ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Однако проекции внешних сил на ось х равны нулю, поэтому p1x = p2x, гдеp1x = m 2 v cos α , p2 x = (m1 + m 2 )u ,откудаm 2 v cos α = (m1 + m 2 )uиu=m 2 v cos αм= 0,01 .m1 + m 2сЗадача 2.2На гладкой горизонтальной поверхности лежат два тела (m1:m2 = 4), между которыми находится сжатая пружина пренебрежимо малой массы. При распрямлении пружины первое тело приобретает кинетическую энергию W к2′ = 3 Дж . Найти потенциальную энергию сжатой пружины.До распрямления пружины оба тела покоились.
В результате давления пружиныпри ее выпрямлении оба тела начинают двигаться в разные стороны с разными скоростями. Так как сила, с которой пружина действует на тела, не известна, найти потенци-альную энергию пружины по величине работы упругой силы не представляется возможным.Рис. 6Оба тела и пружину целесообразно рассмотреть как систему тел. В этом случае упругая сила пружины будет внутренней (притом консервативной) силой. Отсутствие силы трения и горизонтальность опоры (силы тяжести и нормальной реакции скомпенсированы) позволяет считать, что для этой системы при ее переходе из положения 1 в положение 2 (рис. 6) выполняется как закон сохранения энергии, так и закон сохраненияимпульса:W п1 + W к1 = W п 2 + W к 2 ,(1)p1 = p2 .(2)В уравнении (1) Wп1 – искомая потенциальная энергия сжатой пружины; Wп2 = 0;кинетическая энергия системы в положении 1 Wк1 = 0, в положении 2W к 2 = W к′ + W к′′ =m1v12 m 2 v22+.22Тогда уравнение (1) примет видW п1 = W к′ + W к′′ .(3)Первое слагаемое правой части уравнения (3) известно из условия задачи.
Для нахождения второго слагаемого надо определить скорость v2 тела массой m2, что можносделать на основании закона сохранения импульса (2). В проекциях на горизонтальнуюось х (рис. 6) p1x = 0, p2x = m1v1 – m2v2 и, согласно (2.2),v2 m1=.v1 m 2Отношение кинетических энергий тел п положении 2W к′′ m 2 v22 m 2 ⎛ m1⎜==W к′ m1v12 m1 ⎜⎝ m 22⎞m⎟⎟ = 1 .m2⎠Следовательно, W к′ =m1W к′′ . Из уравнения (3)m2⎛ mW п1 = W к′ ⎜⎜1 + 1⎝ m2⎞⎟⎟ = 15 Дж .⎠Задача 2.3Снаряд, имевший горизонтальную скорость v0 = 400 м/с, разорвался на высотеh = 400 м на две половины с массами m = 4 кг каждая, одна из которых достигла Землиточно под местом взрыва через t1 = 2 с.
Найти модуль и направление скорости второйполовины снаряда после разрыва.До разрыва обе половины снаряда двигались горизонтально с одинаковой заданнойскоростью на заданной высоте. После разрыва под действием сил давления пороховыхгазов оба тела двигаются в разных направлениях и, по-видимому, с разными скоростями. Движение одного из тел, назовем его первым, происходит в вертикальном направлении – свободное падение. Характер движения второго тела не известен.Следует рассмотреть отдельно процесс разрыва снаряда и вертикальное движениеего первой половины.Рис.
7При рассмотрении первого процесса (разрыв) в систему включим оба тела. Дляэтой системы силы давления являются внутренними силами, притом весьма большими;тогда внешними силами тяжести и сопротивления воздуха можно пренебречь и считать, что импульс системы остается постоянным: p1 = p2. Для записи этого закона вскалярных соотношениях оси координат удобно выбрать так, как на рис. 7. В проекциях на ось хp1x = 2 m v0 , p2 x = mu 2 cosα ;на ось уp1y = 0 , p2 y = mu1 − mu 2 sin α .Используя уравнения (2.2) и (2.3), запишем2 m v0 = mu 2 cos α , 0 = mu1 − mu 2 sin α .(1)Последнее уравнение записано в предположении, что скорость u2 направлена под углом α вверх; скорость u1, как следует из условия задачи, направлена вертикально(предположительно вниз).Из системы уравнений (1), сократив на m, возведя в квадрат и почленно сложив обауравнения, можно найти u2.
Выражение, для tg α найдем почленным делением второгоуравнения на первое. В результате получимu2 = 4 v02 + u12 , tg α =u1.2 v0(2)Для нахождения u2 и tg α по формулам (2) надо знать скорость первого тела. Дляэтого следует рассмотреть движение этого тела после разрыва (второй процесс). Еслипренебречь сопротивлением воздуха, то оно движется с ускорением a = g.
Начальнаяскорость u1, приобретенная при взрыве, вертикальна, следовательно, движение прямолинейное равнопеременное. Закон такого движения имеет видy = u1y t +gt 2.2Подставив t = t1, y = h, получимu1y =мh gt1−= 190 ,сt1 2причем скорость u1 направлена вниз.Из (2) получим u2 = 820 м/с, а направлена скорость u2 как раз так, как показано нарис.
7; α = arctg 0,24 = 3,5°.Задача 2.4На краю платформы (m1 = 30 кг), стоящей на горизонтальных рельсах, находитсячеловек (m2 = 50 кг). Человек прыгает с платформы горизонтально вдоль рельсов, совершая при прыжке работу A = 320 Дж. Найти расстояние, на которое откатится платформа, если коэффициент трения между платформой и рельсами µ = 0,2.Рис. 8Рассмотрим движение двух тел с заданными массами, скорости тел до взаимодействия равны нулю.
Человек отталкивает платформу с некоторой силой, но платформадействует на человека с такой же по модулю силой (третий закон Ньютона). Под действием этих сил оба тела приобретают некоторые скорости u1 и u2, направленные в противоположные стороны (рис. 8). Платформа после взаимодействия с человеком движется горизонтально до остановки. Очевидно, здесь имеют место два отдельных процесса: взаимодействие человека и платформы и движение платформы до остановки.Так как по условию задачи требуется найти расстояние, пройденное платформой, целесообразно начать с анализа второго процесса.При движении платформа взаимодействует с Землей и с рельсами.
Так как рельсыгоризонтальны, то силы тяжести и нормальной реакции скомпенсированы, и движениепроисходит лишь под действием силы трения между платформой и рельсамиfтр = µN = µm1g, которая направлена противоположно скорости платформы u1. Если, какобычно, силу трения считать постоянной, ускорение также будет постояннымa = fтр/m1 = µg и расстояние l, пройденное платформой до остановки, может быть найдено по формуле прямолинейного равнозамедленного движения при начальной скорости v0 = u1 и конечной скорости, равной нулю:l=u12u2= 1 .2 a 2 µgПоследнюю формулу можно получить и из энергетических соображений: изменение кинетической энергии платформы ∆Wпл на расстоянии l (до остановки) равно работе силы трения Aтр.
Так какA тр = − f тр l = − µm1 gl ,а∆W плm1u12=−,2то, приравнивая, найдемµm1 gl =m1u12.2Скорость u1 найдем из анализа процесса взаимодействия человека с платформой.Если в систему включить эти два тела, то силы взаимодействия между ними будутвнутренними. При горизонтальном прыжке внешние силы тяжести и нормальной реакции скомпенсированы, а силами трения и сопротивления воздуха можно пренебречь.Следовательно, импульс системы остается постоянным: p1 = p2.
В проекциях на ось x,показанную на рис. 8:p1x = 0 , p2 x = m1u1 − m 2 u2 .Тогда согласно (2.2)0 = m1u1 − m 2 u2 и u 2 =m1u1 .m2Так как внешние силы, действующие на систему во время прыжка, работы не совершают, то кинетическая энергия, приобретенная системой, равна работе, совершенной человеком:Aчел = ∆W к =m1u12 m 2 u22+22или после подстановки в это выражение u2Aчелm1u12=2⎛ m1⎜⎜1 +⎝ m2⎞2 Aчел⎟⎟ и u12 =⎛ m⎠m1 ⎜⎜1 + 1⎝ m2⎞⎟⎟⎠.Подстановка значения u12 в выражение для расстояния, пройденного платформой, даетl=Aчел= 3,3 м .⎛ m1 ⎞⎟⎟µm1 g⎜⎜1 +⎝ m2 ⎠Задача 2.5На длинной нити подвешен шар массой m1 = 2 кг, в который ударяется шарик массой m2 = 0,2 кг, летевший горизонтально со скоростью v = 20 м/с.
Считая удар цен-тральным и упругим, найти: 1) во сколько раз изменится в результате удара кинетическая энергия второго тела (шарика); 2) на какую высоту поднимется первое тело (шар)?Так как нить подвеса длинная, оба тела можно считать материальными точками.Тело m1 до взаимодействия покоилось, тело m2 двигалось горизонтально с заданнойскоростью. Так как удар центральный и упругий, то после взаимодействия оба тела будут двигаться горизонтально, но с разными скоростями. В дальнейшем тело m1 благодаря действию нити движется по дуге окружности с радиусом, равным длине нити.Очевидно, здесь имеют место два отдельных процесса: соударение и движение тела m1,подвешенного на нити.Рис.
9В процессе удара на оба. тела, включаемых в систему, действуют силы тяжести исила натяжения нити. Все эти силы направлены вертикально, перпендикулярно скоростям тел, следовательно, не совершают работы и не изменяют суммы проекций импульсов на горизонтальную ось х (рис.9). Силами трения и сопротивления воздухаможно пренебречь. Внутренние силы – силы упругой деформации – являются к томуже консервативными, поэтому в системе в результате соударения сохраняется как сумма проекций импульса на ось х, так и энергия системы, т.
е. p1x = p2x, W1 = W2. При этомp1x = m 2 v , p2 x = m1u1 + m 2 u2(последнее выражение записано в предположении, что после удара оба тела движутся внаправлении оси х). Согласно (2.2)m 2 v = m1u1 + m 2 u2 .(1)Потенциальная энергия упругой деформации и до, и после соударения равна нулю,поэтому закон сохранения энергии примет видm 2 v 2 m1u12 m 2 u22=+.222(2)Для решения системы уравнений (1) и (2), позволяющей найти скорости u1 и u2 после удара, ее следует переписать так:()m 2 (v − u2 ) = m1u1 , m 2 v 2 − u22 = m1u12 .Разделив почленно второе уравнение на первое (v – u2 ≠ 0!), получим v + u2 = u1.
Выразив отсюда u2 и подставив в первое из написанных выше уравнений, найдемu1 =2m2 v.m1 + m 2u2 =m 2 − m1v.m1 + m 2АналогичноИз полученных выражений видно, что скорость u1 положительна, т. е. действительноu1x = +u1. Так как т2 < т1, то u2 < 0, т. е. после удара второе тело изменяет направлениедвижения на противоположное и в действительности u2x = –u2, следовательноu2 =m1 − m 2v.m1 + m 2Выражение для u позволяет найти, во сколько раз изменяется кинетическая энергиявторого тела в результате удара:m 2 u22 m 2 v 2 u22 ⎛ m1 − m 2= 2 = ⎜⎜:22v⎝ m1 + m 22⎞⎟⎟ = 0,67 .⎠Для ответа на второй вопрос задачи следует рассмотреть второй процесс – движение тела т1 после удара из положения 1 в положение 2 (рис.