ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 41
Текст из файла (страница 41)
39 изображен график некоторого процесса идеального газа. Как меняетсятемпература газа при переходе из состояния 1 в состояние 2? Какова молярная теплоемкость газа при этом процессе?АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕЭта задача аналогична предыдущей, только здесь задается сразу график процесса, ане аналитическая зависимость между объемом и давлением. Из графика видно, что всостоянии 2 температура выше, чем в состоянии1 (точка 2 лежит выше изотермы T = T1), т. е.
припереходе газа из состояния 1 в состояние 2 внутренняя энергия увеличивается. Переход такжесопровождается положительной работой газа(V2 > V1). Следовательно, при таком процессепроисходит поглощение теплоты.Очевидно, что молярная теплоемкость газаРис. 39при таком процессе будет больше, чем при изохорном. Рассчитать молярную теплоемкость можно так же, как и в предыдущем случае,если учесть, что аналитическая зависимость между давлением и объемом, согласнографику, имеет видp = p 0 + kV .Расчет показывает, что в этом случаеC x = CV + Rp0 + kV.p0 + 2 kVСледует проанализировать полученное выражение:1) если p0 = 0, т. е. между давлением и объемом имеет место прямая пропорциональность, то теплоемкость независимо от значения коэффициента k будет равнаC x = CV +R;22) если k = 0, то этот случай будет соответствовать изобарному процессу иC x = CV + R .§ 4.
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИВ этом параграфе затрагиваются вопросы, связанные только с расчетом коэффициента полезного действия обратимых циклов и вычислением изменения энтропии.Эти вопросы имеют различную степень важности, и при недостатке времени лучшесократить рассмотрение энтропии, чем изучение циклов.При рассмотрении циклов необходимо учитывать те же замечания, что и в предыдущем параграфе.При расчете изменения энтропии следует обращать особое внимание учащихся нато, что энтропия так же, как и внутренняя энергия, является функцией состояния, т. е.изменение ее не зависит от процесса, а однозначно определяется начальным и конечным состояниями системы.Задача 1Температура пара, поступающего из котла в паровую машину, t1 = 227°C; температура в конденсаторе t2 = 27°C.
Какова теоретически максимальная работа, которуюможно получить при затрате количества теплоты Q = 1 ккал?АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕДля того чтобы работа, совершаемая тепловой машиной, была максимальной, необходимо, чтобы цикл, по которому она работает, был обратимым. При наличии толькодвух термостатов – нагревателя и холодильника, тепловая машина может работатьтолько по одному обратимому циклу – по циклу Карно.Коэффициент полезного действия этого циклаη=T1 − T2.T1Искомая работа может быть найдена из отношенияη=A,Q1где Q1 – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя.
ОтсюдаA = Q1T1 − T 2= 1,7 кДж .T1Задача 2Тепловая машина работает по циклу Карно. Температуры термостатов t1 = 400°C,t2 = 20°C. Время, за которое осуществляется цикл Карно, τ = 1 с. Найти мощность двигателя, работающего по этому циклу, если известно, что рабочим телом служат 2 кгвоздуха; давление в конце изотермического расширения равно давлению в началеадиабатного сжатия.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕДля того чтобы процесс был обратимым, он должен протекать бесконечно медленно (быть квазистатическим). Тот факт, что рассматриваемый цикл происходит в течение одной секунды, свидетельствует о необратимости процессов, составляющих цикл, илишь приближенно (явно завышая значение)коэффициент полезного действия можнорассчитывать по формулеη=T1 − T2.T1(1)Работа, совершаемая за один цикл, ввиду того, что продолжительность цикла равнаРис.
401 с, численно равна искомой мощности. ПоэтомуA = N = ηQ1 .(2)Количество теплоты, получаемой рабочим телом от нагревателя в процессе 1-2(рис. 40),Q1 =mµRT 1 lnp1.p2(3)По условию p4 = p2, а давления в начале и в конце адиабатного сжатия связаны соотношениемγp1 ⎛ T1 ⎞ γ −1=⎜ ⎟ .p 4 ⎜⎝ T2 ⎟⎠Подставив выражения (4), (3) и (1) в формулу (2), получим(4)N = (T 1 − T 2 )Tm γ⋅ R ln 1 = 620 кВт .T2µ γ −1Задача 3Найти термический18 коэффициент полезного действия цикла, состоящего из двухизобар и двух изохор, и сравнить его с коэффициентом полезного действия цикла Карно, проведенного между крайними (максимальной и минимальной) температурами первого цикла (рис. 41). Известно, что при изобарном расширении объем увеличиваетсявдвое; температура в конце изобарного расширения t2 = 800°C; в конце изохорногопроцесса 2-3 t3 = 700°C. Рабочее тело – воздух; отводимое тепло не используется длянагревания рабочего тела.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕПереход из состояния 1 в состояние 2 происходит изобарно; обратимость этогопроцесса может быть обеспечена только при наличии очень большого числа нагревателей, причем температура каждого следующегонагревателя, используемого при нагревании,должна быть очень близка температуре предыдущего.
Это замечание относится и к нагревателям, используемым при изохорном нагревании 4-1, и к холодильникам, используемым впроцессах 2-3 и 3-4.Для упрощения расчета η найдём работу,Рис. 41совершенную не всем рабочим телом, а одниммолем газа. Поглощенное тепло также будем рассчитывать на один моль, так как коэффициент полезного действия тепловой машины не зависит от массы рабочего тела.В соответствии с этим на графике (см. рис. 41) по оси абсцисс отложен молярныйобъем, и площадь прямоугольника, изображающего рассматриваемый цикл, равняетсямолярной работе за цикл. Очевидно,18Термическим коэффициентом полезного действия принято называть отношениеη=A, где A — работа за цикл, Q1 – полное количество теплоты, полученное рабочимQ1телом от всех нагревателей.A = (V2 − V1 )( p1 − p 4 ) .(1)Количество теплоты, полученное телом от всех нагревателей при переходах из состояния 1 в состояние 2 и из состояния 4 в состояние 1, равноQ1 = C p (T 2 − T 1 ) + CV (T 1 − T 4 ) ,(2)где Cp и CV – молярные теплоемкости воздуха при постоянных давлении и объеме.Выражение работы можно преобразовать следующим образом:⎛V⎞V2 − V1 = V1 ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ ,⎝ V1⎠⎛p ⎞p1 − p 4 = p1 ⎜⎜1 − 4 ⎟⎟ .p1 ⎠⎝Так как процесс 4-1 изохорный, можно записать, чтоp 4 T4 T3==.p1 T1 T2Следовательно,⎛V⎞⎛ TA = p1V1 ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟⎜⎜1 − 3⎝ V1⎠⎝ T2⎞⎛V⎞⎛ T⎟⎟ = RT1 ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟⎜⎜1 − 3⎠⎝ V1⎠⎝ T2⎞⎟⎟ .⎠(3)В выражении (2) для Q1 следует вынести температуру T1 за скобки в обоих слагаемых, тогда искомый коэффициент⎛V⎞⎛ T ⎞R ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟⎜⎜1 − 3 ⎟⎟⎝ V1 ⎠⎝ T 2 ⎠η=⎛T⎞⎛ TC p ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ + CV ⎜⎜1 − 4⎝ T1 ⎠⎝ T1⎞⎟⎟⎠.Молярные теплоемкости воздуха соответственно равныiкДж;CV = R = 20,82кмоль ⋅ КCp =i +2кДж.R = 29,02кмоль ⋅ КПри расчете формулы (4) с учетом, чтоT4 T3, получим=T1 T2η = 2,7% .(4)Из графика на рис.
41 видно, что максимальной температурой газ будет обладать всостоянии 2, минимальной – в состоянии 4. Следовательно, коэффициент полезногодействия цикла Карно, проведенного между максимальной и минимальной температурами цикла, равенηК =T 2 −T 4.T2Температура T4 может быть легко найдена из соотношений:T4 T3 T2 V2== 2;=;T1 T2 T1 V1отсюдаT4 =T3= 486 К .2Коэффициент рассматриваемого цикла КарноηК = 45% .Задача 4Найти максимальное количество теплоты, которое получает вода в калориферахпри динамическом отоплении19 на 1 кг сожженного топлива, если температура в котлепаровой машины t1 = 217°C; температура воды в отопительной системе t2 = 67°C; температура грунтовых вод, которые служат вторым резервуаром тепла для холодильноймашины, t2' = 17°C.
Удельная теплота сгорания топлива q = 2,08·104 кДж/кг.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕВода в калорифере получает теплоту от рабочего тела теплового двигателя, как егохолодильник, и одновременно от рабочего тела холодильной машины Q1', как его нагреватель. Следовательно, искомое количество теплоты, получаемое водой,Q x = Q2 + Q1′ .(1)Так как рассматриваются наиболее выгодные условия работы, предположим, что и19Динамическим отоплением называется такая система, в которой за счет энергии, вы-деляющееся при сжигании топлива, работает тепловой двигатель, его холодильникомявляется вода в отопительной системе.
Одновременно вода в отопительной системе является нагревателем в холодильной машине, ведомой тепловым двигателем.тепловая, и холодильная машины работают по циклу Карно.Рассмотрим сначала тепловой двигатель.Коэффициент полезного действия теплового двигателяη=T1 − T2 Q1 − Q2,=T1Q1(2)откудаQ2 = Q1 (1 − η ) ,илиQ2 = Q1T2T=q 2 .T1T1(3)Рассмотрим теперь действие холодильной машины (рис. 42).При изотермическом расширении 1-2рабочее тело получает от своего «холодильника» тепло в количестве Q2'. При переходе3-4 (изотермическое сжатие) рабочее телоотдает своему «нагревателю», в данномслучае воде в калориферах, тепло в количестве Q1'.
При этом затрачивается работаA′ = Q1′ − Q2′ .(4)Рис. 42Здесь значения Q1' и Q2', показывают абсолютное количество теплоты, участвующее в теплообмене.Для холодильной машины остается справедливым соотношениеQ1′ − Q2′ T1′ − T2′=.Q1′T1′(5)Сопоставляя выражения (4) и (5), находимQ1′ = A′T1′.T1′ − T2′(6)По условию задачи работа А, получаемая на валу теплового двигателя, полностьюзатрачивается на приведение в действие холодильной машины, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
