ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Неупругий ударv1m1m2v2 →m 1 + m2um v + m 2 v2m1v1 + m 2 v2 = ( m1 + m 2 )u → u = 1 1;( m1 + m 2 )∆W мех =( m1 + m 2 )u 2 ⎛ m1v12 m 2 v22− ⎜⎜+22⎝ 2⎞⎟⎟ .⎠(*)(**)В выражение (**) подставим (*) и получим:∆W мехm m v1 − v2=− 1 22m1 + m 22.II. Абсолютно упругий лобовой ударУдар абсолютно упругий, если не происходит потери механической энергии.m1u1 m2v2 →u2Пусть v1, v2 – скорости тел до удара, u1, u2 – скорости тел после удара.m1v1m21. Система замкнута ⇒ выполняется закон сохранения импульса:m1v1 + m 2 v2 = m1u1 + m 2 u2 .2.(1)Т.
к. удар абсолютно упругий, запишем закон сохранения механической энергии:m1v12 m 2 v22 m1u12 m 2 u22.+=+2222(2)Объединим уравнения (1) и (2) в систему и решим её относительно переменных u1, u2:⎧ m1v12 m 2 v22 m1u12 m 2 u22+=+,⎪222⎨ 2⎪m v + m v = m u + m u ;2 21 12 2⎩ 1 1u1 = − v1 + 2m1v1 + m 2 v2,m1 + m 2u 2 = − v2 + 2ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИm1v1 + m 2 v2.m1 + m 21.
m1 = m2u1 = v2 и u2 = v1 – обмен скоростями.(a) v2 = 0; m2 >> m1: u2 ≈ 0, u1 ≈ -v1.2.Удар тела массой m1 о неподвижную плиту массой m2 (m2 >> m1, v2 = 0)После удара u2 ≈ 0; u1 ≈ –v1.ГЛАВА IV. КОЛЕБАНИЯ§ 1. Свободные затухающие колебанияI. Вывод дифференциального уравненияКолебания можно подразделить на механические и электромагнитные.Механические колебанияПружинный маятникЭлектромагнитные колебанияЭлектромагнитный контур1 2kCmOxRxСилыLЗапишем обобщённый закон Ома3.Сила упругости Fупр = − kx .4.Силасопротивлениядля участка цепи 1–R–L–C–2:IR = (ϕ1 − ϕ 2 ) − E ,Fсопр = −rv ,где r – коэффициент сопротивления.E = E самоинд = −LУравнение динамикиma x = Fупр + Fсопр ;mϕ1 − ϕ 2 =d 2xdx= − kx − r;2dtdtd 2 x r dx kx++=0.dt 2 m dt mk= ω 02 – собственная частота колебаmний в системе без затухания;r= 2 β – коэффициент затухания.mx ′′ + 2 βx ′ + ω 02 x = 0 .I =−dI;dtqC;CdqCdtЗнак «–» объясняется тем, что ток в цепи возникает за счёт убыли заряда наконденсаторе.−dqCqd 2 qC,R = C +LCdtdt 2d 2 q R dqq++= 0;2L dt LCdt1R= ω 02 , = 2 β .LCLq ′′ + 2 βq ′ + ω 02 q = 0 .II.
Решение дифференциального уравненияx ′′ + 2 βx ′ + ω 02 x = 0– однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постояннымикоэффициентами. Будем искать решение этого уравнения в следующем виде:x = e λt , тогда x ′ = λ ⋅ e λt , x ′′ = λ2 ⋅ e λt .e λt ⋅ (λ2 + 2 βλ + ω 02 ) = 0 ;e λt ≠ 0 → λ2 + 2 βλ + ω 02 = 0– характеристическое уравнение. Его корни:λ1, 2 = − β ± β 2 − ω 02 .Рассмотрим 4 случая: β = 0, β < ω0, β > ω0, β = ω0.1) 0 ≤ β < ω0В системе имеется слабое затухание (малые потери энергии).Пусть ω 02 − β 2 = ω 12 , здесь ω1 – собственная частота колебаний в системе с затуханием.
Тогдаλ1, 2 = − β ± iω 1 ,где i = − 1 – мнимая единица;()iω t− iω t− βtx = e λt , x = e ⋅ a1e 1 + a 2 e 1 .Известно, чтоe iϕ − e − iϕe iϕ + e − iϕ= cos ϕ ,= sin ϕ .22iОтсюдаx = A ⋅ e − βt ⋅ cos(ω 1t + ϕ 0 ) .а) β = 0Потери отсутствуют.x = A ⋅ cos(ω 0 t + ϕ 0 ) , при β = 0 ω1 → ω 0 .Гармонические колебанияА – амплитуда.xT0Atϕ = (ω 0 t + ϕ 0 ) – фаза (определённое состояние системы в данный времени, φ0 – начальная фаза (зависит от выбора начала отсчёта времени).φСобственная частота колебанийφ0ω0 =2π,T0Т0 – период колебаний.tб) 0 ≤ β < ω0Малые потери энергииx = A ⋅ e − βt ⋅ cos(ω 1t + ϕ 0 ) ,A ⋅ e − βt – амплитуда затухающих колебаний.АмплитудаAcos(ω1t + φ0)A e-βtt0t0xA1(0)A1(τ) = A(0)/etτЗдесь A1 = A ⋅ e − βτ – амплитуда затухающих колебаний, ω1 = ω 02 − β 2 – собственная частота затухающих колебаний, T1 =2π2π=ω1ω 02 − β 2, T1 > T0; τ – время релаксации(затухания) – время, по истечении которого амплитуда уменьшается в е раз.A1 (0 )= A1 (τ ) , A1 = A ⋅ e − βτ = A ⋅ e −1 → βτ = 1 ;eτ=1β.N – число колебаний, по истечении которых амплитуда спадает в е раз,N=τT1=1.β ⋅ T1Логарифмический декремент затуханияθ = ln1A1 (t )A ⋅ e − βt= ln= ln e β ⋅T1 = β ⋅ T1 , θ = β ⋅ T1 = .− β (t +T1 )NA1 (t + T1 )A⋅ e()Добротность контураQ =π ⋅N .При малых β:Q = 2πW,∆Wздесь W – запас энергии в контуре, ∆W – потери энергии за одно колебание.2) β > ω0Сильное затухание в системе(= −(β −)) = −κλ1 = − β + β 2 − ω 02 = −κ 1 < 0 ,λ2β 2 − ω 022<0,x = a1 ⋅ e −κ1t + a 2 ⋅ e −κ 2t .x0xtАпериодический процесс – колебаний нет.3) β12 = ω0, λ1,2 = –βx = (a1 + a 2 t ) ⋅ e − βt– апериодическое решение, колебаний нет.0t§ 2.
Вынужденные колебанияI. Вывод дифференциального уравненияЭлектромагнитная системаМеханическая системаkm1+ΩRСилы:Fсопр = −rv ,Fвынуждающая = F0 cos(Ωt ) .LЗакон Ома:IR = (ϕ 1 − ϕ 2 ) − LdI+ ε 0 cos(Ωt ) ,dtdqC,dtd 2xdxm 2 = −kx − r + F0 cos(Ωt ) ;dtdtI =−x ′′ + 2 βx ′ + ω 02 x = f 0 cos(Ωt ) .ϕ1 − ϕ 2 =2β =Frk, ω 02 = , f 0 = 2 .mmm2CxFупр = − kx ,–qC;Cd 2qdq+ 2β+ ω 02 q = f 0 cos(Ωt ) ;2dtdt2β =εR1, ω 02 =, f0 = − 0 .LLCLq ′′ + 2 β q ′ +ω 02q = f 0 cos (Ω t ) .II. Решение дифференциального уравненияx ′′ + 2 βx ′ + ω 02 x = f 0 cos(Ωt )– неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.Решение этого уравнения можно представить в видеx = x1 + x 2 ,где х1 – общее решение однородного уравнения, х2 – частное решение неоднородногоуравнения.При β < ω0:x 2 = A ⋅ cos(Ωt + ϕ 0 ) .x1 = A ⋅ e − βt ⋅ cos(ω1t + ϕ 0 ) ,xx2πΩttГрафическое решениестационарный режимxAtττ – время установления колебанийВ течение времени τ происходит затухание общего решения и остаётся только частное решение.
В результате частота вынужденных колебаний будет равна частоте вынуждающей силы.Рассмотрим частное решение:x 2 = A ⋅ cos(Ωt + α 0 ) ;x ′′ + 2 βx ′ + ω 02 x = f 0 cos(Ωt ) ,(1)x 2′ = − AΩ ⋅ sin (Ωt + α 0 ) ,(2)x 2′′ = − AΩ 2 ⋅ cos(Ωt + α 0 ) .(3)Ищем решение при β < ω0. Из (1), (2) и (3):− AΩ 2 ⋅ cos(Ωt + α 0 ) − 2 βAΩ ⋅ sin (Ωt + α 0 ) + ω 02 A ⋅ cos(Ωt + α 0 ) = f 0 cos(Ωt + α 0 − α 0 )(прибавили и отняли α0 в аргументе косинуса в правой части уравнения).
Из тригонометрии имеем:− AΩ 2 ⋅ cos(Ωt + α 0 ) − 2 βAΩ ⋅ sin (Ωt + α 0 ) + ω 02 A ⋅ cos(Ωt + α 0 ) == f 0 ⋅ cos(Ωt + α 0 ) ⋅ cos(α 0 ) + f 0 ⋅ sin (Ωt + α 0 ) ⋅ sin (α 0 ).Всегда можно найти такие моменты времени, когда либо cos t = 0 , либо sin t = 0 :⎧− 2 βΩA = f 0 ⋅ sin(α 0 ), cos t = 0;⎨22⎩− AΩ + ω 0 A = f 0 ⋅ cos(α 0 ), sin t = 0.Разделим верхнее уравнение системы на нижнее:(4 )(5 )tg α 0 =Колебания отстают по фазе от вынуждающей силыα0Ωω0на α0.0–π/2–πВозведём в квадрат уравнения (4) и (5) и сложим их:4 β 2 Ω 2 A 2 + A2 ⋅ (ω 02 − Ω 2 ) = f 02 ⋅ (cos 2 (α 0 ) + sin 2 (α 0 )) = f 02 ;2A=f04 β Ω + (ω − Ω2220)2 2,где A – амплитуда гармонических колебаний.f0⎧⎧Ω = 0⎪A = 2ω 0 ⇒ где-то должен быть максимум.Если ⎨, то ⎨⎩Ω → ∞⎪A → 0⎩[]2d(ω 02 − Ω 2 ) + 4 β 2 Ω 2 = 0 ;dΩ2(ω 02 − Ω 2 )⋅ (− 2Ω ) + 4 β 2 ⋅ 2Ω = 0 ;⎧Ω = 0,⎨ 222ω2βΩ=−рез0⎩здесь Ωрез – резонансная частота.ΩрезПри Ω резон.
= ω 02 − 2 β 2 A =ω 02 − β 2f02 β ⋅ ω 02 − β 2=f02 βω1.Резонансная криваяAАf0β2 > β12 βω1ω 02ωω0контур без затуханияω1ω 02 − 2 β 2f0− 2 βΩ.ω 02 − Ω 2β1β2Ωрез ω1 ω0ΩЭлектрический колебательный контурCLR~РезонансРезонанс напряженияРезонанс токаq ′′ + 2 βq ′ + ω 02 q = ε 0 ⋅ cos(Ωt );d[A ⋅ cos(Ωt + α 0 )] =dt= − AΩ ⋅ sin (Ωt + α 0 );U=q=εq, l0 = − 0 ;CLl0(ω20−Ω)2 2+ 4β Ω2Ω рез = ω 02 − 2 β 2 ..2I = q′ =I=(ωl0 Ω20−Ω)2 2+ 4β ΩΩ рез = ω 0 .2.2§ 3. ВолныВолна – любое распространяющееся в пространстве возмущение вещества или поля.РЕЗИНОВЫЙ ШНУРx0xxxУравнение бегущей волныABxx1Пусть v – скорость распространения возмущений.От точки А в точку В возмущение придёт через время t ′ = x 1 v .В точке В процесс идёт с запаздыванием на время t', поэтому вABx0xточке В будет происходить то же, что происходило в точке А вмомент времени t = t A − x v .Пусть ξ – отклонение колеблющейся величины от положения равновесия.В точке А ξ (0, t ) = f (t ) ; в точке Вξ(t)ξ B (x , t ) = ξ A (0, t − t ′) = f (t − x v ) .ξ (x , t ) = f (t − x v ) – уравнение бегущей волны, ξ (x , t ) = f (t + x v ) – уравнение обратной волны.Гармоническая волнаГармоническая волна – процесс распространения гармонических колебаний в пространстве.xABxисточник колебанийf (t ) = A ⋅ cos(ωt + ϕ 0 )ξ B (x , t ) = ξ A (0, t − t ′) = f (t − x v ) = A ⋅ cos[ω (t − x v ) + ϕ 0 ] ;ξ (x , t ) = A ⋅ cos[ω (t − x v ) + ϕ 0 ]– уравнение бегущей гармонической волны вдоль оси Oх.tξ(x, t)At + ∆tξ(x, t)xAω ⋅ (t − x v ) = ωt − ωλx ⎧2π ⎫2πx2π⎧ 2π⎫= ⎨ω == {λ = vT } = ωt −= k ⎬ = ωt − kx ;x =⎨⎬ = ωt −v ⎩T ⎭Tvλ⎩λ⎭ξ ( x, t ) = A ⋅ cos(ωt − kx + ϕ 0 ) ,где ξ – смещение (отклонение от положения равновесия колеблющейся точки в данномместе в данное время); А – амплитуда (максимально возможное отклонение от положения равновесия); х – координата колеблющейся точки; ω – угловая частота ( ω =k=2πλ2π);T– волновое число; λ = vT – длина волны (минимальное расстояние между точ-ками, колеблющимися одинаковым образом); (ωt − kx + ϕ 0 ) – фаза волны.Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью или фронтом волны.Если волновая поверхность – плоскость, то волна плоская:Если волновая поверхность – сфера, то волнасферическая:xВолна называется продольной, если направление колебаний параллельно направлению распространения волны.Волна называется поперечной, если направлениеколебаний перпендикулярно направлению распространения волны.Волновое уравнениеxdξ⎛ 1⎞= f ′⋅⎜− ⎟⎝ v⎠⎛ x ⎞ dxξ (x, t ) = f ⎜ t − ⎟ ; 2⎝ v⎠ d ξ⎛ 1 ⎞= f ′′ ⋅ ⎜ 2 ⎟2dx⎝v ⎠dξ= f ′ ⋅1dt⇒d 2ξ= f ′′ ⋅1dt 2d 2ξ1 d 2ξ=⋅⇒– волновое уравнение.dx 2 v 2 dt 2Решение данного уравнения в общем виде можно записать:⎛⎝x⎞v⎠⎛⎝x⎞v⎠ξ (x , t ) = f 1 ⎜ t − ⎟ + f 2 ⎜ t + ⎟ .прямая волнаобратная волнаГЛАВА V.
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ§ 1. Преобразования Галилеяyy'Имеем две системы отсчёта; ось х и ось х′ совпадают.x', y'yНеобходимо ввести эталон длины и эталон време-O' Bx'AOxx0x1/v0ни (время – свойство физических процессов иметьопределённую длительность и следовать друг задругом в определённой очерёдности).x2/uu – скорость запускающего сигнала, v –xскорость движущейся системы отсчёта.x1x20xyy'Когда t = 0 и t' = 0, начала координат O и O′x'vt(–vt')O'Ovсовпадают. Зная координаты точки в системе В,определим по каким формулам нужно найти ко-Bx'AxОт В к Аx = x ′ + vt ′y = y′z = z′t = t′ординаты этой точки в системе А.xОт А к Вx ′ = x − vty′ = yz′ = zt′ = tВ классической механике соотношения между координатами и временем в разныхсистемах отсчёта такие, как если бы эти системы были неподвижны друг относительнодруга в данный момент времени.§ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
