ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Динамика поступательного движенияПредставим твёрдое тело как систему материальных точек ( m c = ∑ ∆m i ). Тогдацентр масс тела будет двигаться как центр масс системы материальных точек.∆mimсm тела a ц. м. = ∑ Fiвнеш .При поступательном движении все точки тела движутся, как центр масс.Все силы, приложенные к твёрдому телу при поступательном движении, можноприложить в точку центра масс.F2F2ц. м.F1F1F3F3II.
Динамика вращательного движения твёрдого тела вокругнеподвижной осиВсё сказанное ниже будет также справедливо и для ускоренно движущейся оси,проходящей через центр масс.Момент силы (M)αFhМомент силы M = Fh .h – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения долинии действия силы).·ось⊥Момент силы – мера взаимодействия тел во вращательномдвижении.h = r sin α = r sin (rF) ,FrhM = Fr sin (rF) .ααВекторная форма записи момента сил:M = [rF] ;M = rF sin(rF) = Fh .MMMFFrrrось вращенияось вращенияМожно доказать, что∑Mвнутр=0.Основное уравнение динамики вращательного движенияа)z (ось вращения)FДвижениеточкиматериальнойпоτОсьrВид сверху →rOЗапишем второй закон Ньютона в проекции на ось τ:maτ = F sin α ⎫⎬ ⇒ mr ε = F sin α ;aτ = εr⎭умножим на r левую и правую части уравнения:mr 2 ε = rF sin (rF) .Fαокружностиинертностьускорение M – характеристика взаимодействияво вращательном движенииво вращательном движенииmr 2 = I Oz – момент инерции материальной точки относительно оси Oz.I Ozε = M – основное уравнение динамики вращательного движения материальнойточки.Сравним: m a = F ; I – m, ε – a, M – F.б) Движение твёрдого тела, закреплённого на оси вращенияРассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг осиzOz.
Пусть на него действуют внешние силы Fi. Разобьём тело на nFi малых элементов массой δmi. На каждую элементарную массу δmiriδmiOмогут действовать как внутренние силы fij, так и внешние силы Fi.Так же, как и в предыдущем случае, для каждой элементарной массы ∆mi запишем II закон Ньютона в проекции на касательную ось τ:δm i ⋅ aiτ = f i1 ⋅ sin (α i1 ) + f i 2 ⋅ sin (α i 2 ) + ... + Fi ⋅ sin (α i ) .Домножив это уравнение слева и справа на ri, и учитывая то, что aiτ = εri , запишем систему уравнений:⎧δm1 ⋅ r12 ⋅ ε = f 12 ⋅ r1 ⋅ sin (α12 ) + f 13 ⋅ r1 ⋅ sin (α13 ) + ... + F1 ⋅ r1 ⋅ sin (α1 ),⎪2⎪δm 2 ⋅ r2 ⋅ ε = f 21 ⋅ r2 ⋅ sin (α 21 ) + f 23 ⋅ r2 ⋅ sin (α 23 ) + ...
+ F2 ⋅ r2 ⋅ sin (α 2 ),⎨⎪.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..⎪δm ⋅ r 2 ⋅ ε = f ⋅ r ⋅ sin (α ) + f ⋅ r ⋅ sin (α ) + ... + F ⋅ r ⋅ sin (α ).n1 nn1n2nn2nnn⎩ n nСложив уравнения этой системы, получимnnn⎛ n⎞⎜⎜ ∑ δm i ⋅ ri2 ⎟⎟ ⋅ ε = ∑ ∑ f ij ⋅ ri ⋅ sin (α ij ) + ∑ Fi ⋅ ri ⋅ sin (α i ) .i =1 j =1i =1⎝ i =1⎠Первое слагаемое в правой части уравнения представляет собой сумму моментоввнутренних сил, которая (в силу III закона Ньютона) равна нулю, что легко доказать.Вторая сумма – сумма моментов внешних сил, действующих на это тело:n∑ F r sin (α ) = ∑ Mi =1i iiвнешi.nОбозначим через I следующую сумму: I = ∑ δm i ⋅ ri2 , которую назовём моментомi =1инерции твёрдого тела относительно оси вращения Oz.
Тогда полученное уравнениеможно записать в следующем виде:nI Oz ⋅ ε = ∑ M iOzi =1– основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительнонеподвижной оси Oz.Так как ε =dω, уравнение можно записать в следующим виде:dtI Oz ⋅dω= ∑Mi .dtДля твёрдого тела I = const, поэтому момент инерции можно внести под знак производной:d(J Oz ⋅ω) = ∑ M i .dtЭто уравнение в общем случае справедливо и для ситуации, когда I не остаётся постоянной величиной.Если ввести понятие момента импульса твёрдого тела относительно оси Oz:LOz = I oz ⋅ω ,то основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела можно записать в следующей форме:dLOzвнеш= ∑ M iOz.dtСкорость изменения момента импульса твёрдого тела пропорциональна моменту внешних сил, действующих на это тело.III. Момент инерции твёрдого тела относительно оси вращенияМомент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении (аналог массы в поступательном движении). Он зависит как от массы тела, так и от её распределения по объёму тела.
Кроме того момент инерции зависит от выбора оси вращения.Момент инерции твёрдого тела равен сумме моментов инерции его частей. В частности, если тело разбить на элементарные массы ∆mi, то по определениюznI Oz = ∑ ∆m i ⋅ ri2 .i =1ri∆miOЗдесь ri – расстояние от элементарной массы ∆mi до оси вращения.Если устремить ∆mi к нулю, то получимI = ∫ r 2 dm .VТак как dm = ρ ⋅ dV , где ρ – плотность вещества, а dV – элементарный объём, то имеем:I = ∫ ρr 2 dV .VПРИМЕРЫ РАСЧЁТА МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ1. Момент инерции тонкого кольца и тонкостенного цилиндраРазобьём кольцо на элементы ∆mi, тогдаz∆miR()I = ∑ ∆m i R 2 = R 2 (∑ ∆m i ) = mR 2 ;I кольца = mR 2 .O2.
Момент инерции диска и сплошного однородного цилиндzRраrjРазобьём диск на тонкие кольца толщиной ∆rj, момент инерh∆rjnции которых равен ∆Ij. Тогда I диска = ∑ ∆I j . Так какj =1O∆I j кольца = ∆m j rj2 , то выразим массу ∆mi через плотность ве-щества ρ и объём кольца ∆Vj: ∆m j = ρ∆V j . Плотность цилиндра ρ =∆V j = 2πrj ∆rj h .∆I j = ∆m j rj2 =Тогда2 mr j3 ∆rjR2∆m j =2 mr j ∆rjmπ∆=.2rrhjjπR 2 hR2nВ. Так как I диска = ∑ ∆I j , то при ∆rj → 0 получимj =1RI диска2m2m r 4= ∫ 2 r 3 dr = 2 ⋅R 40 RI дискацилиндра=mR 2.23. Момент инерции тонкого стержняа) Относительно оси, проходящей через центр массR=0mR 2.2m, а объёмπR 2 hрезультатеzРазобьём стержень на элементы массой ∆mj. Если ширина∆xjэлемента равна ∆xj , то ∆m j =xO xjстержня.
Тогда ∆I j = ∆m j x 2j =m⋅ ∆x j , где l – длинаlm 2x j ∆x j и полный момент инерции I = ∑ ∆I j или, приl∆x j → 0 ,l /2I ц. м. = 2 ∫0m x3m 2x dx = 2 ⋅ll 3l /2=0ml 2.12Таким образом, момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящейчерез центр масс,I стержня =ц. м.ml 2.12б) Относительно оси, проходящей через конец стержняzlm x3m 2I = ∫ x dx = ⋅l 3l0∆xxxOI стержня=отн. концаl0ml 2=.3ml 2.34. Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через центрмассz2I шара = mR 2 (без вывода).5RO5. Момент инерции бруска относительно оси, проходящей чеzрез центр массbaOhI=()m a2 + b2.12Если a = b = h, тоI кубаma 2=.6IV. Теорема о параллельных осях (теорема Штейнера)Момент инерции тела зависит от выбора оси вращения. Если известен моментинерции тела относительно оси, проходящий через центр масс IOz, то момент инерцииотносительно произвольной оси, параллельной данной, можно найти по формулеI O 'z′ = I Oz + mb 2 .Здесь Oz – ось, проходящая через центр масс; O′z′ – ось, параллельная оси Oz, b – расстояние между осями, m – масса тела.z'zДОКАЗАТЕЛЬСТВОРазобьём тело на элементарные массы ∆mi.
Начало координат оси х расположим в центре масс тела. Момент инерцииц. м.O'xтела относительно оси, проходящей через центр массI 0 = ∑ δm i R i2 .bOМомент инерции тела относительно параллельной оси∆miОсь O'z'ribRiO αiОсь ц. м.I = ∑ ∆m i ri2 .Так как ri2 = R i2 + b 2 − 2 R i b cos (π − α i ) , тоI = ∑ ∆m i ri2 = ∑ ∆m i R i2 + ∑ ∆m i b 2 ++ 2 ∑ ∆m i R i b cos(α i ) = I 0 + b 2 ∑ ∆m i + 2b∑ ∆m i R i ⋅ cos(α i ) == {∑ ∆m i = m , R i cos (α i ) = x i − координата элемента ∆m i } = I 0 + mb 2 + 2 mb∑ ∆m ximi=⎧⎪ ∑ ∆m i x i=⎨= x ц.
м. − координата центра масс, но т. к. начало координат совпадаетm⎪⎩с центром масс, то x ц. м. = 0} = I 0 + mb 2 .ПолучилиI O 'z ' = I Oz + mb 2 ,что и требовалось доказать.V. Теорема о движении твёрдого телаВсё вышеизложенное можно обобщить в виде следующих утверждений:1.Любое сложное плоское движение тела можно представить как сумму поступательного движения этого тела и вращательного движения вокруг оси, проходящейчерез центр масс тела. (Такое разбиение не единственное.)Качение цилиндра2.=+Поступательное движение тела описывается движением центра масс, которое подчиняется следующему закону:m a ц.
м. = ∑ Fили, в более общем виде,d (m vц. м. ) = ∑ Fdt .3.Вращательное движение тела вокруг оси центра масс происходит так, как если быэта ось была неподвижна, т. е. подчиняется уравнениюI ц. м.ε = ∑ M ц.внешм. .или, в более общем виде,d (I ц. м.ω) = ∑ M ц.внешм. dt .ЗАМЕЧАНИЕУравнение I ε = ∑ M справедливо только для неподвижной оси. Если же ось вращения проходит через центр масс, то уравнение I ц. м.ε = M ц. м.
справедливо и тогда, когда ось вращения движется ускоренно (в этом случае сумма моментов сил инерции обращается в нуль).Сложноеплоскоедвижение=Поступательноедвижениеm a ц. м. = F+Вращательное движение вокругоси, проходящей через ц. м.I ц. м.ε = M ц. м.ГЛАВА III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯЗаконы сохранения позволяют связать состояния системы до и после взаимодействия, не вдаваясь в подробности протекающего процесса.
Они несут информацию о характере внутренних сил системы. Они не знают исключений. Они справедливы как длямикро-, так и для макротел; справедливы при скоростях, много меньших скорости света, и при скоростях, сравнимых со скоростью света.§ 1. Закон сохранения импульсаpсист = m1v1 + m 2 v2 + ... + m N v N .v1m1Закон изменения импульса системы:m2dpсист= ∑ Fiвнеш .dtv3v2m3Если система замкнута, то Fiвнеш = 0 иdpсист= 0.dtВ замкнутой системе импульс остаётся постоянным:m1v1 + m 2 v2 + ... + m N v N = const .Условия, при которых импульс системы остаётся постоянным4.Внешние силы не действуют ( Fiвнеш = 0 ), либо векторная сумма всех внешних силравна нулю ( ∑ Fiвнеш = 0 ), тогда pсист = const .5.Запишем закон изменения импульса системы в проекциях на оси Ox, Oy, Oz:dpсист= ∑ Fiвнешdt⎧ d (pсист )x= ∑ Fiвнеш x ,⎪ dt⎪⎪ d (pсист )y⇒⎨= ∑ Fiвнеш y ,dt⎪⎪ d (pсист )z= ∑ Fiвнеш z .⎪⎩ dt()()()Если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю( ∑ Fiвнеш ≠ 0 ), но сумма внешних сил в проекции на одну из осей равна нулю (например,∑ (F)внешiy= 0 ), то проекция импульса системы на это направление остаёт-ся постоянной ( (pсист )y = const ).6.Короткие взаимодействия (удары, взрывы).
Если внутренние силы гораздо большевнешних сил, а время взаимодействия мало, то импульс системы можно считатьпостоянным.∆pсист = F внеш ⋅ ∆t ,при ∆t → 0 pсист = const .§ 2. Закон сохранения момента импульсаХарактеристикойпоступательногодвижения является импульс тела.Характеристикойвращательногодвижения является импульс тела.d(mv ) = ∑ Fdtd( Iω ) = ∑ Mdtp = mvL = Iωимпульсмомент импульсаI. Момент импульса материальной точки относительнонеподвижной осиL точки = [r ⋅ m v] ,zL = r ⋅ m v ⋅ sin (r m v) .LLvrm⊥rПРИМЕР 1Движение точки по окружностиL = [R ⋅ m v], R ⊥ mv.zLmvRL = R ⋅ m v ⋅ sinπ2= {v = ωR } = Rm ωR = mR 2ω = I точки ω .⊥ПРИМЕР 2Прямолинейное движение точкиzL = Rm v ⋅ sin (r m v) = Rm v ⋅ sin (π − ϕ ) = mvR ⋅ sin ϕ = mvhhmrφhvII.
Момент импульса твёрдого тела относительно неподвижной осиРазобьём твёрдое тело на элементарные участки массой ∆m i .zv∆LiriL = ∑ ∆L i = ∑ [ri ⋅ ∆m i vi ].Все ∆L i всегда параллельны друг другу. Всегда ri ⊥ vi.π⎞⎛L = ∑ ∆L i = ∑ ⎜ ri ⋅ ∆m i vi ⋅ sin ⎟ = {vi = ω ⋅ ri } = ∑ ∆m i ri2ω =2⎠⎝(∆mi())= ω ⋅ ∑ ∆m i ri2 = I Oz ω .OIOzLOz = I Ozω .III. Закон сохранения момента импульсаzЗапишем уравнение динамики вращательного движения для каждого тела:⎧ dL1внутрвнеш⎪ dt = ∑ M i1 + M1 ,⎪⎪ dL 2 = M внутр + M внеш ,⎪∑ i22⎨ dt⎪.......... .......... ..........
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
