ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 54
Текст из файла (страница 54)
10циклу, является тепловым двигателем.Термический коэффициент полезного действия идеального цикла КарноηК =Q1 − Q2Q1=T1 − T 2.T1(5.2)В случае необратимости процессов коэффициент полезного действия тепловогодвигателя η < ηК, т. е.*В целях наглядности график построен без сохранения масштаба.Q1 − Q2Q1<T1 − T 2.T1Здесь T1 и T2 – по-прежнему температуры нагревателя и холодильника, но вследствиенеобратимости процессов нельзя утверждать, например, что температура T1 равна температуре рабочего тела в процессе расширения, когда оно получает от нагревателя тепло Q1.В настоящем параграфе рассматриваются только циклы, состоящие из обратимыхпроцессов.Анализ и решение задач этого параграфа рекомендуется начинать с качественногорассмотрения, используя графическое изображение процессов.Качественное рассмотрение задач проводят в такой последовательности:1.
Выяснить, из каких процессов состоит рассматриваемый цикл.2. Представить рассматриваемый цикл графически в координатах р, V и показатьнаправления отдельных процессов.3. Записать характер каждого процесса и его уравнение (в зависимости от условиязадачи в некоторых случаях запись уравнений процессов должна предшествовать построению графиков).4. Из условия задачи и построенных графиков, используя также первое начало термодинамики, выяснить для каждого процесса цикла, положительна или отрицательнаработа газа, поглощает или отдает газ тепло, как изменяется внутренняя энергия газа.5.
Установить для всего цикла, положительна или отрицательна работа газа, поглощается или выделяется тепло.6. Если требуется сравнить несколько циклов, то каждый из них рассматриваетсяотдельно.Для перехода к количественному решению прежде всего следует выяснить, какиевеличины должны быть найдены. Последовательность решения может изменяться в зависимости от поставленных в задаче вопросов. Примерная последовательность количественного решения задачи может быть следующей:1. Если газ назван, то считается известной его молярная.
масса µ и число степенейсвободы i его молекулы.2. Если по условию задачи цикл является циклом Карно, то можно пользоватьсявыражением для КПД (5.2).3. Если рассматривается произвольный цикл, то его КПД рассчитывается по формуле (5.1). Величины Q1 и Q2 или Aц и Q1 находятся непосредственным расчетом количества теплоты и работы в отдельных процессах по общим выражениям для этих величин (4.4) и (4.3).4. Если величины, входящие в формулы (5.1) и (5.2), нельзя найти непосредственноиз условия задачи, то недостающие параметры могут быть найдены из уравнений отдельных процессов, составляющих цикл; и уравнения Клапейрона-Менделеева.Задача 5-1Трехатомный газ, взятый в количестве ν = 10 молей, совершает цикл Карно в тепловом двигателе с КПД η = 0,5.
Работа внешних сил на участке адиабатного сжатияA' = 49,8 кДж. Найти: 1) температуры нагревателя и холодильника; 2) во сколько разколичество теплоты, полученной газом от нагревателя, больше количества теплоты, отданной холодильнику.Рассматривается идеальный газ (ν =mµ= 10 моль , i = 6), совершающий цикл Карно,графически изображенный на рис.
10. Процессы, составляющие цикл:1-2 – изотермическое расширение, Т = const = T1, pV = const, V2 > V1, A12 = Q12 > 0;2-3 – адиабатное расширение, pVγ = const, V3 > V2, A23 > 0, Q23 = 0;3-4 – изотермическое сжатие, Т = const = T2, pV = const, V4 < V3, A34 = Q34 < 0;4-1 – адиабатное сжатие, pVγ = const, V1 < V4, A41 < 0, Q41 = 0.Таким образом, тепло поглощается только на участке 1-2, а отдается холодильникутолько на участке 3-4.
При данном направлении процессов работа газа за цикл Aц > 0 ичисленно равна площади фигуры 12341. Искомыми величинами являются температурынагревателя T1 и холодильника T2. По заданной величине работы внешних сил на участке адиабатного сжатия 4-1 можно найти разность температур T1 – T2. Работа газа наэтом участкеA41 = − ∆U 41 = −i mR (T 1 − T 2 ) .2µТак как работа внешних сил A'41 = –A41, тоT1 − T 2 =′A41= 200 К .i mR2µИз выражения для коэффициента полезного действия цикла КарноT1 =T1 − T 2= 400 К и T 2 = 200 К .ηРабота газа на участке 1-2 адиабатного расширенияA23 = −∆U 23 = −i mR (T 2 − T 1 ) = 49,8 кДж .2µРаботу газа на этом участке можно найти, не прибегая к непосредственному расчету.
Для адиабатного процесса A = –∆U, и так как процессы 2-3 и 4-1 протекают междуодними и теми же изотермами, то A23 = |A41| = A'41.По условию задачи требуется найти отношение количества теплоты Q1, полученного газом от нагревателя, к количеству теплоты Q2, отданному холодильнику. Производяпочленное деление в выражении (5.2), получим1−Q2Q1=1−T2,T1откудаQ2Q1=T2=2,T1т. е. количество теплоты, которое газ получает от нагревателя, в 2 раза больше количества теплоты, которое газ отдает холодильнику.Задача 5-2Кислород в количестве ν = 500 моль совершает цикл Карно в интервале температурот T1 = 500 К до T2 = 300 К.
Отношение максимального за цикл объема к минимальномуb = V2/V1 = 10. Найти: 1) КПД теплового двигателя, работающего по этому циклу;2) количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя за цикл; 3) работудвигателя за цикл.Рассматривается известный идеальный газ (ν =mµ= 500 моль , i = 5), совершающийцикл Карно при известных температурах нагревателя T1 и холодильника T2. Графикрассматриваемого цикла показан на рис. 10.Процессы, составляющие цикл:1-2 – изотермическое расширение, Т = const = T1, pV = const, V2 > V1, A12 = Q12 > 0;2-3 – адиабатное расширение, pVγ = const, V3 > V2, A23 > 0, Q23 = 0;3-4 – изотермическое сжатие, Т = const = T2, pV = const, V4 < V3, A34 = Q34 < 0;4-1 – адиабатное сжатие, pVγ = const, V1 < V4, A41 < 0, Q41 = 0.При данном направлении процессов работа газа за цикл Aц > 0 и численно равнаплощади фигуры 12341.Так как температуры T1 и T2 известны, то согласно (5.2):η=T1 −T 2= 0,4 .T1Газ получает тепло от нагревателя только на участке изотермического расширения1-2, т.
е. Q1 = Q12 = A12. Работа может быть рассчитана по формуле (4.3) после подстановки выражения для давления из уравнения Клапейрона-МенделееваQ1 = A12 =mµRT 1 lnV2,V1(1)где отношение объема V1/V2 неизвестно.Из условия задачи известно отношение объемовV max V 3== b . Это отношение моV min V1жет быть записано в видеb=V3 V3 V2=.V 1 V 2 V1ОтсюдаV2V=b 2 .V1V3Так как объемы V2 и V3 являются начальным и конечным объемами адиабатногопроцесса 2-3, то их отношение может быть найдено из уравнения адиабаты (4.7) иуравнений Клапейрона-Менделеева, записанных для состояний 2 и 3. Произведя соответствующие преобразования, получим T 1V 2γ −1 = T 2V 3γ −1 .
ОтсюдаV2 ⎛T 2=⎜V 3 ⎜⎝ T 11⎞ γ −1⎟⎟ .⎠Отношение конечного V2 и начального V1 объемов при изотермическом расширении 1-2⎛TV2= b⎜⎜ 2V1⎝ T1Подставляя это выражение в (1), найдем1⎞ γ −1⎟⎟ .⎠Q1 =Учитывая, что γ =⎛T1RT 1 ⎜⎜ ln b +ln 2µγ −1 T1⎝m⎞⎟⎟ .⎠i +2= 1,4 , получимiQ1 = 8,3 ⋅ 5 ⋅10 2 ⋅ 500(ln 10 + 2,5 ln 0,6) = 2,8 ⋅10 6 Дж .Работу, совершенную газом за цикл, можно найти из выражения для коэффициентаполезного действия (5.1):Aц = ηQ1 = 1,1⋅10 6 Дж .Задача 5-3Двухатомный газ изотермически расширяется от объема V1 = 0,006 м3 до объемаV2 = 0,012 м3, затем изохорно охлаждается до температуры, в n = 1,5 раза меньшей начальной, затем изотермическим сжатием и изохорным нагреванием возвращается в исходное состояние.
Найти: 1) КПД описанного цикла; 2) КПД цикла Карно, работающего между максимальной и минимальной температурами описанного цикла.Рассматривается двухатомный идеальный газ,i = 5, совершающий цикл из двух изотерм и двухизохор, изображенный на рис. 11.Процессы, составляющие цикл:1-2 – изотермическое расширение, Т = const == T1, pV = const, V2 > V1, A12 = Q12 > 0;2-3 – изохорное охлаждение, V = const = V2,p/T = const, A23 = 0, Q23 = ∆U23 < 0;3-4 – изотермическое сжатие, Т = const = T2,Рис. 11pV = const, V4 < V3, A34 = Q34 < 0;4-1 – изохорное нагревание, V = const = V1, p/T = const, A41 = 0, Q41 = ∆U41 > 0;При данном направлении процессов работа газа за цикл Aц > 0 и численно равнаплощади фигуры 12341.Коэффициент полезного действия цикла может быть рассчитан по формуле (5.1).Газ получает тепло на участках 1-2 и 4-1, следовательно, Q1 = Q12 + Q41.
Газ отдаеттепло на участках 2-3 и 3-4, следовательно, Q2 = Q23 + Q34.Изохорные процессы 2-3 и 4-1 проводятся в одном интервале температур T1 и T2,поэтому Q41 = |Q23|. С учетом этого равенства выражение (5.1) примет видη=Q12 − Q34Q12 + Q41.(1)Количества теплоты, полученные и отданные газом на участках 1-2 и 3-4, равныеработам газа на этих участках, могут быть найдены по формуле (4.3) после подстановкивыражений для давления из уравнений изотерм (при T = T1 pV = p1V1, при T = T2pV = p2V2):V2;V1(2)V4V= p3V 3 ln 2 .V3V1(3)Q12 = p1V1 lnQ34 = p3V 3 lnВ уравнениях (2) и (3) неизвестны давления p1 и p3. Выразим давление p3 через давление p1.
Это соотношение можно найти из уравнений изохоры 2-3 и изотермы 1-2p2 p3=; p1V1 = p2V 2 .T1 T 3Отсюдаp3 =p2T 2 p1V1 1=T1V2 nи, подставляя в (3), получимQ34 =p1V1 V 2ln .nV1(4)Количество теплоты Q41 согласно (4.4) и (4.5):Q41 =Так какmµRT 1 = p1V1 , a⎛ Ti mi mR (T 1 − T 2 ) =RT 1 ⎜⎜1 − 22µ2µ⎝ T1⎞⎟⎟ .⎠T2 1= , тоT1 nQ41 =i⎛ 1⎞p1V1 ⎜1 − ⎟ .2⎝ n⎠Подставляя (2), (4) и (5) в (1), получим:(5)V 2 p1V1 V 2−lnV1nV1.η=V2 i⎛ 1⎞p1V1 ln + p1V1 ⎜1 − ⎟V1 2⎝ n⎠p1V1 lnИз последнего выражения видно, что неизвестное давление p1 сокращается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
