей у поверхностей, соответственно, Земли и Солнца равны 6,3·107 м2/с2 и1,9·1011 м2/с2.7°. Современная (релятивистская) теория тяготения, представляющая единуютеорию пространства, времени и тяготения, была сформулирована А. Эйнштейном иназвана им общей теорией относительности. Еще в специальной теории относитель-ности было показано существование тесной взаимосвязи между пространством и временем. Эта взаимосвязь нашла отражение в преобразованиях Лоренца (I.5.3.2°) и в инвариантности интервала между двумя событиями (I.5.4.8°).
Оказалось, что для описания физических процессов необходимо использовать четырехмерное пространство –время, положение точки в котором определяется тремя пространственными координатами и временной координатой ict.Согласно релятивистской теории тяготения геометрические свойства (метрика)пространства-времени зависят от распределения в пространстве тяготеющих масс и ихдвижения. Тела, создающие гравитационное поле, «искривляют» реальное трехмерноепространство и по-разному изменяют ход времени в различных его точках, т.
е. вызывают отклонение его метрики от метрики «плоского» пространства-времени, описываемого геометрией Евклида и рассматриваемого в специальной теории относительности. Поэтому движение тела в поле тяготения оказалось возможным рассматривать какдвижение по инерции, но в «искривленном» (неевклидовом) пространстве-времени.Соответственно материальная точка, на которую действует гравитационное поле, движется в реальном трехмерном пространстве неравномерно и непрямолинейно.В релятивистской теории тяготения было показано, что для произвольных гравитационных полей принцип суперпозиции (п.
3°) не выполняется. Этот принцип, как ився нерелятивистская теория тяготения, достаточно точен только в случае слабых полей (| ϕ | << с2) и движений в этих полях с малыми скоростями v << с.§ I.6.3. Законы Кеплера. Космические скорости1°. Движение планет Солнечной системы по их орбитам вокруг Солнца удовлетворяет трем законам Кеплера. Эти законы можно получить из закона всемирного тяготения Ньютона, рассматривая в первом приближении Солнце и планеты как материальные точки. В центральном силовом поле тяготения Солнца на планету массы mдействует сила тяготенияF = −γmM Cr,r3где MC – масса Солнца, а r – радиус-вектор планеты, проведенный из центра сил O,принятого за начало координат.Момент силы F относительно центра сил M = [rF] = 0, так что момент импульса Lпланеты относительно той же точки O не изменяется с течением времени (I.4.3.1°):L = [rm v] = const .Следовательно, планета движется по плоской траектории (орбите), плоскость которой[]перпендикулярна вектору L.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
