ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 55
Текст из файла (страница 55)
После преобразований получимη=n −1= 0,15 .i (n − 1)n+V2 ln 2V1Как видно из рис. 11, Tmax = T1, Tmin = T1/n. Следовательно, КПД цикла Карно, совершающегося между этими температурами, согласно (5.2):ηК =n −1= 0,33 .nЗаметим, что в выражение для коэффициента полезного действия рассматриваемого цикла входит i – число степеней свободы молекул газа, т. е. КПД этого цикла, в отличие от цикла Карно, зависит от природы рабочего тела.Задача 5-4Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изотермического, изобарного и адиабатного процессов, причем изобарный процесс является процессом нагреванияот температуры T1 = 200 К до температуры T2 = 600 К.
Рабочим телом является идеальный газ. Найти: 1) КПД этого цикла; 2) КПД цикла Карно, совершаемого между максимальной и минимальной температурами рассматриваемого цикла.Рассматривается неизвестный идеальный газ, совершающий цикл, состоящий изтрех заданных процессов, причем последовательность процессов в условии задачи неоговорена.Так как это цикл теплового двигателя, то работа газа за цикл положительна (Aц > 0).Известно также, что изобарный процесс является процессом нагревания, следовательно, и процессом расширения (так как V/T = const).
Эти два условия позволяют считать,что в координатах р-V прямая, изображающая изобарный процесс, лежит выше кривых,изображающих изотермический и адиабатный процессы. При этом последовательностьи направления процессов должны быть такими, как показано на рис. 12*. После изобарного расширения (нагревания) газ должен расширяться, следовательно, охлаждатьсяпока его температура не станет той же, что была до изобарного расширения, затем изотермическим сжатием газ может быть возвращен в исходное состояние. Какое из фиксированных состояний газа считать начальным, безразлично, так как осуществляетсянепрерывный цикл с заданным направлением процессов.
На рис. 12 состояние 1 соответствует началу изобарного нагревания. При таком обозначении состояний Tmax = T2 == 600 К, Tmin = T1 = T3 = 200 К.Принятая последовательность процессов, показанная на рис. 12, является единственной, удовлетворяющей указанным выше условиям (Aц > 0 и изобарныйпроцесс является процессом расширения).
Действительно, составить цикл из изотермы, адиабаты и изобары 1-2можно только двумя способами: первый – уже рассмотренный цикл 1231, второй – показанный на рис. 12пунктиром цикл 1241. В последнем случае работа газаза цикл будет отрицательной.Процессы, составляющие цикл:Рис. 121-2 – изобарное нагревание, p = const, V/T = const,T2 > T1, V2 > V1, A12 > 0, Q12 > 0;2-3 – адиабатное расширение, pVγ = const, V3 > V2, A23 > 0, Q23 = 0;3-1 – изотермическое сжатие, Т = const = T1, pV = const, V1 < V3, A31 = Q31 < 0.Работа газа за цикл Aц > 0 и определяется площадью фигуры 1231.Коэффициент полезного действия рассматриваемого цикла может быть найден поформуле (5.1). Газ получает тепло только на участке изобарного нагревания, Q1 = Q12.Газ отдает тепло только на участке изотермического сжатия, |Q2| = |Q31|.
Следовательно,η=Q12 − Q31Q12.(1)Количество теплоты, полученной в процессе 1-2, согласно (4.4) и (4.6):Q12 =*i +2 mR (T 2 − T 1 ) ,2 µДля наглядности график построен без сохранения масштаба.(2)гдеmµи i – неизвестные из условий задачи число количество вещества и число степе-ней свободы молекулы.Количество теплоты, отданное в процессе 3-1, равно работе газа в этом процессе иможет быть найдено по формуле (4.3).
После подстановки выражения для давления изуравнения Клапейрона-Менделеева получимQ31 = A31 =mµRT 1 lnV1,V3причем отношение объемов V1/V3 неизвестно. Это отношение можно получить из уравнений изобары 1-2 и адиабаты 2-3:V2 T 2=V1 T 1⎛V, ⎜⎜ 3⎝V 2⎞⎟⎟⎠γ −1=T2.T1Извлекая корень степени (γ – 1) из второго уравнения и умножая почленно на первоеуравнение, получим:γV 3 ⎛ T 2 ⎞ γ −1=⎜ ⎟ .V1 ⎜⎝ T 1 ⎟⎠Таким образом,Q31 =mµRT 1γγ −1lnT1 mTγ= RT 1ln 2 .T2µγ −1 T1(3)Подставляя выражения (2) и (3) в (1) и сокращая одинаковые сомножители, получимi +2(T 2 − T1 ) − γ T1 ln T 2T1γ −12η=.i +2(T 2 − T1 )2Так как γ =i +2, то после преобразований имеемiη =1−T1Tln 2 = 0,45 .T 2 − T1 T1Коэффициент полезного действия цикла Карно, совершаемого между максимальной T2 и минимальной T1 температурами рассматриваемого цикла согласно (5.2):η К = 0,676.СРЕДНЯЯДЛИНАСВОБОДНОГОПРОБЕГАМОЛЕКУЛЫСогласно молекулярно-кинетической теории среднее число соударений, испытываемых молекулой за единицу времени,Z = 2πd 2 n v ,(6.1)где п – концентрация молекул, v – средняя скорость молекул, рассчитываемая поформуле (3.5), d – эффективный диаметр молекулы.Эффективный диаметр молекулы, строго говоря, зависит от температуры газа.
Однако в первом приближении его можно считать постоянным для молекул данного газа.Его значения находят в соответствующих таблицах. Произведение πd2 пропорционально эффективному сечению молекулы.Средняя длина свободного пробега молекулыλ=vZ=12πd 2 n.(6.2)Анализ и решение задач этого параграфа проводятся в такой последовательности:1. Выяснить, что является объектом задачи: идеальный газ в равновесном состоянии или некоторый квазистатический процесс.2. В случае равновесного или квазиравновесного состояния газа величины λ, Z могут быть рассчитаны по формулам (6.1) и (6.2). Эффективный диаметр молекулы, еслион не задан, находится из таблиц. Остальные величины находятся по соответствующимформулам: например, средняя скорость по формуле (3.5), концентрация по формуле(2.1).
Если газ назван, то его молярную массу следует считать известной.3. Если газ переходит из одного равновесного состояния в другое, то для нахождения изменения средней длины свободного пробега следует найти соотношения междупараметрами начального и конечного состояний газа (см., например, задачу 6-2) и найти характер зависимости средней длины свободного пробега от параметров состояниягаза. При этом могут быть использованы уравнение Клапейрона-Менделеева и уравнения процессов.Задача 6-1Азот, взятый в количестве т = 0,03 кг, занимает при давлении р = 1,2·105 Па объемV = 0,02 м3.
Эффективный диаметр молекулы азота d = 3,1·10-10 м. Найти: 1) среднеечисло столкновений за 1 с и среднюю длину свободного пробега молекулы; 2) восколько раз средняя длина свободного пробега молекулы больше ее эффективного диаметра.Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии, для которого среднеечисло столкновений и средняя длина свободного пробега молекулы могут быть найдены по формулам (6.1) и (6.2), для чего необходимо найти концентрацию молекул исреднюю скорость.Концентрация молекулn=N m NА=.Vµ V(1)Для нахождения средней скорости молекул в формулу (3.5) следует подставить выражение для температуры из уравнения Клапейрона-Менделеева, что даетv =8 pV.πm(2)Подставляя выражения (1) и (2) в (6.1) и (6.2), найдемZ =4N А d 2µπmpV,λ=µV2πd 2 mN А.Подстановка числовых значений даетZ =4 ⋅ 6,0 ⋅1023 9,6 ⋅10 −20 π ⋅ 3 ⋅10 −2 ⋅1,2 ⋅105= 6,2 ⋅10 −9 с -1 ;2,8 ⋅10 −22 ⋅10 −2λ = 3,3 ⋅10 −7 м ;λd= 1000 .Задачи 6-2Найти, во сколько раз изменится средняя длина свободного пробега молекулы придвукратном увеличении объема газа, если расширение происходит: а) изобарно, б) изотермически.Рассматривается идеальный газ, участвующий в квазистатических процессах, причем и обоих процессах V2/V1 = 2.Длина свободного пробега λ зависит от характеристик молекул газа (d, m0), искомоеотношение λ2/λ1, очевидно, не зависит от природы газа.Отношения длин свободного пробега в двух состояниях газа, согласно (6.2),λ2/λ1 = n1/n2.При неизменном количестве газа концентрации обратно пропорциональны объемам (n = N/V), следовательно, независимо от характера процесса расширенияλ2 V 2==2.λ1 V17.
ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЯЗАТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ1. Найти молярную массу, давление и плотность смеси 10 г водорода и 112 г азота,находящейся в объеме 2 л при температуре 550 К.Ответ: 0,014 кг/моль; 2,05·107 Па; 61 кг/м3.2. Найти число молекул, содержащихся в 3 л кислорода при давлении 2 атм, еслиих средняя квадратичная скорость 500 м/с.Ответ: 1,37·1023.3. Найти среднеквадратичную скорость, среднюю кинетическую, энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекулы гелия и молекулы азота при температуре 27°С. Найти полную энергию всех молекул, содержащихсяв 56 г каждого из этих газов.Ответ: 1370 м/с; 520 м/с; 6,2·10-21 Дж; 6,2·10-21 Дж; 6,2·10-21 Дж; 1,0·10-20 Дж;5,2·104 Дж; 1,2·104 Дж.4.
Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях равна 461 м/с. Какое количество молекул содержится в 1 г этого газа?Ответ: 1,88·1022.5. Кинетическая энергия поступательного движения. молекул азота в сосуде объёма0,02 м3 равна 5·103 Дж, а средняя квадратичная скорость его молекул равна 2·103 м/с.Найти массу и давление азота в сосуде.Ответ: 2,5·10-3 кг; 1,67·105 Па.6. Найти энергию вращательного движения молекул, содержащихся в 1 кг азотапри 7°С?Ответ: 8,3·104 Дж.7. Газ при давлении 2 атм занимает объем 4 л.
Найти внутреннюю энергию газа длякислорода, гелия и метана.Ответ: 2,03·103 Дж; 1.21·103 Дж; 2,43·103 Дж.8. При изобарном нагревании гелия поглощено 836 Дж теплоты. Найти изменениевнутренней энергии и работу, совершенную газом.Ответ: 502 Дж; 334 Дж.9. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на 72 К, сообщивему количество теплоты 1,50 кДж. Найти совершенную газом работу, приращение еговнутренней энергии и отношениеCpCV.Ответ: 0,60 кДж; 0,90 кДж; 1,66.10. Один моль кислорода, находящегося при температуре 290 К, адиабатическисжали так, что его давление возросло в 10 раз. Найти температуру газа после сжатия иработу внешних сил.Ответ: T 2 = T 1nγ −1γ= 560 К ; A' = 5,6 кДж.11. 280 г окиси углерода сначала подвергают адиабатному расширению до тех пор,пока температура не понизится на 10 К, после чего изохорно нагревают до прежнейтемпературы.
Найти работу, совершенную газом, и количество полученной или отданной теплоты в течение всего процесса.Ответ: 2080 Дж; 2080 Дж.12. Вычислить γ =CpCVдля газовой смеси, состоящей из 2 молей кислорода и 3 мо-лей углекислого газа. Газы считать идеальными.Ответ: 1,36.13. При адиабатном сжатии 2 молей двухатомного газа в тепловом двигателе, работающем по идеальному циклу Карно, внешние силы совершают работу 9000 Дж. Температура холодильника 280 К.
Найти КПД цикла.Ответ: 0,44.14. 88 г двуокиси углерода, занимающей при температуре 3°С объем 2 л, совершают цикл, состоящий из трех этапов: 1) изотермическое сжатие до объема 1 л; 2) изобарическое расширение до прежнего объема; 3) изохорическое охлаждение до исходногосостояния. Найти изменение внутренней энергии на каждом этапе, работу за весь цикли КПД цикла.Ответ: 1) 0; 2) 13,5·103 Дж; 3) –13,5·103 Дж. 1380 Дж; 0,077.15. Двухатомный газ совершает круговой процесс, состоящий из двух изохор идвух изобар: V1 = 0, l м3; V2 = 0,25 м3; p1 = 1,0·105 Па; p2 = 2,5·105 Па.
Найти КПД цикла.Ответ: 0,13.16. Найти относительное число молекул (в процентах), скорость которых отличается от среднеквадратичной не более, чем на 1 %.Ответ: 1,9 %.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯПО МЕТОДОЛОГИЧЕСКИМ И МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКИМВОПРОСАМ В КУРСЕ МЕХАНИКИ И МОЛЕКУЛЯРНОЙФИЗИКИВВЕДЕНИЕФормирование научного мировоззрения студентов происходит в процессе воспитания и обучения в целом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
