ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 47
Текст из файла (страница 47)
9), происходящее под действием сил тяжести и натяжения нити (силами сопротивления можно пренебречь) и являющееся криволинейным движением с переменным тангенциальным и нормальнымускорениями. Однако в системе шар-Земля сила тяжести является внутренней и консервативной, а сила натяжения нити все время перпендикулярна перемещению, поэтому не совершает работы.
Следовательно, полная энергия системы шар-Земля при переходе из положения 1 в положение 2 остается постоянной. В положении 1Wк =m1u12, Wп = 02(выбор начала отсчета потенциальной энергии); в положении 2W к = 0 , W п = m1 gh .Согласно (2.8)m1u12= m1 gh2иh=2 m 22 v 2u12== 0,67 м .2 g (m1 + m 2 )2 gЗадача 2.6Небольшое тело массой m, подвешенное на нити, отклоняют так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Найти тангенциальное, нормальное иполное ускорение тела и силу натяжения нити: 1) в начальном положении; 2) при прохождении телом положения равновесия; 3) в момент, когда нить составляет с вертикалью угол α.Рис.
10Рассматривается движение тела (материальной точки) заданной массы. В начальный момент тело неподвижно и поднято над положением равновесия на высоту h = l (l– длина нити), Затем, так как нить нерастяжима, тело движется по дуге окружности радиуса R = l в вертикальной плоскости. Тело взаимодействует с Землей и нитью (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Сила тяжести mg постоянна, но образует переменный угол с направлением скорости.
Сила Т натяжения нити переменна, направленавдоль нити к точке подвеса, оставаясь все время перпендикулярной вектору перемещения. Так как требуется найти ускорение тела и одну из сил, то, очевидно, следует преж-де всего использовать второй закон Ньютона, который для всех положений тела можетбыть записан одинаково в видеma = mg + T .Решение целесообразно начинать с положения 3 (рис. 10), т. е. при произвольномугле α. Для перехода к скалярным соотношениям выберем, как обычно при криволинейном движении, координатные оси по касательной к траектории (ось х) и по нормали(ось у).
В проекциях на эти оси ax = aτ, ay = an = v2/l иmmaτ = mg sin α ,(1)v2= T − mg cos α .l(2)Уравнение (1) позволяет сразу найти тангенциальное ускорение:aτ = g sinα .(1)Уравнение (2) содержит два неизвестных v и Т. Скорость v приобретена телом приперемещении из положения 1 в положение 3 под действием сил mg и Т, причем последняя работы не совершает, так как перпендикулярна перемещению. Поэтому, еслирассмотреть систему тело-Земля, то сила mg будет внутренней и консервативной, следовательно, полная энергия этой системы не изменяется: W1 = W3.
Выбрав начало отсчета потенциальной энергии в положении 2, запишем для положения 1Wк1 = 0 , Wп1 = mgl ;в положении 3W к3mv2, Wп3 = mgh = mg (1 − cosα )=2(рис. 10). Тогда согласно (2.8)mgl =mv2+ mgl (1 − cos α ) ,2откудаv 2 = 2 gl cos αиa n = 2g cosα .(4)Полное ускорениеa = aτ2 + a n2 = g 1 + 3 cos 3 α .(5)Подставляя выражение для v2 в уравнение (2), найдемT = 3mg cosα .(6)Формулы (3)-(6) определяют значения искомых величин в положении 3. Подставляя в те же формулы значения угла α для положений 1 и 2 (соответственно π/2 и 0),найдем aτ1 = g, an1 = 0, a1 = aτ1 (направлено по касательной к траектории), T1 = 0; aτ2 = 0,an2 = 2g, a2 = an2 (направлено по нормали к точке подвеса), T2 = 3mg.Как видно из полученных решений, при движении тела тангенциальное ускорениеубывает от g до нуля, нормальное ускорение возрастает от нуля до 2g, полное ускорение изменяется по модулю и направлению, сила натяжения нити возрастает от 0 до3mg.3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАВращательное движение происходит под действием моментов сил, определяемыхформулой Mi = [ri, Fi], причем вектор ri проводится от оси вращения к точке приложения силы в плоскости, перпендикулярной оси вращения (если вектор силы не расположен в этой плоскости, момент создается составляющей силы, лежащей в этой плоскости).
В предлагаемых задачах моменты сил рассчитываются лишь относительно закрепленной оси вращения.Основное уравнение динамики вращательного движения имеет видIε = M1 + M 2 + K ,(3.1)где I = ∑ mi ri2 – момент инерция тела относительно оси вращения; ε = dω dt – углоiвое ускорение тела. Векторы ε, M1, M2, ... направлены по оси вращения, поэтому векторное уравнение (3.1) эквивалентно скалярному уравнениюIε z = M 1z + M 2 z + K ,(3.2)где εz, M1z, M2z ...
– проекции соответствующих векторов на ось вращения, которые могут быть как положительными, так и отрицательными.Уравнение (3.1) может быть записано также в другом виде:dL d ( I ω )== M1 + M 2 + K ,dtdt(3.3)где L – момент импульса тела относительно оси вращения.Если непосредственное использование уравнений (3.1) и (3.3) для нахождения угловых ускорений тел с последующим определением угловых скоростей затруднено изза того, что действующие силы переменны, то удобно использовать законы сохраненияимпульса, момента импульса и энергии.Изменение момента импульса системы тел относительно некоторой оси определяется действием только моментов внешних сил относительно той же оси, и в соответствии с уравнением (3.3)d∑ L i = M1e + M e2 + K ,dt i(3.4)где Li – момент импульса каждого тела, включенного в систему (для материальной точки L = [r, p], для вращающегося твердого тела L = ∑ [rk , p k ] = Iω ), M1e , M e2 – моментыkвнешних сил, действующих на каждое тело.
Если M1e + M e2 + K = 0 , то, как следует из(3.4),∑Li= const(3.5)i– закон сохранения момента импульса.Уравнение (3.5) эквивалентно одному скалярному уравнениюL1′z + L1′′z + K = L 2′z + L 2′′z + K ,(3.6)где нижние индексы 1 и 2 относятся соответственно к начальному и конечному состояниям системы, верхние индексы обозначают тела системы.При использовании закона сохранения энергии (2.8), (2.9) для вращательного движения кинетическая энергия тела выражается так:Wк =Iω 2.2(3.7)Если внешние или диссипативные внутренние силы совершают работу, то изменение полной энергии определяется уравнением (2.7), а работа при вращательном движе2нии рассчитывается по формуле A = ∫ Mdϕ , причем при вращении вокруг оси, не из1меняющей своего положения в пространстве, векторы момента силы М и углового перемещения dφ направлены по оси вращения в ту или другую сторону, в зависимости отэтого работа будет положительной либо отрицательной.Так как в предлагаемых задачах наряду с вращательным движением встречаетсятакже поступательное движение твердых тел и движение материальных точек, то прирешении приходится пользоваться не только основным уравнением динамики вращательного движения и законом сохранения момента импульса, но и соответствующимиформулами из разделов механики, рассмотренных ранее.А.
Движение одного тела, имеющего закрепленную ось вращения1. Найти тела, с которыми взаимодействует рассматриваемое тело. Показать начертеже векторы сил и точки их приложения. Выяснить, создают ли эти силы вращающие моменты относительно заданной оси.2. Записать основное уравнение динамики вращательного движения в векторнойформе (3.1), затем в проекциях на ось вращения (3.2). Иногда удобно пользоватьсяформой записи (3.3). В правой части этих уравнений следует записывать в явном видесумму моментов сил, найденных в п. 1.3. Решение полученного уравнения позволяет найти искомую величину (ускорение,момент инерции, момент силы, силу).4. Если требуется найти угловую скорость тела (либо линейные скорости отдельных его точек), то можно использовать энергетические соотношения, что особенноудобно в случае переменного углового ускорения (например, задача 3.3). Если к системе тело-Земля применим закон сохранения энергии, записать уравнение (2.9) для перехода из положения 1 в положение 2.
При этом ∆Wп определяется изменением ∆h положения центра масс. Кинетические энергии выражаются по формуле (3.7). Это позволяетсразу найти угловую скорость, а затем линейные скорости интересующих точек.5. Если действуют другие силы (внешние или диссипативные внутренние), совершающие работу, то по соотношению (2.7) можно найти изменение кинетической энергии и соответственно скорости тел. Это возможно, если работы упомянутых сил известны или могут быть непосредственно рассчитаны.
Если, наоборот, известны скорости или кинетические энергии в двух положениях, это же соотношение позволяет рассчитать работу внешней или диссипативной внутренней силы.Б. Движение системы тел1. Установить наличие связей между телами и, если возможно, выяснить связь между кинематическими параметрами отдельных тел. При этом часто приходится накладывать дополнительные условия на связи: нерастяжимость нити, отсутствие скольжения нити по шкиву и т. п.2. Найти тела, с которыми взаимодействует каждое из рассматриваемых тел, выяснить характер .этих взаимодействий и т. д., как в п. А.1.3. Если силы, действующие на каждое из тел, постоянны или закон их измененияизвестен, то анализ и решение задачи о совместном движении тел проводится дальшетак же, как в п.
А. Динамические уравнения (1.1) и (3.1) записываются для каждого телаотдельно сначала в векторной форме, затем и проекциях на координатные оси. К полученным уравнениям должны быть добавлены условия связи между ускорениями отдельных тел и выражения для моментов инерции тел.Если совместное движение тел происходит в конечном итоге под действием силтяжести, то может быть использован энергетический метод, как в п. А.4. При этом учитывается изменение кинетической энергии всех тел системы (кроме Земли) и ее потенциальной энергии, обусловленной взаимодействием с Землей.4.
Если характер изменения сил при взаимодействиях не известен, то описанныевыше методы не могут быть использованы. Однако, если в задаче требуется определитьскорости тел до или после взаимодействия, то задача может быть решена с помощьюзаконов сохранения. Для этого следует прежде всего выяснить, на какие отдельныепроцессы по характеру взаимодействий следует разбить весь процесс, а также установить, в каких процессах участвует каждое из тел и какие состояния должны быть рассмотрены.5.