ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Следствия из преобразований ГалилеяИнварианты преобразований – физические величины, численное значение которыхне изменяется при переходе из одной системы отсчёта в другую (например, масса).I. Абсолютность одновременностиТак как t' = t, то события, одновременные в одной системе отсчёта, будут таковымии в другой системе отсчёта.
Если t1' = t2', то t1 = t2.II. Инвариантность длины отрезкаy'yy2y1'y1l′ =v=l'y2'(x 1′ − x 2′ )2 + (y1′ − y 2′ )2=[(x 2 − x 1 ) − v ⋅ (t 2 − t1 )]2 + (y 2 − y1 )2 = {t1 = t 2 } = l.l = l ′ – длина инвариантна.x1'x1x'x2'xx2III. Инвариантность интервала времени∆t ′ = t 2′ − t1′ = t 2 − t1 = ∆t ;∆t = ∆t ′ – интервал времени инвариантен.IV.
Классический закон сложения скоростейyПусть тело движется со скоростью u' относитель-y'u'Bv = constсистемы A будет равнаx'Aно системы B. Тогда его скорость относительноu = u'+ v .xV. Инвариантность ускоренияa=du ddu' dvdu'= (u'+ v) = {dt = dt ′} =+= {v = const } == a' ;dt dtdt ′ dtdt ′a = a' .VI. Инвариантность массы и силыВ классической механике постулируется:m = m′, F = F ′ .Если в системе отсчёта А для трёх физических величин m, a, F выполняется соотношение F = m a , то в силу того, что m = m′ , a = a' , F = F' , в системе отсчёта В междуэтими величинами будет существовать соотношение F' = m a' .Принцип относительности Галилея: все инерциальные системы отсчёта в механическом смысле эквивалентны друг другу.
Это означает, что никакими механическимиопытами, поставленными внутри инерциальной системы отсчёта, нельзя определитьдвижется ли система отсчёта или она покоится.ГЛАВА VI. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИМеханикаЭлектрическоеII закон Ньютона инвариантен относи-(электромагнитное) полетельно преобразований Галилея.Уравнения, описывающие электромагнитное поле, не инвариантны относительнопреобразований Галилея.§ 1. Преобразования ЛоренцаПостулаты теории относительности1. Все инерциальные системы отсчёта эквивалентны друг другу, т.
е. все явления природы протекают в них одинаковым образом, по одним и тем же законам.2.Скорость света не зависит ни от скорости источника излучения, ни от скорости наблюдателя, т. е. она постоянна во всех инерциальных системах отсчёта.Вывод преобразований Лоренца1) Система А условно неподвижна. Система В движется со скоростью v.
Оси х и x' наодной линии и совпадают с направлением вектора v. Пространство изотропно и однородно, время однородно.Снабжаем системы эталоном длины и эталоном времени, а также запускающимсигналом для синхронизации часов.2) Момент времени, когда начала отсчёта обеих систем совпадают, примем за началоотсчёта времени в этих системах, т.
е. когда O и O′ совпадают, тогда t = 0, t' = 0.3) За основу новых преобразований возьмём преобразования Галилея:⎧x = α (x ′ + vt ′),⎨⎩x ′ = α ′(x − vt ).(1)4) Из первого принципа теории относительности следует, что α = α', так как если переход из системы А в систему В будет протекать по другим законам, нежели обратный переход, то системы не будут эквивалентны друг другу.5) Когда начала отсчёта обеих систем совпадут, из этой точки вдоль оси х пошлёмсветовой импульс и запишем закон его распространения в обеих системах:y⎧x = ct,⎨⎩x ′ = ct ′;y'vСравни с классической механикой:cBx'Ax(2)⎧x = ct,⎨⎩x ′ = (c − v )t .x'x6) Так как наблюдатели А и В следят за одним и тем же объектом, то координаты этого объекта должны быть связаны между собой формулами преобразований.
Подставим (2) в (1):⎧ct = α (ct ′ + vt ′),⎨⎩ct ′ = α (ct − vt ).Помножим верхнее уравнение на нижнее:()c2t t ′ = α 2 c2 − v2 t t ′ ,1.1 − v2 c2α=Тогдаx − vtx′ =1 − v2 c2.7) Найдём преобразование для времени. Для этого исключим из (1) х′:xα(из α == αx − αv t + v t ′ ⇒ v t ′ =⎡ ⎛ 1⎤ 1v2⎞− αx + αvt ⇒ vt ′ = α ⎢ x ⎜ 2 − 1⎟ + vt ⎥ ; 2 − 1 = − 2αc⎠⎣ ⎝α⎦ αx1). Получим:1 − v2 c2xv⎛xv ⎞c2 .vt ′ = α ⎜⎜ vt − 2 ⎟⎟ ⇒ t ′ =c ⎠1 − v2 c2⎝2t−Формулы преобразований ЛоренцаОт В к Аx′ =x − vt1 − v2 c2От А к Вx=x ′ + vt ′1 − v 2 c2y = y′z = z′y′ = yz′ = zxvc2t′ =1 − v2 c2t−x ′vc2t=1 − v2 c2t′ +ЗАМЕЧАНИЯ:1.
При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.2. Так как в преобразованиях присутствует 1 − v 2 c 2 , то мы можем использовать этипреобразования только для систем отсчёта, движущихся со скоростью v < c.§ 2. Следствия из преобразований ЛоренцаI. Замедление темпа хода движущихся часовСитуация 1Поочерёдно наблюдают за периодом колебаний одного и того же маятника в системах отсчёта А и В и измеряют его.TA = TB, иначе системы А и В неравноправны.y'yvBTAизмеренное в системе отсчёта, неподвижнойTBотносительно данного процесса.x'ATA = TB = T0 – собственное время, т. е. время,xНаблюдательСитуация 2Одновременно измеряют период колебаний маятника, находящего в системе В.yВ системе В:y'vT B = T 0 , (x 2′ = x 1′ ) ;в системе А:BAx'T A = t 2 − t1 ,xTA =(t 2′ − t1′ ) + v2 (x 2′ − x 1′ )c1 − v2 c2= {t 2′ − t1′ = T B = T 0 ; x 2′ = x 1′} =TA =T01 − v2 c2T01 − v 2 c2=.(1).Темп хода движущихся часов замедляется.
Интервал времени ∆t – не инвариантнаявеличина по отношению к преобразованиям Лоренца.II. Относительность одновременностиЕсли в формуле (1) t2' = t1', но x2' ≠ x1' (события происходят одновременно, но вразных местах), то t2 ≠ t1 (события происходят в разные моменты времени). События,одновременные в одной системе отсчёта, не являются одновременными в другой системе отсчёта.Если t2' > t1' и x2 < x1, можно подобрать такое время, что t2 < t1.III. Сокращение длины движущегося отрезкаСитуация 1Поочерёдно измеряют длину одного и того же отрезка в системах А и В.yy'x 2 − x1 = lA ⎫⎬ , l A = l B = l0 ,x 2′ − x 1′ = l B ⎭vиначе системы отсчёта неравноправны и нарушаетсяBAx1x1' x2'x'первый постулат теории относительности.xx2Ситуация 2Одновременно в системах отсчёта А и В измеряют длину одного и того же отрезка.yy'Система В:vx 2′ − x 1′ = l0 ;система А:BAx1' x2'x1x2x'xl0 =(x 2 − x 1 ) − v(t 2 − t1 ) = {x1 − v2 c22− x 1 = l A , t 2 = t1 } =lA1 − v2 c2l A = l0 ⋅ 1 − v 2 c 2 .Вывод: длина движущегося отрезка сокращается в направлении его движения.
Длинаотрезка ∆l не является инвариантной величиной по отношению к преобразованиям Лоренца.IV. Инвариантность интервала между двумя событиямиВ четырёхмерном пространстве событие является функцией координат и времениf(x, y, z, ct).ctмировая линия точки, покоящейся в трёхмерном пространствеxctdS122 – интервал между двумя событиями.2(x2, y2, z2, ct2)Время растёт.1(x1, y1, z1, ct1)x (y, z)В трёхмерном пространстве расстояние между двумя точ-zками вычисляется по формулеl∆l 2 = ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 .Аналогично в четырёхмерном пространстве:ydS 122 = c 2 ⋅ ∆t 2 − ∆x 2 − ∆y 2 − ∆z 2 = c 2 ⋅ ∆t 2 − ∆l 2 ;xd (S 12′ ) = c 2 ⋅ dt ′2 − dx ′2 .2В силу того, чтоdx ⋅ vc 2 и dx ′ = dx − dt ⋅ v ,dt ′ =1 − v2 c21 − v2 c2dt −имеем:d (S 12′ )2=1=1 − v2 c2[(⎛ 2⎞dx 2 ⋅ v 22⋅ ⎜⎜ c ⋅ dt − 2 ⋅ dt ⋅ dx ⋅ v +− dx 2 + 2 ⋅ dt ⋅ dx ⋅ v − v 2 ⋅ dt 2 ⎟⎟ =2c⎝⎠)() ]c2⋅ c 2 − v 2 dt 2 − 1 − v 2 c 2 dx 2 = c 2 ⋅ dt 2 − dx 2 = dS 122 .22c −v22d (S12′ ) = d (S12 ) – интервал между двумя событиями является величиной инвари-антной.V.
Закон сложения скоростейВ системе отсчёта А:y y'uux =vBAx'xdxdydz, uy =, uz = .dtdtdtВ системе отсчёта В:u ′x =dx =dx ′dy ′dz ′, u ′y =, u'z =;dtdtdt ′dx ′ + v ⋅ dt ′1 − v2 c2= dt ′u ′x + v1 − v2 c2; dt =u′ ⋅ vdx ′ ⋅ v1+ x 22cc= dt ′,221− v c1 − v2 c2dt ′ +ux =u′ + vdx= x.u ′x ⋅ vdt1+ 2c22dy dy ′ 1 − v c;dy = dy ′ , dz = dz ′ , u y ==⋅u ′x ⋅ vdt dt ′1+ 2c1 − v2 c2u y = u ′y ⋅;u ′x ⋅ v1+ 2c1 − v2 c2u z = u z′ ⋅.u ′x ⋅ v1+ 2cПРИМЕРyСистема В: u ′x = 0, u ′y = c, u ′z = 0 .y'cvBAx'xСистема А: u x = v, u y = c ⋅ 1 − v 2 c 2 , u z = 0 .()u = u x2 + u y2 + u z2 = v 2 + c 2 ⋅ 1 − v 2 c 2 + 0 = v 2 + c 2 − v 2 = c.§ 3. ДинамикаI.
Релятивистский импульсЕсли для импульса тела воспользоваться формулой p = m0v, то при переходе отсистемы B, в которой предположительно выполняется закон сохранения импульса, ксистеме A равенство нарушается.yy'-vm0u ′x = − vvm0u ′x = v0 = −m 0 v + m 0 vBx'2m0 v2m 0 v = 0 +1 + v2 c2AxПопытаемся подобрать такое выражение для импульса, чтобы y-компонента импульса сохраняла свой внешний вид при переходе из одной системы отсчёта в другую.y y'm0 – масса покоя.vu'yВ классической механике:m0Py′ = m 0Bx'Ady ′,dt ′так как dy' = dy, dt' ≠ dt, имеем Py' ≠ Py.xВозьмём в качестве интервала времени собственное времяdτ' = dτ. ТогдаPy′ = m 0(P ′ )dy ′= Py ,dτ ′y рел= Py .Собственное времяdτ = dt ⋅ 1 − u 2 c 2 ,тогда (m0 – масса покоя)mPy = m 0Px =m0cum0 ⋅ uym0dydy==,22 dt22dτ1− u c1− u cm0 ⋅ u x1− u c22, Pz =m0 ⋅ u z1− u 2 c2;Pрел =m0u1 − u 2 c2, m рел =m0, Pрел = m рел u .1 − u 2 c2II.
Релятивистское уравнение динамики поступательного движенияматериальной точкиЕсли нет взаимодействия, то Pрел = m рел u = const .Если есть взаимодействие, мера взаимодействия – сила F;∆ (m рел u) = F∆t ⇒ ∆Pрел = F∆t либоm0ud=Fdt 1 − u 2 c 2– релятивистское уравнение динамики.Так как сила F есть функция либо скорости, либо расстояния, и так как скорость ирасстояние не инвариантны относительно преобразований Лоренца, можно сделать вывод, что сила не инвариантна относительно преобразований Лоренца.III. Кинетическая энергия.
Взаимосвязь массы и энергииРабота А – мера изменения энергии. Формулу для определения кинетической энергии найдём по работе, которую совершают силы для разгона тела, A = ∆W к . Пусть силаF = const направлена по перемещению ∆r. Тело разгоняется от 0 до v. КинетическаяFt =0t = t1x =0u =0Wк = 0x = x1xu = u1Wк ≠ 0энергия изменяется от 0 до W к .∆(m рел u )⎫⎧∆x= u ⋅ ∆(m рел u )∆A = (F∆x ) ⋅ cos 0 o = ⎨F =⎬ = ∆(m рел u )⋅∆t∆t⎩⎭– элементарная работа.uW к = A = ∫ u ⋅ d (m рел u ) =0{∫ x ⋅ dy = xy − ∫ y ⋅ dx }= u ⋅ (m u ) − ∫ muрел0u0релu ⋅ du =u= m рел u 2 − ∫0+m01− u c2m 0 c2⋅ 2/ ⋅ 1 − u 2 c 22/− m 0 c 2 = m рел u 2 +2u0⋅m c2 udu 2 c 2⋅ 2 = m рел u 2 + 0 ⋅ ∫ 1 − u 2 c 22 c2 0() d (1 − u−12= m рел u 2 + m 0 c 2 ⋅ 1 − u 2 c 2 − m 0 c 2 = m рел u 2 +m 0c21− u c222)c 2 = m рел u 2 +(m 0c2 ⋅ 1 − u 2 c21 − u 2 c2)−− m рел u 2 − m 0 c 2 = m рел c 2 − m 0 c 2 .A = ∆W к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
