ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

......⎪⎪ dL N = M внутр + M внеш .∑ iNN⎪⎩ dtCложив уравнения данной системы, получим:d(∑ I iωi ) = ∑ ∑ M ijвнутр + ∑ M iвнеш ;dt0⎛ dL сист ⎞внеш⎜⎟ = ∑ M Oz.⎝ dt ⎠OzЕсли сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси равняется нулю(∑ MвнешOz)= 0 , то момент импульса этой системы относительно данной оси остаётсяпостоянным ((L сист )Oz = const ) .ω2 =I1ω1I2ω2I1ω1 .I2zωxL Oz = 0 ,0 = I колеса ⋅ ω 0 + I чел .+скам.

⋅ ω x ,ω0ωx = −OI колесаI чел. +скам.⋅ω 0 ,Можно доказать теорему о том, что момент импульса тела относительно произвольной оси A равен сумме момента импульса этого тела относительно оси, проходящей через центр масс, и [r·mvц. м.].L A = L ц. м. + [r ⋅ m vц. м. ] .§ 3. Тензор момента инерцииВсестороннее сжатие телаFzz⎧Fx = k xx ∆x + k xy ∆y + k xz ∆z,⎪⎨Fy = k yx ∆x + k yy ∆y + k yz ∆z⎪⎩Fz = k zx ∆x + k zy ∆y + k zz ∆z;FyyF = k ∆r .Fxxk xxk = k yxk zxk xyk yyk zyk xzk yz – тензор упругости.k zzМомент импульса твёрдого тела относительноточкиzLzOL z = [r⊥ ⋅ mv] ,LOLO = [r ⋅ m v]mvrr⊥Момент импульса твёрдого тела относительно осиzРазобьём тело на участки ∆mi:LО = ∑ [ri ⋅ ∆m i vi ] ={vi = [ωri ]} = ∑ ∆m i ⋅ [ri [ωri ]] =∆miri= ∑ ∆m i (ω(ri ⋅ ri ) − ri (ω ri )) =((x))= ∑ ∆m i ω x i2 + y i2 + z i2 − ri (ω x x i + ω y y i + ω z z i ) .yOНайдём проекции вектора LO на оси x, y, z:( ())= (∑ ∆m (y + z ))ω − (∑ ∆m x y )ω − (∑ ∆m x z )ω ;L = −(∑ ∆m y x )ω + (∑ ∆m (x + z ))ω − (∑ ∆m y z )ω ;L x = ∑ ∆m i ω x x i2 + y i2 + z i2 − x i (ω x x i + ω y y i + ω z z i ) =iy2ii2iiixxiii2iiy2iizi iizi izL z = −(∑ ∆m i z i x i )ω x − (∑ ∆m i z i y i )ω y +(∑ ∆m (xi2i))+ y i2 ω z .L = I ω , где I – некоторая матрица, которая называется тензором момента инерции.− ∑ ∆m x zI∑ ∆m (y + z ) − ∑ ∆m x yI = − ∑ ∆m y x∑ ∆m (x + z ) − ∑ ∆m y z = I− ∑ ∆m z x− ∑ ∆m z y∑ ∆m (x + y ) I2iii2iii i(((iiiiii2ii ii2ii iiii i2ii2iI xyI yyI zyxxyxzxI xzI yz ;I zz)))I xx = ∑ ∆m i y i2 + z i2 ⎫⎪⎪I yy = ∑ ∆m i x i2 + z i2 ⎬ – осевые моменты инерции (обычные моменты инерции относи⎪I zz = ∑ ∆m i x i2 + y i2 ⎪⎭тельно осей);I xy = I yx = −∑ ∆m i x i y i ⎫⎪⎪I yz = I zy = −∑ ∆m i y i z i ⎬ – центробежные моменты инерции.⎪I zx = I xz = −∑ ∆m i x i z i ⎪⎭ПРИМЕРВращение материальной точкиm(y 2 + z 2 )zL=ω− mxy− myxm (x + z− mzx− mzy22)− mxz− myzm (x + y22L x = −mxz ω z ,mvL y = − myz ω z ,()(ωx,ω y ,ω z ) ;Lω)L z = m x 2 + y2 ωz .rL || ωyxПРИМЕРzДве материальные точки, которые вращаются поокружности (расположены симметрично)ωω = 0 ⋅ i + 0 ⋅ j + ωz ⋅ k ,(vm2m y 2 + z 2I=00mvyx)(02m x + z022)(002m x 2 + y 2),L x = 0,L y = 0,(L || ω.)L z = 2m x 2 + y 2 ω z ;Если рассматривать любое тело, вращающееся относительно оси симметрии, тотензор инерции принимает диагональный вид:I xxI= 00I yy0000 ,I zzа вектор момента импульса сонаправлен с вектором угловой скорости, L || ω.Тело любой формы имеет три взаимно перпендикулярных оси, для которых тензоринерции имеет симметричный (диагональный) вид.

Если начало отсчёта совместить сцентром масс тела, то эти оси называются главными осями.z(1m b2 + c212caxbyI=)0(01m a2 + c212000)0(1m a2 + b212.)§ 4. Закон сохранения механической энергииЭнергия – количественная мера движения материи, единая для всех форм этого движения.I. Работа (А)Работа – мера перехода энергии из одного вида в другой или мера передачи энергии от одного тела к другому.F1∆r2r1∆A = (F ⋅ ∆r) = F ⋅ ∆r ⋅ cos(F∆r) .2A = ∫ Fdr .1r2Работа при прямолинейном движенииF121x2FxA = ∫ Fx dx .O12xРабота при вращательном движенииЕсли ∆α → 0, то ∆r ⊥ r;( r , F)∆A = F ⋅ ∆r , где ∆r – смещение точки приложения силы F.r∆rF∆α r'∆r = r ⋅ ∆α , cos(F, r) = sin (F, r) ⋅ ∆α . Отсюда∆A = (F, r) = F ⋅ ∆r ⋅ cos(F, r) = Fr ⋅ sin (F, r) ⋅ ∆α == {Fr sin (F, r) = M } = M ⋅ ∆α .⊥2∆A = (M ⋅ ∆α ) , A = ∫ (M ⋅ dα ) .1II. Кинетическая энергия1.

Поступательное движение телаУравнение динамики:Fv1mv2mmdv= F × dr ,dtmdv ⋅ dr= F ⋅ dr ,dtdrr2r1mv ⋅ dv = (F ⋅ dr) ;d v 2 = d v 2 = 2 v ⋅ d v , v ⋅ dv =dv 2.2Отсюда получим⎛ mv2d ⎜⎜⎝ 2⎞⎟⎟ = (F ⋅ dr) .⎠Правая часть этого уравнения есть работа, т. е. мера перехода (передачи) энергии,поэтому можно предположить, что левая часть данного уравнения – приращение энергии.222m v 2 mvкон m vнач−= ∫ F ⋅ dr .Wк =,2221Изменение кинетической энергии тела равно работе сил, приложенных к этому телу.dW к = δA .2. Кинетическая энергия системы телm2m i ( d r i)Запишем уравнение динамики для каждого тела:mi ⋅fiвнутрm1Fiвнешmidv i= ∑ fik + Fi × dri ,dtdvi ⋅ dri= ∑ (fik ⋅ dri ) + (Fi ⋅ dri ) .dtПринимая во внимание, что vi dvi = dv2, получим2⎛ m v2m v2 ⎞d ⎜⎜ 1 1 + ...

+ n n ⎟⎟ = ∑∑ (fik ⋅ dri ) + ∑ (Fi ⋅ dri ) ,2 ⎠⎝ 2fik ⋅ dri + f ki ⋅ drk ≠ 0 ,т. к. fik ⋅ = − f ki , но dri ≠ drk .W ксист =m v2m1v12 m 2 v22++ ... + n n ;222dW ксист = δA внутр + δA внеш .Изменение кинетической энергии системы тел определяется как работой внешних сил,так и работой внутренних сил.3. Кинетическая энергия вращающегося телаПредставим энергию этого тела как сумму энергий материальных точек.zWк = ∑∆ miW квращ =⎛ δm r 2 ω 2= {vi = ωri } = ∑ ⎜⎜ i i2⎝δm i vi22()⎞ ∑ δm i ri2 ⋅ ω 2 I zω 2⎟⎟ ==,22⎠I zω 2.24.

Сложное движение твёрдого тела (плоское движение)∆ miц. м.=+⎛ δm v 2W к = ∑ ⎜⎜ i i⎝ 2ц. м.⎞ m vц.2 м. I ц. м.ω 2⎟⎟ =+.22⎠III. Потенциальная энергияdW к = (F ⋅ dr) . В зависимости от характера силы F кинетическая энергия можетбыть переведена либо снова в механическую, либо в другие виды энергии.Сила FПереводит механическую энер-Переводит механическую энер-гию в механическую же.гию в другие виды энергии.Консервативные силыНеконсервативные(диссипативные) силыРабота не зависит от формыРабота зависит от формы тра-траектории движения.ектории движения.Так как все силы в механике носят полевой характер, то классифицируем поля:ПоляРабота сил поля не зависит отРабота сил поля зависит отформы траектории движения.формы траектории движенияПотенциальные поля (гравита-Непотенциальные поляционное и электростатическое)A132 = A1423142Математический критерий потенциальности поляРассмотрим работу сил поля по замкнутому пути 1-3-2-4-1:A13241 = A132 + A241 = {A132 = A142 } = A142 + A241 = {A142 = − A241 } = A142 − A142 = 0 .∫ (F ⋅ dr) = 0 .lПоле потенциально, если работа его сил по замкнутому контуру равна нулю (полепотенциально, если циркуляция сил поля по замкнутому контуру равна нулю).ПРИМЕРПоле центральных силПоле является центральным, если: есть силовой центр, F || r, F = F(r).Любая центральная сила всегда потенциальна.∫ (F ⋅ dr) = AСиловой центр124312rF+ A23 + A34 + A41 ;lA23 = A41 = 0 , т.

к. F ⊥ dr; A12 = − A43 → ∫ (F ⋅ dr) = 0 .l1. Потенциальная энергия материальной точкиво внешнем силовом полеЕсли поле потенциально, то тело помещённое в данную точку пространства обладает потенциальной энергией, причём её численное значение равно работе сил поля поперемещению тела из данной точки в точку нулевого значения потенциальной энергии.W п (т. 1) = А1поля→т.

нул. пот. ,W п (т. 1) =т. нул. пот.∫ (F ⋅ dr) .1Значение Wп зависит от выбора точки нулевого уровня энергии.1O (нулевой уровень энергии)2A12 = W п (т. 1) −W п (т. 2 ) .A20δA12 = W п (т. 1) −W п (т. 2 ) = −(W п (т. 2 ) −W п (т. 1)) = −∆W п .A10δA поля = − dW п – работа сил по перемещению тела совершается за счёт убыли потенциальной энергии этого тела.ПРИМЕРПотенциальная энергия сжатой пружиныkFупр = − kx .Wп = 0конеч.нач. xxOконеч.0kx 2A = ∫ Fdr = ∫ (− kx )dx = −2xнач .Wп =0=xkx 2;2kx 2.22. Потенциальная энергия системы телЕсли между телами системы действуют консервативные силы, то такая система обладает потенциальной энергией, причём её численное значение будет равно работеконсервативных сил по переводу системы из данной конфигурации к конфигурации сусловно нулевым уровнем потенциальной энергии.m1mifikmkДанная конфигурацияКонфигурация с условно нулевымуровнем потенциальной энергииполявнутрAданная.конф.

→нул. конф. = W пδA = −dW п .ПРИМЕРГравитационноеFm1drm2взаимодействиедвухматериальныхточекrrИсходная конфигурацияFграв = γm1m 2.r2Нулевой уровень потенциальной энергии соответствуетрасстоянию между телами r → ∞.m1m2∞∞Wп = A∞поляmmmm⎛ 1⎞= ∫ γ 1 2 2 dr cos π = −γm1m 2 ⎜ − ⎟ = −γ 1 2 .rr⎝ r⎠rrНулевая конфигурацияW п = −γWп01rr1 2Rm1m 2.r= −γArполя1 →RМ Зm ⎛М m⎞− ⎜−γ З ⎟ =r1R ⎠⎝⎛ γМ ⎞= r1R ≈ R 2 , r1 − R = h == ⎜ 2З ⎟mh = mgh .⎝ R ⎠{}IV.

Законы изменения и сохранения энергииСистема телr1Fid , fid – внешние и внутренние неконсервативные силы, действую-drim1щие на i-тое тело; Fi, fi – внешние и внутренние консервативныеrimim2силы, действующие на i-тое тело.Под действием сил тело массы mi перемещается на расстояние dri.Тогда, согласно закону изменения кинетической энергии, можно записать:⎛ m v2∆⎜⎜ i i⎝ 2⎛ m v2∆⎜⎜ i i⎝ 2⎞ 2⎟⎟ = ∫ FΣ dri .⎠ 1⎞⎟⎟ = Fid ∆ri + fid ∆ri + (Fi ∆ri ) + (fi ∆ri ) , так как⎠() ()внутр.внутри (fi ∆ri ) = δA конс., получимсил = − ∆W i пвнеш.(Fi ∆ri )= δA конс.сил= −∆W i внешп⎛ m v2∆⎜⎜ i i⎝ 2⎞⎟⎟ = Fid ∆ri + fid ∆ri − ∆W i внеш− ∆W i внутр.пп⎠() ()Перенесём два последних слагаемых в правую часть уравнения:⎛ m i vi2⎞∆⎜⎜+ ∆W iпвнеш + ∆W iпвнутр ⎟⎟ = Fid ∆ri + fid ∆ri .⎝ 2⎠() ()(1)Введём некоторые обозначения:Wк = ∑m iv i2– кинетическая энергия системы тел;2W пвнеш = ∑W i внеш– потенциальная энергия системы во внешних силовых полях;пW пвнутр = ∑W i внутр– потенциальная энергия системы во внутренних силовых полях;пdδAвнеш= ∑ (Fid ∆ri ) – работа внешних неконсервативных сил;dδAвнутр= ∑ (fid ∆ri ) – работа внутренних неконсервативных сил.Соотношение (1) записано для i-го тела.

Записав аналогичные соотношения длявсех тел системы и сложив их, получим:()dd∆ W к + W пвнеш + W пвнутр = δAвнеш+ δAвнутр– закон изменения механической энергии системы тел.Обозначим:W мех = W к + W пвнеш + W пвнутр– механическая энергия системы тел. Тогдаdd∆W мех = δA внеш+ δAвнутр– изменение механической энергии системы определяется работой как внутренних, таки внешних неконсервативных сил.Закон сохранения механической энергии: если работа внешних неконсервативных сили работа внутренних неконсервативных сил равна нулю, а внешние потенциальные поля стационарны, то механическая энергия системы остаётся постоянной.d= 0,W мех = const , если выполняются три условия (одновременно): 1) Aвнутрd2) A внеш= 0 , 3) внешние потенциальные поля стационарны.ПРИМЕРСистема тел m1-m2, внешнее тело – Земля.v1m1h1 v2Земляm2h2Wк =m1v12 m 2 v22kx 2; W пвнеш = m1 gh1 + m 2 gh2 ; W пвнутр =;+222dd– работа сил сопротивления воздуха, A внутр– неупруA внешгая деформация пружины.§5.Абсолютноупругийинеупругийудары(применение законов сохранения)I.

Характеристики

Список файлов лекций