ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Подставив значения fтр и F = F2 в уравнения (1), получимa1 =f трm1= 0,5F2 − f трмм; a2 == 4,0 2 .2m2ссУскорения а1 и а2 рассчитаны относительно неподвижного стола. Разность а2 – а1равна ускорению бруска относительно доски.2.ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИСИСТЕМЫ ТЕЛВо многих случаях использование законов Ньютона затруднено из-за того, что действующие силы переменны, а закон их изменения со временем не известен. В таких задачах удобно использовать законы сохранения, позволяющие иногда сразу определитьскорости или положения тел после взаимодействия.
Некоторые задачи можно решитькак с помощью законов Ньютона, так и с помощью законов сохранения. Однако использование законов сохранения обычно приводит к более простому решению.Изменение импульса системы тел определяется действием только внешних сил,т. с. взаимодействием с телами, не входящими в рассматриваемую систему тел:dpi = F1e + F2e + K ,∑dtгде pi = mivi – импульс каждой материальной точки (или тела в случае поступательногодвижения), включенной в рассматриваемую систему; F1e , F2e и т. д. – внешние силы. Если F1e + F2e + K = 0 , т. е.
система замкнута, то импульс системы остается постоянным:∑pi= p1 + p2 + K = const – закон сохранения импульса, который может быть записантакже так:m1v1 + m 2 v2 + K = m1u1 + m 2 u2 + K ,(2.1)где v1, v2 и т. д. – скорости тел до взаимодействия; u1, u2 и т. д. – скорости тел послевзаимодействия.Уравнение (2.1) в векторной форме равноценно двум (или трем) скалярным уравнениям в проекциях на координатные оси:m1v1x + m 2 v2 x + K = m1u1x + m 2 u2 x + K ,(2.2)m1v1y + m 2 v2 y + K = m1u1y + m 2 u 2 y + K ,(2.3)В реальных условиях трудно выбрать замкнутую систему тел.
Однако нередко действием внешних сил можно пренебречь, например, тогда, когда изменение импульсакаждого тела системы в результате действия внешних сил мало по сравнению с изменением импульса под действием внутренней силы. В этом случае уравнения (2.1)-(2.3)приближенно выполняются.Если внешними силами пренебречь нельзя, но сумма проекций этих сил на одну из.осей, например, на ось x, равна нулю, то сумма проекций импульсов тел системы, наэту ось остается постоянной, т. е.
выполняется соотношение (2.2), хотя не выполняютсяни векторное соотношение (2.1), ни скалярное соотношение (2.3).Работа силы при перемещении тела из положения 1 в положение 2 находится поформуле2Ai = ∫ fi dl ,(2.4)1где dl – перемещение точки приложения силы fi. Очевидно, сила не совершает работы,если точка ее приложения не перемещается, либо если сила перпендикулярна перемещению.Кинетическая энергия материальной точки либо поступательно движущегося твердого тела Wк = mv2/2. Изменение кинетической энергии каждого тела равно алгебраической сумме работ A', А", ...
всех сил, действующих на это тело:∆W к = W к2 −W к1 = A ′ + A ′′ + K ,(2.5)где индекс 1 относится к начальному, а индекс 2 к конечному состоянию.Потенциальная энергия обусловлена взаимодействием элементов системы, еслисилы взаимодействия консервативны. Консервативными являются силы тяготения иупругости. Силы трения, как и силы неупругой деформации, являются диссипативными. Изменение потенциальной энергии системы равно работе Aвз внутренних консервативных сил, взятой с обратным знаком, при перемещении системы из положения 1 вположение 2:∆W п = W п2 − W п1 = − Aвз .(2.6)Абсолютное значение потенциальной энергии может быть определено лишь тогда, когда выбрано начало отсчета потенциальной энергии, т. е. такое взаимное расположениеэлементов, при котором потенциальную энергию принимают равной нулю.
Конкретноеаналитическое выражение потенциальной энергии и ее изменения зависит от характераконсервативных сил взаимодействия, расчет этих величин производится по формуле(2.6).При парном взаимодействии удобно одно из тел считать неподвижным. Тогда изменение потенциальной энергии определяется работой внутренней консервативной силы, действующей только на второе тело; кинетическая энергия системы в этом случаеопределяется относительной скоростью второго тела.Полная механическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тели потенциальной энергии системы.
Изменение полной энергии ∆W системы равно алгебраической сумме работ внешних сил, действующих на все тела системы и внутренних неконсервативных (диссипативных) сил:∆W = W 2 −W1 = Ae + Adis ,(2.7)где Ae – сумма работ всех внешних сил, Adis – сумма работ всех внутренних диссипативных сил при переходе системы из состояния 1 в состояние 2.Если Ae = 0 и Adis = 0, то полная энергия системы остается постоянной (закон сохранения энергии в механике):W = W п + W к = const(2.8)∆W = ∆W п + ∆W к = 0 .(2.9)илиИспользование равенства (2.9) позволяет не выбирать начало отсчета потенциальной энергии. Закон сохранения энергии выполняется не только тогда, когда работавнешних и диссипативных внутренних сил, рассчитываемая по формуле (2.4), равнанулю, но и когда этой работой можно пренебречь по сравнению с работой внутреннихконсервативных сил.Анализ и решение задач проводят в такой последовательности.1.
Выяснить, движение каких тел рассматривается в задаче, что известно о характере движения: начальные положения, траектории, модули и направления начальныхскоростей и т. п.2. Установить причины изменения движения каждого из тел, т. е. выяснить, за счеткаких взаимодействий происходят эти изменения.3. Установить, на какие отдельные процессы по характеру взаимодействий следуетразбить весь описанный в задаче процесс. Для этого выясняют, в каких процессах участвует каждое из рассматриваемых тел, какие состояния должны быть выделены.
Дальнейший ход решения проводится по отдельным процессам и отдельным состояниям.4. Для каждого отдельного процесса выяснить, какие тела в нем участвуют, какиетела удобно включить в систему. Таким образом, уготавливается, какие силы, действующие на каждое тело системы, являются в данном процессе внутренними, a какие –внешними.5. Установив, из каких тел состоит система, выяснить из условий задачи, подчиняется ли система тому или иному закону сохранения, а также какие дополнительныепредположения нужно сделать для выполнения этих законов и возможны ли они по условию задачи.6. Записать в общем виде используемые законы сохранения, указав систему тел ипроцесс. Последовательность применения законов сохранения зависит от конкретныхусловий задачи.7. Закон сохранения энергии записать в виде (2.8) (Wп1 + Wк1 = Wп2 + Wк2) или (2.9).Затем каждое из выражений, входящих в эти равенства, записать в явном виде.
Кинетические энергии системы в состояниях 1 и 2 найти суммированием кинетических энер-гий всех тел системы. Выражение для потенциальной энергии системы или ее изменения найти по формуле (2.6). При использовании закона в форме (2.8) предварительновыбрать начало отсчета потенциальной энергии системы.8. Закон сохранения импульса записать сначала в векторной форме (2.1). Затем,выбрав оси координат, записать соотношения между проекциями импульсов (2.2) и(2.3). Если импульсы всех тел до и после взаимодействия коллинеарны, достаточно одной оси и соответственно одного скалярного равенства. Если сохраняется только проекция импульса системы на одну из осей, например, ось х (в случае, когда внешние силы не скомпенсированы, но сумма их проекций на ось х равна нулю), следует сразу записать скалярное соотношение (2.2).
При записи закона сохранения импульса скоростивсех тел должны быть выражены в одной системе отсчета.9. Полученные в пп. 7 и 8 скалярные уравнения образуют систему, решение которой позволяет рассчитать искомые величины.10. Работа сил может быть рассчитана либо непосредственно (2.4), либо по изменению энергии (2.5)-(2.7).Задача 2.1В платформу с песком общей массой m1 = 2 кг, стоящей на горизонтальных рельсах, попадает «снаряд» массой m2 = 0,02 кг, летевший вдоль рельсов со скоростьюv = 2 м/с, и застревает в песке. Найти скорость платформы после попадания «снаряда»,если последний летел: 1) горизонтально; 2) под углом α = 60° к горизонту (рис.
5).Рис. 5До взаимодействия тело m1 покоилось, тело m2 двигалось равномерно и прямолинейно с заданной скоростью v. В результате взаимодействия тела начинают двигатьсявместе со скоростью u. Таким образом, взаимодействие носит характер неупругогоудара.Указанные тела удобно рассмотреть как систему; в этом случае сила удара являетсявнутренней силой, изменяющей импульсы каждого из тел.
К системе нельзя применитьзакон сохранения энергии, так как сила неупругой деформации является диссипативной. Применимость закона сохранения импульса выясняется из анализа внешних сил,которыми здесь являются силы тяжести и нормальной реакции рельсов, а также силатрения между рельсами и платформой, но последней можно пренебречь.В первом случае («снаряд» летит горизонтально) внешние силы скомпенсированы.Поэтому применим закон сохранения импульсаp1 = p2 , где p1 = m 2 v , p2 = (m1 + m 2 )u .Если ось х направить по вектору скорости «снаряда», то vx = v, ux = u, и согласно(2.2) m2v = (m1 + m2)u, откудаu=m2 vм= 0,02 .m1 + m 2сВо втором случае, когда «снаряд» летит под углом α, внешние силы не скомпенсированы (сила нормальной реакции больше силы тяжести), следовательно, p1 ≠ p2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
