ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 51
Текст из файла (страница 51)
от числа атомов, составляющих молекулу.Гелий – одноатомный газ (i = 3) и3kT = 6,3 ⋅10 −21 Дж .2W 0 = W 0п =Азот – двухатомный газ (i = 5) и5W 0 = kT = 10,5 ⋅10 −21 Дж .2Задача 2-2При давлении р = 1,68·105 Па плотность кислорода ρ = 1,4 кг/м3. Найти среднеквадратичную скорость молекул кислорода и температуру газа.Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии с заданными плотностьюи давлением. Плотность газаρ=m m0N== m0n .VVПодставляя это выражение в основное уравнение молекулярно-кинетической теориидля давления212p = nW 0 п = m 0 nv кв,33получимp=1 2ρv кв .3Отсюда среднеквадратичная скоростьv кв =3pρ= 600м.сТемпература может быть найдена из выражения (2.3).
Учитывая, что молярная масса кислорода µ = 32·10-3 кг/моль, получимT =2µvкв3R= 460 К .Задача 2-3В баллоне емкостью V = 0,05 м3 находится ν = 0,12 молей газа при давлениир = 0,6·105 Па. Найти среднеквадратичную скорость, среднюю полную кинетическуюэнергию одной молекулы и суммарную кинетическую энергию всех молекул в двухслучаях: 1) в баллоне находится гелий; 2) в баллоне находится пропан.Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии с известными из условийзадачи молярной массой и числом степеней свободы: для гелия µ = 4·10-3 кг/моль, i = 3;для пропана µ = 44·10-3 кг/моль, i = 6.Все величины, которые требуется найти в задаче, однозначно определяются температурой газа.В обоих случаях в одном и том же объеме содержится одинаковое число молейν=mµгаза, следовательно, при одинаковом давлении в обоих случаях и температурабудет одинаковой и может быть найдена из уравнения Клапейрона-Менделеева (1.1)T =pV= 300 К .νRСреднеквадратичная скорость находится непосредственно по формуле (2.3).Для гелия vкв = 1370 м/с; для пропана vкв = 410 м/с.
Средняя полная кинетическаяэнергия одной молекулы находится непосредственно по формуле (2.4). Для гелияW0 = 6,3·10-21 Дж; для пропана W0 = 12,6·10-21 Дж. Кинетическая энергия всех молекулгаза находится непосредственно по формуле (2.5). Для гелия W = 4,5·103 Дж; для продана W = 9,0·103 Дж.Задача 2-4Двухатомный газ, занимавший при давлении р1 = 1·105 Па объем V1 = 0,003 м3,расширяется до объема V2 = 0,004 м3. Найти полную кинетическую энергию молекулгаза до расширения и ее изменение, если расширение происходит: а) изотермически,б) изобарно.Рассматривается идеальный газ, участвующий в заданных квазистатических процессах.Число степеней свободы молекулы двухатомного газа i = 5.Полная кинетическая энергия всех молекул до расширения газа согласно (2.5) и(1.1):W1 =ip1V1 = 7,5 ⋅10 2 Дж .2Изменение полной кинетической энергии всех молекул при расширении∆W = W 2 −W 1 =i( p2V 2 − p1V1 ) .2При изобарном процессе p1 = р2 и∆W =ip1 (V 2 −V1 ) = 2,5 ⋅102 Дж .2При изотермическом процессе согласно (2.5) полная энергия не изменяется, ∆W = 0.Задача 2-5На пути молекулярного пучка находится неподвижная стенка, плоскость которойперпендикулярна направлению движения молекул.
Все молекулы в пучке движутся параллельно друг другу; одна группа молекул имеет скорость v1, другая группа – скоростьv2 = 2v1 Общая концентрация молекул в пучке п, концентрация молекул первой группыn1 =n. (Заданные концентрации, сохраняющиеся неизменными, относятся только к3молекулам, двигающимся к стенке.) Масса каждой молекулы равна т0. Считая ударымолекул абсолютно упругими, найти давление, испытываемое стенкой.Рассматривается молекулярный пучок, в котором все молекулы движутся в одномнаправлении с заданными скоростями. Уравнение для давления идеального газа, выведенное в предположении хаотического движения всех молекул, здесь заведомо неприменимо.Так как в условии задана механическая модель движениямолекул, то для вычисления давления следует рассчитать среднюю за некоторый промежуток времени ∆t силу, действующуюна стенку со стороны всех молекул, которые за это время ударятся о стенку.
Эта сила прямо пропорциональна изменению импульса всех молекул, которые ударятся в стенку за время ∆t.Рис. 2Очевидно, что указанный промежуток времени должен бытьдостаточно велик, чтобы за это время стенка испытала большое число ударов (давлениегаза определяется средней силой ударов многих молекул).Рассчитаем давление, испытываемое стенкой со стороны молекул первой группы(скорость v1, концентрация п1).Средняя сила f, испытываемая стенкой за выбранный промежуток времени ∆t, равна по третьему закону Ньютона средней силе f', испытываемой всеми молекулами, ударившимися за то же время о стенку, и направлена в противоположную сторону: f' = – f.Очевидно, что произведение средней силы, действующей на молекулы за время ∆t,равно изменению импульса всех этих молекул:f ' ∆t = ∆p1N 1 или f∆t = −∆p1N 1 .Здесь ∆р1 = m0u1 – m0v1 – изменение импульса одной молекулы первой группы в результате удара о стенку; u1 – скорость молекулы после удара; N1 – число молекул первой группы, ударившихся от стенку за время ∆t.Так как удар абсолютно упругий, u1 = –v1.
В проекциях на ось х (рис. 2):∆p1x = −2 m 0 v1 и f ∆t = 2 m 0 v1N 1 .(1)За время ∆t о стенку ударятся все молекулы первой группы, которые находятся отстенки на расстояниях, не превышающих ∆x = v1∆t. Число таких молекулN 1 = n1v1∆tS ,(2)где S – поперечное сечение пучка.Так как сила, действующая на стенку, направлена по оси х, fx = f. Тогда с учетомвыражений (1) и (2) получимf ∆t = 2 m 0 n1v12 S ∆t .Отсюда давление, обусловленное ударами о стенку молекул первой группы,p1 =f= 2 m 0 n1v12 .SПроизведя аналогичный расчет для молекул второй группы (концентрация n2, скорость v2), получимp2 = 2 m 0 n2 v22 .Результирующее давление, испытываемое стенкой:()p = p1 + p2 = 2 m 0 n1v12 + n2 v22 .Учитывая, что n1 =2nn, n2 = n − n1 =, v2 = 2v1, найдем33p = 2 m 0 n ⋅ 3v12 .Последнее выражение можно также получить, предположив, что все молекулыдвижутся с одинаковой скоростью, равной среднеквадратичной скорости. По определению1 2 22nv1 + n(2 v1 )22nv+nv232 2v кв= 1 1=3= 3v12 .nnи расчет приводит к выражению для давления2p = 2 m 0 nv кв= 2 m 0 n ⋅ 3v12 .3.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯММолекулярно-кинетическая теория газов устанавливает, что молекулы находятся всостоянии непрерывного хаотического движения и обладают различными по величинескоростями. Так как движение молекул подчиняется лишь законам статистики, то дажевопрос о том, какое число молекул обладает строго определенной скоростью, оказывается неправомерным.
Законы статистики позволяют найти лишь число молекул, скорости которых (по абсолютной величине) лежат в интервале от v до v + ∆v.По Максвеллу относительное число молекулdNили доля молекул (от общегоNчисла N), скорости которых находятся в заданном интервале dv, может быть выраженотак:dN= f (v,T )dv , где f(v, T) – функция Максвелла, зависящая от скорости молекул иNтемпературы. Аналитическое выражение функции Максвелла3m v204 ⎛ m 0 ⎞ 2 2 − 2 kT.f (v,T ) =⎜⎟ v eπ ⎝ 2 kT ⎠(3.1)График распределения молекул ,по скоростям показан на рис. 3, где по оси абсциссотложена скорость молекул, по оси ординат – функция Максвелла f (v,T ) =1 dN–N dvотношение доли молекул, скорости которых лежат в данном интервале, к величине этого интервала.Площадь, заштрихованная на рис.
3 (ограниченная кривой Максвелла, осью абсцисс и ординатами f(v1, T) и f(v2, T)), численно равна относительному числу молекул∆N/N, скорости которых лежат в интервале от v1 до v2. Очевидно, чтоv2∆N= ∫ f (v,T )dv .Nv1(3.2)Если интервал скоростей ∆v = v2 – v1 взять настолько малым, что в его пределах функцию Максвелла можно считать приближенно постоянной, то∆N= f (v,T )∆v .N(3.3)При расчете по этой формуле значение функции f(v, T) берется для скорости, принадлежащей указанному интервалу.Рис. 3Скорость, соответствующая максимуму функции f(v, T), называется наиболее вероятной скоростью vв. Ее выражение может быть найдено из обычного условия∂f (v,T )= 0 , что дает∂vvв =2 kT2 RT=.µm0(3.4)Средняя (среднеарифметическая) скорость v может быть найдена из распределения Максвелла:Nv=∞1vdN = ∫ f (v,T )vdv .N ∫00Интегрирование даетv=8kT8RT=.πm 0πµ(3.5)Анализ и решение задач проводятся в такой последовательности:1.
Выяснить из условия задачи, можно ли считать рассматриваемый газ идеальнымгазом в равновесном состоянии, для которого справедливо распределение Максвелла и,следовательно, выражения (3.1)-(3.5).2. Если по условию задачи требуется рассчитать наиболее вероятную скорость молекул, а также среднюю или среднеквадратичную скорости по известным параметрамидеального газа или решить обратную задачу, то расчет произвести по соответствующим выражениям для этих скоростей (формулы (2,3), (3.4), (3.5)).3. Значения функции Максвелла для заданных скоростей найти по формуле (3.1).При этом часто удобно в выражение для функции Максвелла ввести наиболее вероятную скорость (3.4).4. Расчет числа молекул или доли молекул от общего их числа в заданном интервале скоростей от v1 до v1 + ∆v произвести по формулам (3.2) и (3.3).Использование формулы (3.2) возможно при наличии специальных таблиц для интегрирования численными методами или ЭВМ.Использование формулы (3.3) возможно для малых интервалов ∆v, когда в пределах этого интервала f(v, T) можно считать постоянной.
Оценка точности расчета можетбыть произведена сравнением значений функции Максвелла для v = v1 и v = v1 + ∆v.Задача 3-1Некоторый газ массой m = 0,02 кг занимает при давлении р = 1·105 Па объемV = 0,02 м2. Найти наиболее вероятную и среднюю скорости молекул газа.Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии, для которого искомыевеличины могут быть рассчитаны по формулам (3.4) и (3.5). Ни температура, ни молярная масса газа не известны. Однако в выражения (3.4) и (3.5) входит отношение этихвеличин, которое может быть найдено из уравнения Клапейрона-Менделеева (1.1)RTµ=pV.mОтсюдаvв =2 pVм8 pVм= 505 .= 450 , v =mсπmсЗадача 3-2При температурах T1 = 240 К и T1 = 480 К рассчитать для кислорода: 1) наиболеевероятные скорости молекул; 2) значения функции Максвелла: а) при v = vв, б) приv = vв + 200 м/с, в) при v = vв – 200 м/с.Рассматривается идеальный газ при двух равновесных состояниях при разных температурах. Молярная масса кислорода µ = 32·10-3 кг/моль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
