ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 42
Текст из файла (страница 42)
е. A = A'. Следовательно,Q1′ = AT1′.T1′ − T2′A = Q1T1 − T2.T1(7)Работу А найдем по формулеОтсюда окончательно получимQ1′ = Q1T1′ T1 − T2.⋅T1′ − T2′T1(8)(здесь по-прежнему считаем Q1 = q).Холодильником тепловой машины и нагревателем холодильной служит один и тотже резервуар – вода в калорифере, поэтому T 1′ = T 2 . Подставив выражения (8) и (3) вравенство (1), получимQx = qT2T1⎛ T1 − T 2 ⎞⎜⎜1 +⎟⎟ = 58 ⋅10 3 кДж .′T−T22 ⎠⎝Задача 5Кислород массой 0,2 кг нагревают от температуры t1 = 27°C до температурыt2 = 127°C.
Найти изменение энтропии, если известно, что начальное и конечное давления газа одинаковы.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕИзменение энтропии газа при переходе из одного состояния в другое определяетсятолько параметрами этих состояний и не зависит от характера процесса, при которомбыл осуществлен этот переход. В случае обратимого процесса конечное изменение энтропии будет определяться соотношением2∆S = ∫1dQ.T(1)Поэтому независимо от процессов, происходящихв действительности, искомое изменение энтропииможет быть найдено при рассмотрении обратимогопроцесса, в результате которого газ будет переведен из первого состояния во второе.Рис. 43В данном случае переход из состояния 1 в состояние 2 может быть осуществлен,например, изобарным процессом или изотермическим расширением до промежуточного состояния 3 с последующим изохорным нагреванием 3-2 (рис.
43).Проведем расчет для изобарного процесса. В этом случаеdQ =mµC p dT .(2)Подставив это выражение в равенство (1), получим∆S =mµC p lnT2Дж= 51.T1КЗадача 6Два баллона емкостью V1 = 2 л и V2 = 3 л каждый соединены трубкой с краном.Первый наполнен азотом под давлением p1 = 1 атм, второй – окисью углерода под давлением p2 = 5 атм. Найти изменение энтропии системы, которое произойдет в результате открывания крана, если вся система заключена в теплоизолирующую оболочку. Начальные температуры в обоих баллонах одинаковы и равны 27°С.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕТак как вся система в теплообмене не участвует и не совершает работы противвнешних сил, то суммарная внутренняя энергия обоих газов будет оставаться неизменной. Так как до смешения средние кинетическиеэнергии, приходящиеся на одну степень свободы вобоих газах, были одинаковы, то и после смешения, при установлении термодинамического равновесия, средняя кинетическая энергия любой молекулы смеси останется прежней.
Отсюда вытекает,Рис. 44что температура смеси будет равна начальной температуре газов. Смешение газов будет протекать необратимым образом, следовательно,энтропия системы возрастет. Изменение энтропии системы будет равно сумме изменений энтропии каждого газа.Для того чтобы подсчитать изменение энтропии, надо рассмотреть такой процесс,при котором смешение газов произойдет обратимым образом. Представим себе цилиндрический сосуд, разделенный на две части, объемы которых соответственно равны 2 и3 л (рис.
44). В левой части сосуда находится азот, в правой – окись углерода. Газы от-делены друг от друга полупроницаемыми перегородками А и В. Перегородка А проницаема для азота и непроницаема, т. е. аналогична обычному поршню, для окиси углерода. Перегородка В проницаема для окиси углерода и непроницаема для азота. В таком приборе обратимое смешение можно провести следующим образом: при оченьмедленном перемещении одной из перегородок, например перегородки А влево, вплотьдо противоположной стенки, окись углерода будет расширяться до объема (V1 + V2),причем сила давления на перегородку А со стороны окиси углерода должна все времяуравновешиваться некоторой внешней силой F.
При расширении окись углерода будетсовершать работу против силы F. Для того чтобы процесс был изотермическим, газдолжен извне получать тепло. При изотермическом процессе dQ = pdV, поэтому изменение энтропии∆S 2 =V1 +V2∫V2pdV.T(1)Произведя интегрирование, получим∆S 2 =p 2V2 V1 + V2ln.TV2(2)При перемещении перегородки В вправо произойдет расширение азота до объема(V1 + V2) и изменение энтропии будет равно∆S1 =p1V1 V1 + V2ln.TV1(3)Суммируя выражения (2) и (3), найдем∆S =p1V1 V1 + V 2 p2V 2 V1 +V 2Дж+= 3,2.lnlnTV1TV2КОба слагаемых в окончательном выражении для ∆S положительны.
Это соответствует тому, что самопроизвольное смешение разнородных газов есть необратимый процесс, и в теплоизолированной системе всегда сопровождается увеличением энтропии.Задача 7Найти изменение энтропии системы, описанной в предыдущей задаче, если во втором сосуде тоже находится азот под давлением p2 = 5 атм.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕНужно рассмотреть обратимый процесс, в результате которого газ придет в то жеконечное состояние, какое установится после открывания крана.
Конечные значенияпараметров р, V и Т азота будут такими же, как и у смеси в условиях задачи № 6. Однако изменение энтропии будет иным, так как молекулы газа, находящегося в обоих сосудах, теперь принципиально неразличимы. В этом случае невозможно осуществитьперегородку, которая была бы более проницаема для молекул газа одного сосуда, чемдля молекул газа другого сосуда.Для осуществления обратимого процесса представим, что сосуды разделены обыкновенным поршнем, который будет перемещаться до тех пор, пока давление с обеихего сторон не станет одинаковым.
Для того чтобы процесс был квазистатическим, поршень должен двигаться бесконечно медленно. Это возможно при условии, если напоршень, кроме силы давления газов, будет действовать еще внешняя сила, величинакоторой определится произведением разности давлений на площадь поршня. При такомпроцессе газ, который вначале был под большим давлением, будет изотермически расширяться до некоторого объема V2' и энтропия его будет возрастать. Газ в первом сосуде будет изотермически сжиматься до объема V1', энтропия его будет уменьшаться.Суммарное изменение энтропии равно∆S =p1V1 V1′ p 2V2 V2′ln +ln .TV1TV2(1)Для вычисления ∆S отношение объемов заменим обратным отношением давлений,конечное давление р определим из следующих условий:p1V1 = pV1′;p 2V2 = pV2′;⎫⎪⎬.⎪V1′ + V2′ = V1 + V2 ⎭(2)Отсюда получим, чтоp1p (V + V1 )= 1 2,pp1V1 + p 2V2p2p (V + V2 )= 2 1.pp1V1 + p 2V2Следует обратить внимание на то, что отношениеp1< 1 , и первое слагаемое в выpражении (1) для энтропии отрицательно.
При расчете получаем∆S = 1,01Дж.КРазличие в результатах задач №№ 6 и 7 можно объяснить тем, что процессу смешения в задаче № 6 может предшествовать процесс выравнивания давления с помощьюпоршня, как это было сделано в настоящей задаче. Удаление поршня после выравнивания давлений в случае одинаковых газов не влечет за собой никаких процессов.
В случае различных газов удаление поршня приведет систему в неравновесное состояние: водной части объема находится азот, в другой – окись углерода. Начнется необратимыйпроцесс смешения двух различных газов. После удаления поршня энтропия будет возрастать только в том случае, если по обе его стороны находились различные газы.§ 5. ЖИДКОСТИВ данном параграфе затрагиваются явления в поверхностном слое жидкости.
Этиявления специфичны и поэтому желательно подробнее остановиться на механизме возникновения силы поверхностного натяжения.Молекулы поверхностного слоя находятся в иных условиях, чем в объеме жидкости. Легко показать, что потенциальная энергия поверхностных молекул больше. Этоприводит к тому, что концентрация молекул в поверхностном слое меньше, чем концентрация молекул внутри жидкости, соответственно в поверхностном слое увеличиваются средние расстояния между молекулами.В объеме жидкости среднее расстояние между молекулами таково, что силы притяжения и силы отталкивания взаимно компенсируются.
Увеличение расстояния междумолекулами в поверхностном слое обусловливает преобладание сил притяжения(см. рис. 35 и задачу № 17, § 2, гл. II). Этим объясняется возникновение силы натяжения на свободной поверхности жидкости.Если поверхность жидкости обладает кривизной, то силы поверхностного натяжения дают результирующую, направленную по нормали к поверхности. Это приводит ктому, что давление в жидкости отличается от внешнего давления на величину ∆p:⎛1 1∆p = σ ⎜⎜ +⎝ r1 r2⎞⎟⎟ .⎠При решении задач этого параграфа существенно обратить внимание студентов нато, что это изменение давления происходит скачком.Задача 1В спирт опущена на ничтожную глубину трубка, радиус внутреннего канала которой r = 2 мм. Найти массу спирта, вошедшего в трубку.
Насколько давление в точках,лежащих на половине высоты столбика спирта (рис. 45), меньше атмосферного? Коэффициент поверхностного натяжения спирта σ = 2,2·10-2 Н/м.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕСпирт смачивает стекло, и краевой угол равен нулю20, поэтому мениск будет вогнутым и будет иметь форму полусферы, радиус которой равен радиусу канала трубки.20Это предположение будем считать справедливым во всех дальнейших задачах.В точках 1 и 2, расположенных вплотную к поверхностижидкости, но по разные от нее стороны, давления будутотличаться друг от друга на величину ∆p, определяемуюформулой Лапласа:⎛1 1⎞∆p = σ ⎜⎜ + ⎟⎟ ,⎝ r1 r2 ⎠(1)где r1 и r2 – главные радиусы кривизны.В данном случае r1 = r2 = r – радиус канала.
Такимобразом, давление в точке 2p2 = p0 − 2σr,Рис. 45(2)где p0 – давление в точке 1, равное атмосферному (давлением паров спирта пренебрегаем).Давление в точке, лежащей под поверхностью на расстоянии х от нее, будет больше, чем в точке 2, на величину гидростатического давления столбика спирта высотой х,и будет равноp x = p0 −2σ+ ρgx .r(3)В точке 3, лежащей на уровне свободной поверхности жидкости, которую можносчитать плоской, давление должно равняться атмосферному (p0), т. е.p0 −2σ+ ρgh = p 0 ,r(4)где h – высота всего столбика спирта.
На основании формулы (4) находимh=2σ.rgρ(5)Искомая масса может быть рассчитана так:m = ρh ⋅ πr 2 =2πσr= 2,8 ⋅10 −4 г .g(6)Формула (6) может быть получена непосредственно из следующих соображений.Вдоль всей линии соприкосновения поверхности спирта со стеклом со стороны стеклана жидкость действует сила f, направленная вертикально вверх и равная произведениюкоэффициента поверхностного натяжения на длину линии соприкосновения, т. е.f = σ ⋅ 2πr .Эта сила уравновешивается силон тяжести P = mg столбика спирта.Давление в точках, лежащих на половине высоты столбика спирта ( x =p h = p0 −2σr; ∆p = p0 − p h =2σrh), равно2= 0,08 мм рт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
