ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 8
Текст из файла (страница 8)
0 прав. 41232Макросостояниелев.прав.04132231401234112– 1 микросостояние234234131344...24...231– 4 микросостояния– 6 микросостоянийЧисло микросостоянийТермодинамическая вероятность (W)1464114641Σ = 16 = 24n = 10 молекул210 = 102455→ 250010→1В природе реализуется то состояние, которое может быть получено наибольшим числом способов.n ≈ 1025 молекул2521001025→121025Равновесному состоянию соответствует то макросостояние, которое реализуетсябольшим числом микросостояний.Любая термодинамическая система стремится к состоянию, которое характеризуется наибольшей термодинамической вероятностью.Любой самопроизвольный процесс идёт в сторону возрастания термодинамическойвероятности.II.
Энтропия и её свойстваW1 W2WΣ = W1 + W2lnWΣ = lnW1 + lnW2 .δQ ⎤ Дж⎡⎢⎣dS = T ⎥⎦ = К ;S = k lnW , k = 1,38 ⋅ 10 -23Дж.К1. Энтропия связана с термодинамической вероятностью соотношением:S = k lnW ,где k – постоянная Больцмана, W – термодинамическая вероятность.2.Так как термодинамическая вероятность определяется числом микросостояний, спомощью которых реализуется данное макросостояние, то энтропия являетсяфункцией состояния системы.∫ dS = 0 , dS – полный дифференциал.Изолированная системаа) Все неравновесные процессы в изолированной системе идут в сторону возрастания энтропии (II начало термодинамики).б) Равновесному состоянию изолированной системы соответствует максимальноезначение энтропии.в) Обратимые процессы в изолированной системе идут при максимальном для данной системы значении энтропии.Неизолированная системаа) В неизолированной системе энтропия может как возрастать, так и убывать.
Этозависит от условий, в которые поставлена система.б) Обратимые процессы в неизолированной системе идут при максимальном длякаждого данного состояния системы значении энтропии, причём приращение энтропиибудет равно⎛ 2 δQ ⎞⎛ δQ ⎞⎟dS = ⎜или S 2 − S1 = ⎜⎜ ∫.⎟⎟T⎝ T ⎠ обратимая ветвь⎝1⎠ обратимая ветвьв) Если процесс неравновесный, то dS >словлено двумя процессами: подводом теплаδQTδQT, так как приращение энтропии обуи движением системы к равновесно-му состоянию.ПРИМЕРКонцентрация молекул разная в разных частях сосуда.
Происходят два процесса: нагревание газа и выравнивание концентрации газа. Здесь dS >Теорема Нернста (III начало термодинамики)При T → 0 S → 0.δQT.ПРИМЕРПриращение энтропии идеального газаСистема из состояния p1, V1, T1 переходит в состояние p2, V2, T2. Найти приращениеэнтропии S2 – S1. Из состояния 1 в состояние 2 перейти равновесным образом.pИзотерма – нагрев идёт без перепада T – процесс обра-p1, V1, T1тим.p2, V2, T2Адиабата – нагрев идёт без подвода тепла (системаизолирована) – процесс обратим.адиабатаизотермаp3, V3, T1V⎛ δQ ⎞δQδQδA⎟S 2 − S1 = ⎜⎜ ∫=∫+∫=∫=∫⎟T1 11⎝ 1 T ⎠ обратимая ветвь 1 T1 3 T3323δQ = δA3m RT1dV⎫pdV ⎧mµ V= ⎨ pV = RT1 ⎬ = ∫=µT1T1⎩⎭ 130, т.
к. δQ = 0 (адиабата)2⎛V ⎞ i i m⎛V ⎞Vmi m= R ln 3 =R ln⎜⎜ 3 ⎟⎟ =R ln⎜⎜ 3 ⎟⎟2µµV1 2 µ⎝ V1 ⎠⎝ V1 ⎠γ −1.Так как газ идеальный, тоp 2V2γ = p3V3γ ,⎫p 2V2γ= V3γ −1 .⎬→p1V1p1V1 = p3V3 ⎭Умножим на1(V1 )γ −1:p 2V2γ ⎛ V3 ⎞=⎜ ⎟p1V1γ ⎜⎝ V1 ⎟⎠S 2 − S1 =γ −1.p Vγi mR ln 2 2γ .2µp1V1Если точки 1 и 2 лежат на адиабате, то p1V1γ = p 2V2γ и тогда lnp 2V2γ= ln 1 = 0 p1V1γадиабатный процесс является изоэнтропийным.III. Второе начало термодинамики1. Невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача теплаот холодного тела к горячему.2.
Все процессы в изолированной системе идут в сторону возрастания энтропии. (Система стремится к более вероятному состоянию.)3. Невозможен вечный двигатель второго рода, т. е. двигатель, который превращал бывсё подводимое к нему тепло в эквивалентную работу.§ 10. Распределение молекул по абсолютнымзначениям скоростей (распределение Максвелла)I. Функция распределенияВероятность – отношение числа испытаний. при которых наступает событие, к общему числу испытаний.2e −αx – функция Гаусса.Число зёрен в i-й ячейке:i-я ячейка∆N i = N 0 f ( x i )∆xi .∆N i= f ( xi )∆x i – вероятность попадания зёрен вN0i-ю ячейку.x∆xif(xi) – функция распределения.
Физический смысл – плотность вероятности попадания зерна в i-ю ячейку.Свойства функции распределения∑ ∆N⎫⎬ →∆N i = N 0 f ( xi )∆xi ⎭i= N0∑ ∆N = ∑ N f (x )∆xi0ii= N0 ,1 = ∑ f ( xi )∆xi – условие нормировки.При ∆xi → 0∞∫ f (x )dx = 1 .−∞Если данное событие обусловлено большим числом взаимонезависимых случайныхпричин, то события распределены по Гауссу и функция распределения имеет видf ( xi ) = Ae −αx .2+∞∫ Ae−∞1−αx 2⎛α ⎞2dx = 1 → A = ⎜ ⎟ .⎝π ⎠Двумерный случайf ( x i , y i ) = Ae −αxi Ae −αyi ,2rf ( x , y ) = A 2 e −α ( x22+ y2) = A2 e −αr ;2∆N ( xi , y i ) = N 0 A 2 e −αri ∆xi ∆y i – число частиц в ячейке.2Число частиц в кольце:∆N (ri ) = N 0 A 2 e −αri 2πri ∆ri .2Для кольца функция распределенияϕ (ri ) = A2 e −αr ⋅ 2πri .2iТрёхмерный случайЧисло частиц в шаровом слое радиуса ri и толщиной ∆ri:∆N (ri ) = N 0 A3 e −αri 4πri2 ∆ri .23ϕ (ri ) = A e3 −αri2⎛α ⎞24πri , A = ⎜ ⎟⎝π ⎠23– плотность вероятности попадания частицы в i-й сферический слой.II.
Распределение молекул по скоростямВведём пространство скоростей.vzv1zv3v30v2yv10vyv2xvxВ пространстве скоростей каждой молекуле, движущейся со скоростью v соответ-ствует изобразительная точка с радиусом-вектором v.vzdvy dvzdvxdN v = N 0 f (v ) ⋅ dv x ⋅ dv y ⋅ dv z ,где f(v) – плотность изобразительных точек.vyvxНайдём вид функции распределения.Факты наличия у молекулы конкретных проекций скоростей vx, vy и vz являютсявзаимно независимыми.
Из этого следует, чтоf (v ) = ϕ 1 (v x ) ⋅ ϕ 2 (v y )⋅ ϕ 3 (v z ) ,(1)так как вероятность сложного события равна произведению вероятности каждой изкомпонент этого события.Функции φ1, φ2 и φ3 имеют одинаковый вид, так как все направления равноправны.С учётом вышеуказанных свойств запишем:ln f (v ) = ln ϕ (v x ) + ln ϕ (v y ) + ln ϕ (v z )∂,∂v x1 ∂f ∂v1 ∂ϕ (v x )⋅ ⋅=+0+0;f (v ) ∂v ∂v x ϕ (v x ) ∂v x∂v∂=∂v x ∂v xv x2 + v 2y + v z2 =vxv 2x + v 2y + v z2=vx,v∂ϕ (v x )f ' (v ) v x,⋅ =f (v ) v ∂v x ⋅ ϕ (v x )f ' (v ) 1 1 ∂ϕ (v x )⋅ =f (v ) v v x ∂v x ⋅ ϕ (v x )– правая часть не зависит от vy и vz, значит, и левая часть не зависит от vy и vz.Аналогично, продифференцировав по vy, получимf ' (v ) 1 1 ∂ϕ (v y )⋅ =f (v ) v v y ∂v y ⋅ ϕ (v y )– правая часть не зависит от vx и vz, значит, и левая часть не зависит от vx и vz.Так как левая часть предыдущего равенства не зависит от vx, vy и vz, то она равнаконстанте:f ' (v ) 1⋅ = −α .f (v ) vТогда этой константе равна и правая часть уравнения:1 ∂ϕ (v x )= −α ;v x ∂v x ⋅ ϕ (v x )dϕϕ= −αv x dv x → ln ϕ = −αv 2x2+ const ,ϕ (v x ) = A ⋅ e−αv 2x2.Аналогичноϕ (v y ) = A ⋅ e−αv 2yи ϕ (v z ) = A ⋅ e2−αv 2z2.С учётом соотношения (1) получимf (v ) = A ⋅ e3−αv 2x⋅e2f (v ) = A ⋅ e3−−αv 2y2⋅e(α v 2x + v 2y + v 2z−f (v ) = A ⋅ e−2,),23αv 2zαv 22.Для нахождения постоянной A воспользуемся условием нормировки:∞∫ ϕ (v )dvxx= 1,−∞∞∫ A⋅ e−αv 2x2dv x = 1 – интеграл Пуассона;−∞313⎛ α ⎞2 −⎛ α ⎞2⎛ α ⎞2A = ⎜ ⎟ → A3 = ⎜⎟ ⋅e⎟ → f (v ) = ⎜⎝ 2π ⎠⎝ 2π ⎠⎝ 2π ⎠αv 22.Найдём α.
С одной стороныm0 v 2=23kT ,2где m0 – масса одной молекулы. С другой стороны, среднее значение скорости v 2можно найти по формуле∞v 2 = ∫ v 2 f (v )dv .−∞Отсюдаα=m0.kTФункция распределения молекул по скоростям с учётом направления скорости:3⎛ m ⎞2 −f (v ) = ⎜ 0 ⎟ ⋅ e⎝ 2πkT ⎠m0 v x2 + m0 v 2y + m0 v 2z2 kT.III. Функция распределения молекул по абсолютным значениямскоростей (функция Максвелла)dN v = N 0 f (v ) ⋅ 4πv 2 ⋅ dv – объём сферического слоя.vzdvx·dvy·dvzvyvxF(v)ev−αv 23m v2⎛ m ⎞2 − 0dN v =N 0 ⎜ 0 ⎟ ⋅ e 2 kT v 2 dv ,π⎝ 2kT ⎠4здесь Nv – число молекул со скоростями от v до v + dv.Функция распределения Максвелла:23m v24 ⎛ m0 ⎞ 2 − 20kT 2v .F (v ) =⎜⎟ eπ ⎝ 2kT ⎠vF( v )При нагревании газа доля молекул, обла-T1дающих малыми скоростями, уменьшается, а доля молекул с большими скоростя-T2 > T 1ми увеличивается.vНаивероятнейшая скорость vвер соответствует максимуму функции распределенияF(v):∂F (v )= 0,∂v∂ ⎛⎜ 2 − αv2e∂v ⎜⎝2αvαv⎞−−⎟ = 2 v ⋅ e 2 − v 2 ⋅ 2 α v ⋅ e 2 = 0 ; 2 − v 2α = 0 , v = 2 ;⎟α2⎠22v вер =2kT.m0F(v)S=1Средняя скорость v :∞v = ∫ vF (v )dv =08kT.πm0vверvквvvСредняя квадратичная скорость vкв:∞v 2 = ∫ v 2 F (v )dv =0v кв =3kT,m03kT.m0Распределение молекул по кинетическимэнергиямFm0 v 2Кинетическая энергия молекулы ε =;2dε = m 0 v ⋅ dv , d v =kT2F (ε ) =2πε32ε = kT(kT )−32⋅e−εkTdN ε =2πN0 ⋅εkTdε;m0 v⋅e−εkTdε,kTε,∞32ε = ∫ εF (ε )dε = kT .0§ 11.
Распределение молекул во внешнемпотенциальном полеI. Барометрическая формулаp = ρgH (как в гидростатике).hp − ( p + dp ) = ρg ⋅ dh ,p + dpdhp⎧mm pµ ⎫pµg ⋅ dh ,− dp = ρg ⋅ dh = ⎨ pV = RT → ρ = =⎬=−µV RT ⎭RT⎩dpµ=−g ⋅ dh ; интегрируем:pRTln p = −µg dhR∫T+ const .Если температура не зависит от высоты, т. е. T = const, тоln p = −µgh+ const ,RTp = B⋅e−µghRT.При h = 0 p = p0 – давление у поверхности земли;p = p0 e−µghRT.II.
Распределение молекул по потенциальным энергиям(распределение Больцмана)nµgh⎫⎪⎪m ghp = nkT− 0⎪kTn=ne⇒0p0 = n0 kT ⎬⎪µ m0 N A ⎪=R k ⋅ N A ⎪⎭p = p0 e−RTn01T1n02T2 > T 1– распределение Больцмана по потенциальным энергиям. Здесь n – концентрация.ε p = m0 gH ⇒ n = n0 e−εpkT.hЧисло молекул в объёме dx·dy·dz с потенциальнойzdyэнергией εpdzzdxdN ε p = n0 e−εp (x, y,x )⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz .kTyxIII. Распределение Максвелла-БольцманаdN ε = dN ε p A e3−(m0 v x2 + v 2y + v z22 kTdN ε p = n0 edN ε ,ε p = A3 ⋅ e−m0 v 22kT−εpkT)⋅ dv x ⋅ dv y ⋅ dv z ,⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ;εp +⋅ n0 ⋅ dv x ⋅ dv y ⋅ dv z ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz– распределение Максвелла-Больцмана.Экспериментальная проверка распределения МаксвеллаОпыты Ламмерталовушкапоток молекул∆φω∆ϕ = ω i t ⎫ ∆ϕ ω i,=⎬,l = vi t ⎭ lvivi =llωi .∆ϕ§ 12.
Длина свободного пробега молекулыМолекулы, участвуя в хаотическом движении, сталкиваются друг с другом.d – эффективный диаметр молекулы. d = d(T) – зависит отλ1λ2λ3dтемпературы.Средняя длина свободного пробега λ – среднее расстоя-ние между ударами.σ=πd 24– площадь эффективного сечения молекулыНайдём λ , исходя из следующих предпосылок:1.Молекулы – шары диаметра d.2.Все молекулы неподвижны.3.Движется "тень" от одной молекулы."Тень" заденет все молекулы, центры которых лежат внутри цилиндра диаметра 2d.Число этих молекул равно числу столкновений "тени".d2dlЧисло столкновений∆ N l = πd 2 l ⋅ n .λ =1ll= 2= 2 ,∆N l πd l ⋅ n πd nесли все молекулы неподвижны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
