ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 49
Текст из файла (страница 49)
На краю диска стоит человек массой m2 = 50 кг. Найти изменение угловой скорости диска при переходе человека в центр диска, пренебрегая моментом инерции человека относительно вертикальной оси, проходящей через его центр масс.Рис. 14Диск и человек вращаются вокруг закрепленной вертикальной оси с одинаковойугловой скоростью ω, причем в начальный момент ω1 = 2πn1. Изменение скорости происходит только в результате движения человека по диску (трением в оси нужно пренебречь). Характер изменения сил взаимодействия человека и диска достаточно сложен.
Однако, если рассматривать систему человек-диск, то эти силы оказываются внутренними, а значит, не изменяющими ни импульс, ни момент импульса системы. Внешние силы в этой системе: сила реакции оси при движении человека, силы тяжести и сила реакции опоры. Последние две силы скомпенсированы и не создают момента относительно вертикальной оси. Сила реакции оси при движении человека направлена горизонтально перпендикулярно оси. Эта внешняя сила соизмерима с внутренними силами, поэтому импульс системы будет изменяться.
Однако сила реакции оси не создаетвращающего момента относительно заданной оси, поэтому при переходе системы изположения 1 в положение 2 (рис. 14) момент импульса системы остается постоянным,L1 = L2 или в проекциях на ось вращения L1 = L2.В положении 1L1 = (I д + I ч )ω1 ,причем момент инерции дискаIд =m1 R 2,2момент инерции человека по теореме ШтейнераI ч = I 0 + m2 R 2 = m2 R 2 ,так как I0 = 0 по условию. Следовательно,⎞⎛ m R2L1 = ⎜⎜ 1 + m2 R 2 ⎟⎟2πn1 .⎠⎝ 2В положении 2m1 R 2L2 =2πn 2 ,2так как Iд не изменяется, а Iч = 0.Подставив выражения для L1 и L2 в уравнение (3.6), получимm⎛ m1⎞+ m2 ⎟2πn1 R 2 = 1 2πn 2 R 2 .⎜2⎝ 2⎠Отсюдаn 2 = n1m1 + 2m2обоб= 12= 0,2.минm2сТаким образом, угловая скорость возрастает на величинуω 2 − ω1 = 2π (n2 − n1 ) = 1,05 с -1 .Задача 3.5На гладком горизонтальном столе лежит тонкий однородный стержень длиной l имассой m2, закрепленный на вертикальной оси, проходящей через один из его концов.
Впротивоположный конец стержня ударяется маленький камень массой m1, скользившийпо столу в направлении, перпендикулярном стержню, со скоростью v0. В результатеудара камень останавливается. Найти угловую скорость стержня после удара.В движении участвуют два тела, одно из которых до взаимодействия покоилось, адругое двигалось с заданной постоянной скоростью.
После взаимодействия скоростител изменяются: камень останавливается, а стержень вращается вокруг закреплённойоси с некоторой угловой скоростью ω. Причиной изменения движения тел является ихвзаимодействие – удар. Силы взаимодействия при ударе неизвестны, поэтому нельзяиспользовать ни второй закон Ньютона, ни уравнение динамики вращательного движения.v0αm1Рис. 15Если рассмотреть систему тел камень-стержень, то силы взаимодействия окажутсявнутренними, т. е.
не изменяющими ни импульса, ни момента импульса системы.Внешними по отношению к системе будут силы тяжести и нормальной реакции стола, атакже горизонтальная сила реакции оси, возникающая при ударе. Сила трения по условию отсутствует. Силы тяжести и нормальной реакции стола для каждого тела скомпенсированы. Но внешняя сила реакции оси соизмерима с внутренними силами, поэтому импульс системы будет изменяться. Однако сила реакции оси не создает момента,так как она приложена к оси вращения; следовательно, момент импульса системы остается постоянным:L1 = L 2 .До удара двигался только камень, который можно считать материальной точкой;момент импульса камня, а следовательно, и осей системы относительно осиL1 = [r, m1 v 0 ] , L1 = rm1v0 sin α ,где r – радиус-вектор, проведенный от оси вращения к камню; α – угол между радиусом-вектором и вектором v0.
Как видно из рис. 15, r sin α = l. Вектор L1 направлен пооси вращения (ось z), поэтому в проекции на эту осьL1z = L1 = m1v0 l .После удара движется только стержень. Момент импульса стержня, а следовательно, и всей системы L2 = Iω, где I – момент инерции стержня относительно заданной осивращения. По теореме Штейнера2m2 l 2m2 l 2⎛l⎞I=+ m2 ⎜ ⎟ =.123⎝2⎠Так как момент импульса стержня также направлен по оси z, тоm 2 l 2ω.L2 z = L1 =3Приравнивая проекции моментов импульса системы в соответствии с уравнением(3.6), получимm1v0 l =m 2 l 2ω.3Отсюдаω=3m1v0.m2 lЗаметим, что в рассмотренной системе тел не выполняется ни закон сохраненияэнергии, ни закон сохранения импульса.
Закон сохранения энергии выполнялся бы вслучае, если удар был упругим, закон сохранения импульса – в случае, если бы стержень не имел закрепленной оси.4. ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЯЗАТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯЗадача 4.1. На вершине наклонной плоскости (угол наклона к горизонту 37°) укреплен легкий блок, через который перекинута нить с привязанными к ней с двух сторонгрузами массой m1 = 0,3 кг и m2 = 0,1 кг. Найти силу натяжения нити и ускорения грузов, если коэффициент трения между грузом m2 и наклонной плоскостью равен 0,2.Ответ: 1,3 Н; 5,5 м/с2.Задача 4.2. Автомобиль массой 800 кг движется с постоянной скоростью 10 м/с повыпуклому мосту радиусом кривизны 80 м.
Найти силу давления автомобиля на мост внаивысшей точке и в точке, для которой прямая, соединяющая ее с центром кривизны,составляет с вертикалью угол 25°.Ответ: 6900 Н; 6100 Н.Задача 4.3. С платформы, движущейся по инерции со скоростью 12 м/с произведёнвыстрел в направлении движения под углом 30° к горизонту. Масса платформы и орудия 500 кг, масса снаряда 20 кг. Начальная скорость снаряда относительно платформыпосле выстрела 600 м/с.
Найти скорость платформы после выстрела.Ответ: 8 м/с в противоположную сторону.Задачи 4.4. Снаряд, летящий горизонтально со скоростью 200 м/с, разорвался надве части, массы которых 30 и 20 кг. Скорость большего осколка после разрыва 800 м/си направлена под углом 30° к горизонту вверх. Найти модуль и направление скоростименьшего осколка.Ответ: 795 м/с под углом 48° к горизонту вниз.Задача 4.5.
Мячик брошен с горки со скоростью 10 м/с под некоторым угломвверх. Найти его скорость в точках, находящихся на 2 м выше и на 1 м ниже точки бросания, пренебрегая сопротивлением воздуха.Ответ: 7,8 м/с; 11 м/с.Задача 4.6. Грузик массой 20 г, висящий на длинной нити, отвели в сторону так,что нить отклонилась от вертикали на угол 60°, и отпустили. Найти силу натяжения нити и ускорения грузика (нормальное и тангенциальное) для момента, когда нить окажется под углом 30° к вертикали.Ответ: 0,31 Н; 7,2 м/с2; 4,9 м/с2.Задача 4.7. Найти скорость и изменение импульса молекулы массы m, летящей соскоростью v, после ее удара о поршень, движущийся навстречу молекуле со скоростьюu. Массу поршня считать несоизмеримо большей массы молекулы, а удар абсолютноупругим.Ответ: v + 2u ; 2 m (v + u ) .Задача 4.8.
Конькобежец приобретает скорость 4,95 м/с, а затем по инерции проезжает до остановки путь 62,5 м. Найти коэффициент трения, считая силу трения постоянной.Ответ: 0,02.Задача 4.9. Тележка массой 100 кг движется по рельсам со скоростью 1 м/с. Человек массой 60 кг догоняет тележку и вскакивает на нее под углом 30° к направлению еедвижения. Скорость человека 3 м/с. Найти изменение суммарной кинетической энергиичеловека и тележки. Объяснить полученный результат.Ответ: –116 Дж.Задача 4.10. Человек, стоящий на коньках, кидает груз массой 2 кг прямо перед собой со скоростью 3 м/с. Масса человека 70 кг. Найти работу, совершенную человеком.Ответ: 9,26 Дж.Задача 4.11.
Два груза, лежащие на гладком горизонтальном столе на расстоянии5 см друг от друга, сжимают находящуюся между ними пружину. Массы грузов 3 и2 кг. Найти скорости, которые получат грузы при распрямлении пружины, если длинанесжатой пружины 10 см, коэффициент упругости 30 Н/м, а массой пружины можнопренебречь.Ответ: 0,1 м/с; 0,15 м/с.Задача 4.12.
Пуля, летящая горизонтально со скоростью 800 м/с, попадает в ящик спеском, висящий на длинном шнуре, и застревает в нем. Масса пули 10 г, масса ящика5 кг. Найти, на какую высоту поднимается ящик, придя в движение после попаданияпули. В какие виды энергии перейдёт кинетическая энергия пули?Ответ: 13 см.Задача 4.13. Тело массой 300 г соскальзывает с высоты 2 м по вогнутому желобу,переходящему в горизонтальную .плоскость, и сталкивается с неподвижным теломмассой 500 г. Найти скорость обоих тел после столкновения в случаях абсолютно неупругого и абсолютно упругого центральных ударов.
Работа сил трения при движениипервого тела по желобу 3,2 Дж.Ответ: 1,58 м/с; 1,05 м/с; 3,15 м/с.Задача 4.14. Маховик радиусом 20 см вращается, совершая 10 оборотов в секунду,и останавливается через 15 с под действием тормозящей силы 9,8 Н, приложенной покасательной к ободу. Найти момент инерции маховика.Ответ: 0,47 кг·м2.Задача 4.15.