ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Расчет по формуле (3.4) даетv в1 =2 RT 1µ= 3502 RT 2мм= 500 ., v в2 =сµсИспользуя выражение (3.4), функцию Максвелла удобно записать в видеv24 v 2 − v2вf (v,T ) =e .3π vва) При v = vвf (v,T 1 ) =4 e −1f (v,T 2 ) =4 e −1π v в1π v в2= 2,24с0,37= 2,4 ⋅10 −3 ;м350= 2,24с0,37= 1,7 ⋅10 −3 .м500б) При v = vв + 200 м/сv124 v 2 − v2в1550 2 −2,48сe2,24ef (v,T 1 ) === 1,3 ⋅10 −3 ;33м350π v в1v22с4 v 2 − v2в27002 −2f (v,T 2 ) == 2,24e = 1,2 ⋅10 −3 .e33м500π v в2в) При v = vв – 200 м/сv12с4 v 2 − v2в1150 2 −0,18f (v,T 1 ) == 2,24= 1,0 ⋅10 −3 ;ee33м350π v в1v224 v 2 − v2в2300 2 −0,36сe2,24ef (v,T 2 ) === 1,1 ⋅10 −3 .33м500π v в2Задача 3-3Окись азота находится при температуре Т = 300 К.
Найти долю молекул (в процентах), обладающих скоростями от v1 = 520 м/с до v2 = 530 м/с.Рассматривается идеальный газ при заданной температуре, для которого справедливо распределение Максвелла. Молярная масса окиси азота µ = 30·10-3 кг/моль.Требуется найти относительное число ∆N/N молекул, скорости которых лежат в заданном интервале ∆v = v2 – v1 = 10 м/с. Можно предположить, что в этом небольшоминтервале функция Максвелла будет с достаточной степенью точности оставаться постоянной.Расчет значений функция Максвелла удобно производить, подставив в формулу(3.1) выражение для vв (3.4).
Такая подстановка даетv24 v 2 − v2вf (v,T ) =e ,3π vвгде v в =2 RTµ= 410м.сРасчет по приведенной формуле даетf (v1,T ) = 1,77 ⋅10 −3сс; f (v2 ,T ) = 1,83 ⋅10 −3 ,ммт. е. с точностью до двух значащих цифр f(v1, T) = f(v2, T) = 1,8·10-3 с/м. Следовательно,расчет искомого относительного числа молекул можно произвести по приближеннойформуле (3.3)∆N= f (v1 ,T )∆v = 1,8 ⋅10 −2 = 1,8% .N4.
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИПервое начало термодинамики может быть записано в видеQ = ∆U + A ,(4.1)где Q – количество теплоты, которым газ обменивается с окружающими телами;∆U = U2 – U1 – изменение внутренней энергии газа; A – работа сил давления газа.Для идеального газа внутренняя энергия определяется только суммой кинетических энергий всех его молекул, т. е. формулой (2.5). Изменение внутренней энергииидеального газа∆U =i mR (T 2 − T 1 ) ,2µ(4.2)где i – число степеней свободы, T1 и Т2 – начальная и конечная температуры. Изменение внутренней энергии не зависит от процесса, а только от начального и конечногосостояний газа.
При нагревании газа T2 > T1, внутренняя энергия возрастает.Работа сил давления газаV2A = ∫ pdV ,V1(4.3)где V1 и V2 – начальный и конечный объемы газа. При расширении газа V2 > V1, работагаза положительна.Для расчета работы газа при любом квазистатическом процессе следует найти давление как функцию объема при данном процессе и полученное выражение p(V) подставить в интеграл (4.3). При изображении процесса в координатах р-V работа численноравна площади, ограниченной графиком p(V), осью абсцисс и ординатами p(V1) и p(V2).Таким образом, работа газа зависит от характера процесса.
Количество теплоты вычисляется по формулеQ=mµC (T 2 − T 1 ) ,(4.4)где C – молярная теплоемкость.Так как работа газа зависит от процесса, то и количество теплоты Q зависит от характера процесса и молярная теплоемкость различна для разных процессов.В частности,при изохорном процессеiR,2(4.5)i +2R.2(4.6)CV =при изобарном процессеCp =Количество теплоты Q считается положительным, если газ получает тепло от окружающих тел, и отрицательным, если газ отдает тепло. Знак Q должен быть определениз первого начала термодинамики (4.1).
В процессах с постоянной и положительнойтеплоемкостью, как видно из (4.4), количество теплоты Q > 0 при нагревании газа, тоесть при T2 > T1.При изопроцессах, когда один из параметров состояния (р, V, T) остается постоянным, справедливы уравнения (1.2), (1.3), (1.4).Процесс, при котором газ не обменивается теплом с окружающими телами, Q = 0,называется адиабатным. Параметры состояния газа связаны уравнением ПуассонаpV γ = const ,где(4.7)γ =CpCV=i +2.iРаботу газа при адиабатном процессе удобнее рассчитывать не по общей формуле(4.3), а из первого начала термодинамики (4.1).Решение задач этого параграфа рекомендуется начинать с качественного рассмотрения, используя графики процессов и первое начало термодинамики в общем виде.Только после этого следует приступать к количественному решению задачи.Качественное решение задач следует проводить в такой последовательности.1. Выяснить, в каком процессе или в каких процессах участвует рассматриваемыйгаз, как изменяются при этом параметры состояния газа.2.
В координатах p, V построить графики рассматриваемых процессов (на одномчертеже) и указать направления процессов.3. Используя первое начало термодинамики, выяснить из условия задачи и построенных графиков (для каждого из процессов), является ли работа газа положительнойили отрицательной, возрастает или убывает внутренняя энергия газа, поглощает илиотдает газ тепло.4. Если по условию задачи требуется сравнить несколько различных процессов, тоиз построенных графиков выяснить соотношение между величинами, входящими впервое начало термодинамики, в сравниваемых процессах.Количественное решение задачи проводится в такой последовательности:1.
Если сравниваются несколько процессов, то решение проводится последовательно для каждого из сравниваемых процессов.2. Если рассматривается сложный процесс, который можно разбить на несколькоотдельных стадий, то решение проводится последовательно для каждой из стадий.3. Если газ назван, то считаются известными его молярная масса µ и число степеней свободы i молекулы.4.
Записать первое начало термодинамики в общем виде (4.1), а затем для рассматриваемого процесса.5. Выражения для количества теплоты, работы газа и изменения его внутреннейэнергии могут быть получены из общих формул (4.2), (4.3) и (4.4). Если какие-либо извеличин, входящих в эти формулы, неизвестны, то для их нахождения использоватьуравнение состояния (1.1), записанное для начального и конечного состояний, а такжеуравнения процессов (1.2), (1.3), (1.4) и (4.7).
Работу при адиабатном процессе (Q = 0)удобнее рассчитывать непосредственно из первого начала термодинамики (4.1).6. Полученные в пп. 4 и 5 соотношения позволяют найти искомые величины.Задача 4-1Трехатомный газ, занимающий при давлении р = 0,5·105 Па объем V1 = 0,004 м3,сжимается изобарно до объема V2 = 0,003 м3. Найти изменение внутренней энергии, количество теплоты, которым газ обменивается с окружающей средой, и работу газа.Рассматривается процесс изобарного сжатия трехатомного газа, i = 6. Начальный иконечный объемы заданы.График рассматриваемого процесса 1-2 показан нарис.4.Так как V1 > V2, работа газа A12 < 0, т.
е. внешние силысовершают положительную работу против сил давлениягаза.При изобарном процессе объем газа прямо пропорционален его температуре, следовательно, температураРис. 4газа убывает, и U = U2 – U1 < 0.На основании первого начала термодинамики Q12 = ∆U + A12 < 0, т. е. в рассматриваемом процессе газ отдает тепло окружающим телам.Изменение внутренней энергии газа согласно (4.2):∆U =ii mR (T 2 − T 1 ) = p(V 2 −V1 ) = −1,5 ⋅10 2 Дж .2µ2Количество теплоты, отданное газом, может быть рассчитано по (4.4) с учетом(4.6):Q12 =i +2 mi +2R (T 2 − T 1 ) =p(V 2 −V1 ) = −2,0 ⋅10 2 Дж .2 µ2Работа с газа может быть найдена из первого начала термодинамики (4.1) или непосредственно по формуле (4.3)A12 = Q12 − ∆U = p(V 2 −V1 ) = −0,5 ⋅102 Дж .Задача 4-2Азот в количестве m = 0,14 кг нагревается от температуры T1 = 300 К до температуры T2 = 400 К.
Найти изменение внутренней энергии и количество теплоты, которымгаз обменивается с окружающими телами, в двух случаях: 1) процесс изохорный, 2)процесс изобарный. Начальный объем в обоих случаях одинаков.Рассматривается процесс нагревания известного газа (µ= 28·10-3 кг/моль, i = 5) заданной массы.Графики рассматриваемых процессов показаны нарис. 5.
Точка 1 соответствует начальному состоянию, одинаковому для обоих процессов; точки 2 и 3 соответствуютконечному состоянию при изохорном и изобарном процессах и, согласно условию задачи, лежат на одной изотерме,Рис. 5показанной пунктиром.Работа газа при изохорном процессе A12 = 0, при изобарном процессе A13 < 0.Газ нагревается, поэтому в обоих процессах внутренняя энергия возрастает. Так какпо условию задачи T2 = T3, то ∆U12 = ∆U13.Согласно первому началу термодинамики, газ в обоих процессах получает тепло,причем Q13 > Q12 > 0.При изохорном процессеQ12 = ∆U 12 =i mR (T 2 − T 1 ) = 1,04 ⋅10 4 Дж .2µПри изобарном процессе∆U 13 = ∆U 12 = 1,04 ⋅10 4 Дж , Q13 = ∆U 13 + A13 ,однако количество теплоты Q13 можно рассчитать и непосредственно:Q13 =i +2 mR (T 2 − T 1 ) = 1,45 ⋅10 4 Дж .2 µЗадача 4-3Двухатомный газ, занимавший при давлении р = 1,2·105 Па объем V1 = 0,005 м3,изобарно расширился до объема V2 = 3/2 V1, затем в результате изохорного процессадавление газа уменьшилось в 1,5 раза.
Найти работу газа, изменение внутренней энергии и количество теплоты, которым газ обменивается с окружающими телами, в течение всего процесса.Рассматривается двухатомный газ, i = 5, участвующий в сложном процессе, состоящем из изобарного 1-2 иизохорного 2-3 процессов. График этого сложного процесса 1-2-3 показан на рис. 6.В процессе 1-2 газ расширяется, т. е. A12 > 0. Так какV/T = const, то T2 > T1 и ∆U12 > 0.
Следовательно,Q12 = ∆U12 + A12 > 0.В процессе 2-3 работа A23 = 0. По условию давлениеРис. 6газа убывает, и так как p/T = const, то газ охлаждается(T3 < T2). Следовательно, ∆U23 < 0 и Q23 < 0.Рассмотрим процесс 1-2 (p = const, V/T = const).Работу газа можно найти непосредственно по формуле (4.3):V2A = ∫ p1dV = p1 (V 2 −V1 ) = 3,0 ⋅10 2 Дж .V1Изменение внутренней энергии можно найти по формуле (4.2).
Используя уравнение Клапейрона-Менделеева (1.1) для состояний 1 и 2, получим∆U 12 =ip1 (V 2 −V1 ) = 7,5 ⋅10 2 Дж .2Из первого начала термодинамикиQ12 = ∆U 12 + A12 = 10,5 ⋅102 Дж .Количество теплоты можно также найти непосредственно по формуле (4.4)Q12 =mµC p (T 2 − T 1 ) =i +2p1 (V 2 −V1 ) .2Рассмотрим процесс 2-3 (V = const, p/T = const). Как уже было выяснено, A23 = 0 иQ23 = ∆U 23 =i mR (T 3 − T 2 ) .2µИспользуя уравнение Клапейрона-Менделеева для состояний 2 и 3 и учитывая, чтоp2 = p1, получимiQ23 = V 2 ( p3 − p1 ) = −7,5 ⋅10 2 Дж .2Суммарная работа за весь процесс 1-2-3A13 = A12 + A23 = 3,0 ⋅10 2 Дж .Изменение внутренней энергии в течение всего процесса∆U 13 = ∆U 12 + ∆U 23 = 0 .Этот результат можно было предугадать на основании условия задачи: в процессе1-2 V2/V1 = T2/T1 = 3/2, в процессе 2-3 p2/p3 = T2/T3 = 3/2, следовательно, T3/T1 = 1, то естьT3 – T1 = 0 и ∆U13 = 0.Количество теплоты, которым газ обменивается с окружающей средой в течениевсего процесса,Q13 = Q12 + Q23 = 3,0 ⋅10 2 Дж ,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
