ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 40
Текст из файла (страница 40)
37).Из графиков сразу же видно, чторабота будет тем больше, чем вышепройдет кривая, т. е. чем большедавление в течение процесса. С молекулярной точки зрения, давлениеопределяется силой удара молекул остенки и частотой ударов. Согласноосновному уравнению кинетическойРис. 37теорииm 0 v22p = n0 ⋅.32Однако это уравнение есть следствие положения, что импульс силы, испытывае-мый стенкой сосуда, определяется (по абсолютной величине) произведением числаударов, испытываемых стенкой за некоторое время, и силой этих ударов (см. задачи№№ 3, 4, 5 § 2).При изобарном процессе расширение происходит при непрерывном увеличениитемпературы, что соответствует увеличению силы отдельных ударов, испытываемыхстенками сосуда. Но частота ударов уменьшается вследствие увеличения объема, такчто давление остается постоянным.При изотермическом процессе кинетическая энергия молекул не меняется за счетпритока теплоты извне, и давление уменьшается только в результате уменьшения числаударов, испытываемых стенкой за единицу времени.При адиабатном процессе кинетическая энергия молекул, отдаваемая движущемусяпоршню, не пополняется извне.
Поэтому адиабатное расширение происходит при болеерезком, чем при постоянной температуре, падении давления (уменьшается и частотаударов, и сила ударов).РЕШЕНИЕ1. Работа при изобарном процессе вычисляется следующим образом:A1 = p1 (V 2 −V1 ) = 1013 Дж .2. При изотермическом процессе конечное давление может быть найдено из формулыp2 =p1V1= 0,5 атм .V2Работа газаA2 = p1V1 lnV2= 708 Дж .V13. Конечное давление p2' может быть найдено из уравнения адиабаты:⎛Vp2′ = p1 ⎜⎜ 1⎝V 2γ⎞⎟⎟ .⎠Так как азот – двухатомный газ и, следовательно, коэффициент γ = 1,4, тоp2′ = 0,38 атм .Работа, совершаемая газом при адиабатном расширении, равна убыли внутренней энергии, т. е.A 3 = − ∆U 3 =m iR (T 1 − T 2 ) .µ2Из уравнения Клапейрона-Менделеева, написанного для начального и конечного состояний, получимT1 =p1V1;RT2 =p 2V2.RmµmµПодставляя эти выражения в формулу для работы, находимA3 =i( p1V1 − p2V 2 ) = 607 Дж .2Задача 3Рассчитать, во сколько раз изменится число ударов, испытываемых 1 см2 стенкисосуда за 1 с при двукратном увеличении объема двухатомного газа в следующих случаях: а) изобарное расширение, б) изотермическое расширение, в) адиабатное расширение.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕЧисло ударов, испытываемых 1 см2 стенки сосуда за 1 с, прямо пропорциональноконцентрации молекул и их средней скорости.
Концентрация молекул обратно пропорциональна объему газа; скорость прямо пропорциональна корню квадратному из температуры. Следовательно, отношение числа ударов z2 испытываемых стенкой послерасширения, к начальному числу ударов z1 может быть выражено следующим образом:1z 2 n2 v2 V1 T 22= ⋅ = ⋅ 1 ,z1 n1 v1 V 2T 12где n1, n2 – концентрации молекул; v1, v2 – средние скорости; V1, V2 – объемы газа; T1, T2– абсолютные температуры в первом и втором состояниях.Для всех трех случаев отношениеV1 1= .V2 21.
При изобарном процессе объем прямо пропорционален абсолютной температуре,следовательно,1T 22T112= 2и искомое отношение числа ударовz22== 0,7 .z12Число ударов, испытываемых стенкой сосуда, убывает меньше, чем вдвое, вследствие увеличения скоростей молекул.2. При изотермическом процессеT2= 1 , следовательно,T1z2 1= .z1 23. При адиабатном процессе объем и абсолютная температура связаны соотношениемT1V1γ −1 = T2V2γ −1 .Для двухатомного газа γ = 1,4 и отношение⎛T2⎜⎜⎝ T11⎞ 2 ⎛ V1⎟⎟ = ⎜⎜⎠⎝V 2⎞⎟⎟⎠γ −12⎛1⎞=⎜ ⎟⎝2⎠0, 2.Отношение чисел ударовz2 1 1= ⋅= 0,43 .z1 2 1,15Число ударов уменьшается сильнее, чем при изотермическом процессе, так как одновременно увеличивается объем и уменьшается скорость движения молекул.Задача 4В вертикально расположенном цилиндре под поршнем находится воздух. Какуюработу надо произвести, чтобы поднять поршень на высоту h1 = 10 см, если начальнаявысота столба воздуха h0 = 15 см, атмосферное давление p0 = 1 атм, площадь поршняS1 = 10 см2? Весом поршня пренебречь.
Температура во все время процесса постоянна.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕПри подъеме поршня приходится совершать работу против наружного атмосферного давления, которое остается постоянным. Кроме того, воздух, находящийся подпоршнем, сам будет совершать работу.Таким образом, искомая работа определится как разность работ при изобарном иизотермическом процессах, т. е.A = p 0 ∆V − p 0V0 lnV 0 + ∆V.V0(1)Здесь ∆V – изменение объема воздуха, находящегося под поршнем; V0 – начальныйобъем воздуха под поршнем. Очевидно, что∆V = Sh1,⎫⎬.V 0 = Sh 0 . ⎭(2)Подставим выражения (2) в равенство (1) и после вычислений получимA = 2,5 Дж .Задача 5В прямом цилиндрическом сосуде находится газ массой т с молярной массой µ.Поршень, закрывающий сосуд, движется так, что объем сосуда увеличивается от V1 доV2.
Найти работу, совершаемую газом, если температура его постоянна и равна Т. Расчет произвести на основе молекулярно-кинетической теории. Скорость поршня постоянна и мала по сравнению со средней скоростью молекул.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕПостоянство температуры газа означает, что при ударе о любую, кроме поршня,стенку молекулы отскакивают со скоростью v, соответствующей указанной температуре T.Если скорость поршня постоянна и равна и, то при ударе о поршень молекула будет отскакивать со скоростьюv′ = −( v − 2u )(1)(знак «минус» определяется выбором положительного направления к поршню). Выражение (1) может быть получено, если предположить, что удар между молекулой и движущимся поршнем абсолютно упругий, масса поршня настолько велика по сравнениюс массой молекулы, что скорость поршня от удара молекулы не меняется.Рассчитав силу, испытываемую поршнем со стороны молекул, и зная величинусмещения поршня, можно найти работу, совершаемую газом при расширении:A=x2∫ f dx ,(2)x1где x1, x2 – координаты поршня, отсчитываемые, от противоположной стенки; f –средняя сила, испытываемая поршнем.Для расчета силы, действующей на поршень, предположим, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью, равной среднеквадратичной, и между поршнем и противоположной стенкой движется одна треть всех молекул.
Изменение количества движения одной молекулы в результате ударов о движущийся поршеньδP0 = −2 m 0 ( v − u ) .(3)Если обозначить через х расстояние от поршня до противоположной стенки в моментвремени t, каждая молекула за время dt ударится о поршень dz раз, причемdz =dtτ,(4)где τ – время между двумя последовательными ударами одной молекулы о поршень.Учитывая, что v >> и, можно приближенно считать, чтоτ=2x,vdz =vdt.2xоткуда(5)Тогда общее число ударов, испытываемое поршнем за время dt,dN =vdt N⋅ .2x 3(6)Импульс средней силы, действующей на поршень со стороны молекул,f dt = −δP0 dN .Подставив сюда выражения (3) и (6) и сократив на dt, получимf =N1m 0 v( v − u ) .3x(7)Учитывая, как и при расчете времени τ, что v >> и, находимf =N1m 0 v2 .3x(8)Общее число молекул N можно выразить через массу газа, молекулярный вес ичисло Авогадро:N =mµNA,произведение m 0 v 2 – через абсолютную температуру:m 0 v 2 = 3kT .Тогда выражение для средней силы примет видf =mµRT1.x(9)Подставляя выражение (9) в формулу (2), вычисляем работу, совершаемую газом:A=mµRT lnx2 mV= RT ln 2 .x1 µV1Очевидно, что, ударяясь о движущийся поршень, молекулы непрерывно отдаютему часть своей кинетической энергии.
Полная энергия, потерянная молекулами завремя расширения, равна работе, совершенной поршнем. По условию задачи температура газа, следовательно, и полная кинетическая энергия всех молекул постоянна. Этозначит, что кинетическая энергия непрерывно пополняется за счет теплоты, получаемой извне, от остальных (кроме поршня) стенок. Следовательно, количество теплоты,полученной газом при изотермическом расширении,Q= A=mµRT lnV2.V1Задача 6В цилиндрическом сосуде объемом V1 находится одноатомный газ под давлениемp1. Поршень, закрывающий сосуд, движется так, что объем газа уменьшается от V1 доV2. Найти изменение внутренней энергии газа, если все стенки сосуда, включая поршень, «зеркальные». Скорость движения и поршня постоянна и мала по сравнению сосредней квадратичной скоростью молекул.
Расчет произвести на основе молекулярнокинетической теории.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕВследствие того, что стенки «зеркальные», изменение кинетической энергии молекул будет происходить только при ударе о движущийся поршень. Если молекула подлетает к поршню со скоростью v, то после удара скорость молекулы будетv′ = −( v + 2 u )(1)(знак «минус» определяется выбором направления к поршню за положительное).Изменение кинетической энергии одной молекулы в результате удара о поршеньравноδ W 0 = 2 m 0 vu(2)(членом, содержащим u2 пренебрегаем). Существенно, что здесь v – функция времени.За некоторое время dt поршень испытает количество ударовdt N⋅ .τ 3dN =(3)где τ – время между двумя последовательными ударами одной молекулы о поршень.Очевидно, как и в предыдущей задаче,τ=2x.vПодставляя это значение в выражение (3), находимdN =N vdt.⋅3 2x(4)Следовательно, за время dt молекулы, ударяющиеся о поршень, приобретут кинетическую энергиюdW = δW ⋅ dN =Nudt.m0 v23xНо u·dt есть смещение поршня за время dt, т.
е.udt = − dx .Подставляя это выражение в уравнение (5) и учитывая, чтоm 0 v 2 = 3kT ,(5)окончательно получаемdW = −NkTdx.x(6)Несмотря на то, что v есть функция времени, замена m 0 v 2 через 3kT правомерна,так как поршень движется медленно и весь процесс протекает как квазистатический,следовательно, в каждый момент времени газ можно характеризовать температурой Т.Изменению кинетической энергии молекул при ударе о поршень соответствует изменение внутренней энергии всего газа, равноеdU =miRdT .µ2(7)Очевидно, чтоdU = dW .Поэтому приравниваем правые части выражений (6) и (7). Но учитывая, чтоN =mµN A и N Ak = R ,получим−dx i dT.=x 2 T(8)При изменении х от x1 до x2 температура газа меняется от T1 до T2.
Интегрируя равенство (8), найдемlnОтношениеx1 i T2= ln .x 2 2 T1(9)x1можно заменить отношением начального объема V1 к конечному V2.x2Потенцируя равенство (9), получаемT 2 ⎛ V1=⎜T 1 ⎜⎝ V 22⎞i⎟⎟ ,⎠откуда разность конечных температур, определяющая искомое изменение ∆U внутренней энергии газа, равна⎡⎛VT 2 − T 1 = T 1 ⎢⎜⎜ 1⎢⎝ V 2⎣⎢2⎤⎞i ⎥⎟⎟ − 1⎥⎠⎦⎥и⎡⎛Vm i∆U = ⋅ RT 1 ⎢⎜⎜ 1⎢⎝ V 2µ 2⎣⎢2⎤⎞i ⎥⎟⎟ − 1 .⎥⎠⎦⎥Учитывая, чтоmµRT1 = p1V1 и2= γ −1,iокончательно получим⎡p1V1 ⎢⎛ V1⎜∆U =γ − 1 ⎢⎜⎝ V 2⎢⎣⎤⎞⎟⎟ − 1⎥ .⎥⎠⎥⎦2iЗадача 7Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется по законуp=b? Какова его молярная теплоемкость при этом процессе?V2АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕКачественный анализ происходящего процесса удобнее всего провести, рассмотревграфик этого процесса в координатах р, V и сравнив его с изотермой и адиабатой, изображающими расширение газа из одного и того же начального состояния до одинакового конечного объема (рис.
38).Рис. 38График рассматриваемого процесса лежит ниже изотермы; следовательно, расширение, происходящее по указанному закону, сопровождается понижением температуры.Он лежит также ниже адиабаты. Это значит, что конечная температура при данномрасширении меньше, чем конечная температура, которая установилась бы при адиабатном расширении, и убыль внутренней энергии больше, чем при отсутствии теплообмена.Работа, совершенная газом, меньше, чем при адиабатном процессе.
Следовательно,работа газа при его расширении по указанному закону меньше, чем убыль внутреннейэнергии газа. Это может быть только в том случае, если расширение сопровождаетсяотдачей теплоты.Найдем теперь аналитическую связь между объемом газа и его температурой и молярную теплоемкость газа при данном процессе.Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева (для m = µ)p=RT.V(1)Из сравнения заданного по условию закона расширения газа с уравнением (1) получимb= RT .V(2)Действительно, увеличение объема сопровождается уменьшением температуры. Длянахождения молярной теплоемкости применим к рассматриваемому процессу первоеначало термодинамикиdQ = dU + dAили с учетом, что m = µ,C x dT = CV dT + pdV .(3)Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева получимpdV = RdT −Vdp .(4)Величину dp находим из уравнения, заданного в условии задачи:dp = −2bdV.V3Умножаем правую и левую части последнего равенства на V:(5)2bdV.V2(6)bdV= RdT .V2(7)Vdp = −Дифференцирование равенства (2) дает−При сравнении выражений (7) и (6) находимVdp = 2 RdT .(8)Подставим последовательно выражение (8) в уравнения (4) и (3):C x = CV − R .Полученная величина теплоемкости положительна, следовательно, охлаждение газа будет сопровождаться отдачей теплоты, нагревание – поглощением теплоты.Задача 8На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
